识思探算验 探究是关键

［摘  要］ 新一轮高考命题改革力求突出对学生核心素养与思维品质的考查，在高考试题命制方面下足了功夫——创新试题形式，加强情境设计，注重联系社会生活，增加综合性、应用性、开放性、探究性试题.这一轮大力度的命题改革，推动着一线教师深入思考：如何应对新课改以提高学生的解题能力并培养学生的核心素养. 文章以“2021年新高考I卷第19题‘解三角形问题”为例，分析、总结并提炼解题能力提升策略.

［关键词］ 解题策略；关系探求；解题反思

引言

解题是数学活动的主要内容和基本形式，数学学习和高考考查都离不开解题. 北师大曹一鸣教授认为，“解题过程是知识的运用过程，是解题者面向对象的数学化过程，包括对其形式化、表格化和图形化，进而纳入到一个特定的模式化系统中来，确认系统内部所满足的整体属性和局部属性，在此基础上确认个别对象在系统中的身份、位置、属性，借以实现它与其他对象的关联，使解题目标明确开来.”［1］2021年新高考Ⅰ卷第19题“解三角形问题”，很多考生普遍反映不简单、不好做，这引起了笔者思考：问题出在哪儿？如何提升数学解题能力以落实核心素养？本文拟从此题的解法、问题思路分析出发，结合笔者在江苏省新高考推行以来教科研、高考阅卷等活动中积累的对高考评价要求和阅卷规则的理解，探讨学生解题能力提升策略. 不当之处，敬请指正.

考题分析

2021年新高考Ⅰ卷第19题：记△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）证明：BD=b；

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

试题情境：本题是综合性试题，属于探索创新情境，具体是数学探究情境.本题以三角形为载体，侧重考查解三角形问题.

必备知识：本题考查的是正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形中求角问题.

关键能力：本题主要考查逻辑思维能力和运算求解能力.在三角形求解模型下能够准确选用正弦、余弦定理解决求边求角基本问题.

学科素养：本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生能够在三角形中，通过条件分析，挖掘隐含条件，合理选择正弦、余弦定理进行运算.

解题策略

怎样解题？G·波利亚的“理解题目、拟定方案、执行方案和回顾”四步解题法明确阐述了解题的基本策略，曹一鸣教授认为，“数学解题的思维过程，清晰地表现为四个连贯的思维进程，即模式断定、目标定位、路径探求、技术实现四步”. 本文在以上理论基础上尝试进一步总结高考细化的解题实践策略，以帮助学生提高解题水平.

1. 审阅识别

【识】 识别、辨识、断定. 反复审题，准确认清题目条件、解题目标及其“环境”状态，通过解题经验断定其一般属类，可以称为模式断定.

这是解三角形中的哪一类问题？定边求角问题的一般方法是什么？正弦、余弦定理模型应用的条件、特点是什么？思维进程即“识”阶段.

2. 定位思考

【思】 思考、分析、明确. 题目的目标是什么？已经知道了什么？解题目标是否可以转换成一些比较容易达到的目标？常用的转化办法有哪些，可否借鉴，应从何入手？题眼或突破口在哪里？可以称为定位思考，恰如G·波利亚所言：“当你对问题的叙述已如此清楚，并已深深地印入脑海，以致你即使暂时不去看它，你也不怕把它完全忘掉时……先把问题的主要部分剖析出来.因为前提与结论是‘求证题的主要部分，未知、已知与条件是‘求解题的主要部分.再把问题中的主要部分都弄一遍，并且要逐个地考虑，轮流地考虑，而且在各种组合中来考虑，同时把每个细节与其他细节联系起来，把每个细节与整个问题联系起来.”概言之，所谓定位可以理解为在熟悉题目整体构成的前提下，从结论和条件出发，结合已有的相关联的知识和经验，初步确定解题方法的阶段.

如第（1）问：

思1：因为BDsin∠ABC=asinC①，由正弦定理=，可知BD·b=ac②. 因为b2=ac③，所以BD·b=b2，所以BD=b④.

此法是常用的解法，可称为通法，思维过程大致是“求边→BDsin∠ABC=asinC（怎么用）→化边→（用什么）正弦定理→BD·b=ac→（用条件2）b2=ac”，即“式子①→正弦定理→式子②→式子③→式子④”. 式子②是关键式子，其得到的方式不同会构成不同的解（解法），比如：

思2：=→=b，由BD=→BD=b.

思3：=，=→sin∠ABC=sin∠BDC.

①∠ABC=∠BDC→=，即=→BD·b=ac→BD=b.

②∠ABC=∠BDA→=，即=→BD·b=ac→BD=b

注1：第（1）问的证明，目标是定边，关键是得到核心关系式BD·b=ac，而得到的途径凸显学生对正弦定理的理解程度，“化边”“化角”是正弦定理提炼后的一般应用方式的叙述，理解了它就能很简洁地证明本问. 本问解法的繁简程度，能反映考生对正弦定理的理解程度.

注2：要注意解答的规范性，条件“BDsin∠ABC=asinC”要写，正弦定理或相应公式要写. 教学中应不断强化学生的规范意识，规范也是素养. 据调研，很多考生解答本问并不能做到简洁明了、准确到位，个中缘由值得深思，应在教学中予以解决.

3. 关系探求

【探】 探求、探索、探明.分析题目的条件及各量之间的关系，探求达到目标的路径.探索题较训练题少了不少条件，使得内部运算关系变得隐晦或多样，从而必须做出逻辑断定，或者分类讨论来实现.这种内部关系呈现出來的复杂性，处理手段表现出来的多样性，把思维活动的严谨、抽象、灵活等特性生动地展现出来，可以称为路径探求. G·波利亚对此有过精彩的论述，“从各个方面考虑你的问题.分别突出各个部分，考察各个细节，用不同方法反复审查同一细节.把细节用不同方式组合起来，从不同角度考虑它.试着在每一细节中发现某些新意义，尝试在整个问题中得出某些新解释.从你现有知识中找出与问题有关之处.试想过去在类似的情况下有什么曾帮过你的忙.在你所考察的内容中，设法找出熟悉的东西来，在你所熟悉的东西中，努力找出有用的东西来.”关系探求是思考定位的后续和深化，G·波利亚认为探求过程“能找出什么？一个有用的念头，也许是个决定性的念头，它能使你一眼看出解决问题的途径”.有时候这个有用的念头就是考查的核心.

高考非常青睐这样的富有探究性的考法，如第（2）问：

思4：由题意知，BD=b，AD=，DC=，所以△ABD中，cos∠ADB==；△BDC中，cos∠CDB==. 因为∠ADB=π-∠CDB，所以cos∠ADB+cos∠BDC=0，所以=，所以2a2+c2=，所以6a2+3c2=11b2. 又b2=ac，所以6a2+3c2=11ac，即（3a-c）（2a-3c）=0，所以a=或a=. 因为cos∠ABC=，所以cos∠ABC=或cos∠ABC=（舍去）.

注3：思4为常用之法，以方程思想为主线，串联余弦定理，运用“算两次”的方法构建一个比较隐晦的关系式，与条件组成方程组，可得三边的关系，然后再次运用余弦定理求解. 思4中的关键式子是6a2+3c2=11b2，其实这样的关键式子得到的方式灵活多样：在不同的三角形中选用角C，或者角A，算两次，由cos∠BCD=cos∠BCA或cos∠BAD=cos∠BAC均可得到相应的关键式子；而且还可以借助向量处理边角关系，即将=+两边平方，再将cos∠ABC=代入也可得到相应的关键式子. 总体来看，可以结合图形特征和数量关系用“角”“向量”“建系”“三角形相似”乃至“特殊化”（不妨设BD=3，由第（1）问得b=3，AD=2，DC=1，结合∠BDC+∠BDA=π得到2a2+c2=33）等多种方法得到关键式子，这恰恰反映了考生思维的灵活性，充分体现了核心素养的生成.本问的典型错误在于选用了∠ABD+∠CBD=∠ABC这一等式，再取正弦定理或余弦定理导致无法继续求解，换言之，说明考生未能抽象出有用的等式，这就是水平差异.

4. 运算求解

【算】 计算、运算、算法. 主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神，即从条件出发，采用恰当的技术方法，对探求路径予以落实，可以称为技术实现. 本题“妙”在思考角度多，关系确立“活”；“难”在运算要求高，学生易在运算环节失分.

思5：在△ABC中，AD=2DC，AC=BD，不妨设BD=3t，AD=2t，CD=t.

在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2AD·BDcos∠ADB=13t2-12t2cos∠ADB；在△BDC中，BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC=10t2+6t2cos∠ADB.

令∠ADB=θ，由已知b2=ac，可得·=9t2，即（13-12cosθ）（10+6cosθ）=81，所以cosθ=或cosθ=-（舍去）.

所以AB=t，BC=，所以cos∠ABC==.

思6：以D为原点，DA为x轴建立平面直角坐标系，设A（2t，0），C（-t，0），B（x，y）（t>0）.

因为BD=3t，所以x2+y2=9t2. 因为ac=b2，所以BC·BA=BD2，所以·=9t2，所以（10t2+2tx）（13t2-4tx）=81t4，解得x=-t或x=t.

由向量公式得cos∠ABC=====，当x=-，cos∠ABC=>1（舍去）；当x=，cos∠ABC=. 综上，cos∠ABC=.

注4：本题的算法还可以如下.

由6a2+3c2=11b2，

a2c2=b4，解得a2

=b2，

c2

=b2，或a2

=b2，

c2=3b2，解得

a=b，

c=b，或

a=b，

c=b.

当a=，c=b时，a+b

关键式子除6a2+3c2=11b2外，还有2a2+c2=，2a2+c2=b2等形式，关键是各字母的系数，特别要注意其中的系数比例（特别是33）. 这里有一种典型错误，即将条件AD=2CD看成CD=2AD.

无论得到的关键式子是6a2+3c2=11b2，还是·=9t2，或·=9t2，继续解题的关键是运算，这里也可以理解为二元目标式的化简运算. 此类运算在含参函数的零点、解析几何的定值等典型问题中常有涉及，而“目前高中生数学运算能力普遍较弱，特别是带式子的整式运算……含字母比较多，有时‘会却算不出……引导学生直面困难，求解过程算思结合，逢山开路，遇水搭桥. 既要能直接‘硬算，也会选择方法简算，既要能选好求解切入点，又要会中途调整方向、追根溯源、优化解法、把握本质”［2］.

5. 检验回首

【验】 验算、检验、验证. 这是思维严谨性的重要体现，特别是在解三角形中，经常需要多值检验，与方程增根有关.由于本题涉及二次方程求解，出现多解，因此有必要检验解的有效性. 检验意识也是解题素养的重要体现.

思7：由第（1）问得∠ABC=∠BDC或∠ABC+∠BDC=π.若∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，则△ABC∽△BDC，则=，即=，即b2=3a2. 又b2=ac，所以c=3a，所以cos∠ABC=>1，舍去. 若∠ABC=∠BDA，同理可得b2=c2. 又b2=ac，所以a=c，所以cos∠ABC=.

思8：由第（1）問得∠ABC=∠BDC或∠ABC+∠BDC=π.

①若∠ABC=∠BDC，在△ABC中，cos∠ABC=；在△BDC中，cos∠BDC=. 由cos∠ABC=cos∠BDC，得12a2-13b2+3c2=0. 又b2=ac，即（3a-c）·（4a-3c）=0，所以a=或a=. 所以cos∠ABC==>1（舍去），或cos∠ABC==. 当cos∠ABC=时，cos∠BDA=≠-cos∠BDC，舍去.

②若∠ABC=∠BDA，cos∠ABC=cos∠BDA，所以6a2-19b2+15c2=0. 又b2=ac，即（2a-3c）（3a-5c）=0，所以a=或a=，所以cos∠ABC==，或cos∠ABC==. 当cos∠ABC=时，cos∠BDA=-≠-cos∠BDC，舍去.

综上，cos∠ABC=.

注5：以上两种思路的验证方法是“有界性”（即利用余弦值的有界性进行取舍）和“回代”（即将算出的解回代到相邻三角形的两个互补角的余弦值中检验其是否符合相反关系进行取舍）.马一新总结“利用‘大边对大角方法、利用条件确定角的范围、利用条件缩小范围、对结论反思检验、利用三角性质作深层判断”［3］等几种策略进行多解的检验取舍，而这种深层次判断很能反映考生对知识方法的理解深度，属于高阶思维.

解题反思

1. 加强审题能力提升

新高考对数学阅读的要求明显提高，如何快速有效地理解题意、寻找思路、确定题眼？赵士元认为，“让学生在逐字逐句的品味中培养题感、将综合问题分解成若干小问题并引导学生舍得时间多读题多思考在细微处提升读题能力、常通过换（多）角度思考在思辨中提升读题能力、在‘逆向设问‘换位联想等方式的问题探究中提升读题能力.”［4］同时通过加强传授启发性提示语来提升审题能力，即“可基于波利亚解题理论的教学，在解题教学的讲解与示范沖突中突出呈现相关的启发性提示语，并布置必要的解题教学练习用以强化数学教师对启发性提示语的捕捉、整理与表达.”［5］

2. 加强开展示范教学

G·波利亚指出：“解题的价值不是答案本身，而在于弄清‘怎样想到这个解法的？‘是什么原因引发我们这样的思考？”因而解题教学的目的是引导学生在例题教学中体会思维过程、感悟思想方法、明了关键核心，进而掌握解决问题的能力.特别是综合问题的教学，一定的示范教学是必须的，“示范教学是教师有目的地以示范技能作为有效刺激，充分调动学生的视觉和听觉，形成表象及联系，使其在观察、思维、模仿、操作中领悟理论精髓，掌握技能要领.”［5］但这一点目前来看还是有所欠缺的，或学生活动过多，凌乱无序、效率不高；或课件投影印象不深、理解不透. 虽说示范教学占用的时间较长，看似容量不高，但在实际教学中，特别是实验班的教学中，难点的解决、关键点的拓展、不同思考方式的碰撞在教师亲自示范的过程中，若能控制好节奏，预设得充分，放得开手脚，则能上出那种师生感觉都很好的且高效有深度的课，所以很多时候教师亲自上阵，通过示范能给学生生动直观且深入的认识，从而弥补空洞快速说教的不足.

3. 重视运算能力训练

解题解题，运算靠前. 尽管新高考侧重“多思少算”，但运算几乎存在于数学学习考查的各个环节.黄晓学教授认为，“数学运算包括算法和算理.好的算理和算法能规避烦琐的计算；（此方面的问题集中在）学生基础知识不扎实、运算功底不深厚、运算方向不准确、运算品质不优良.”［6］因此提升学生的运算能力需要引导学生理解手算口算估算等运算的重要意义，加强初高中衔接内容的教学，引导学生掌握扎实的基础知识（公式、定理、法则以及部分可拓展的结论等），长期进行系统规范运算（含演草）训练，加强算法算理的理解反思，结合各章节具体问题加强常见运算技巧以及特殊运算技巧的培训.

4. 遵守简单关键规律

怎样提高解题能力？单遵先生在《解题研究》中如此回答：必须多做题. 除此之外没有别的办法.首先要做一定量的基本题，打好基本功（掌握基本运算技能、基本解题方法，做到纯熟自如）；在此基础上，再做一些较有技巧的问题.要不断提高自己的解题能力，更重要的是习题的质量，要做一些有变化、有技巧的题，掌握更多的新方法、新技巧；应当对自己充满信心，面对一道数学题，应当充满信心；应当自觉的“逼”自己，下定决心，努力进取，就没有不能克服的困难. 解数学题，必须全力以赴，即使是常规问题，也要动脑筋想一想：有哪几条路可走？有哪一个例题可以仿效（最好能想一想有没有更好的解法）？选好解题路线后，应小心翼翼，在计算和推理中不可出错，解题需要专心致志.提高解题能力的更宏观的策略可以简要概括为：坚持练习、习题质量、信心决心和专心致志. 如果能逐步培养出兴趣，那么将事半功倍.

结束语

数学解题能力是数学能力的主要标志，解题水平的提升是落实核心素养的重要体现. 而数学解题教学更是一门科学，目前来看，数学高考卷考查学生的唯一方式还是解题. 本文从2021年一道典型的高考试题的解法及其关键点出发，结合个人的教学实践，论述了解题的关键步骤和提升解题能力的几方面策略，然诚如李金蛟老师所言：我们的探索才刚刚开始，希望更多的人来参与，去发现更美的风景.

参考文献：

［1］  曹一鸣，张生春. 数学教学论［M］. 北京：北京师范大学出版社，2010.

［2］  宋秀云. 算思结合 突破困难 提升素养——以一道解析几何题求解历程为例［J］. 数学通报，2020，59（03）：56-60.

［3］  马一新. 解三角形问题中的“多解取舍”探讨［J］.数学之友，2008（21）：86-87.

［4］  赵士元. 提升数学读题能力的几个途径［J］. 数学通报，2020，59（06）：49-53+57.

［5］  陆珺，胡晴颖. 论数学解题教学的教学［J］. 数学教育学报，2021，30（02）：55-60.

［6］  刘亚平，黄晓学. 让学生的数学核心素养“落地生根”——以两道数学试题的解题教学为例［J］. 数学通报，2020，59（05）：46-50.

作者简介：陈小祥（1981—），本科学历，北京师范大学教育硕士，中小学高级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象，徐州市教育系统优秀年轻干部“双百工程”培养对象，徐州市数学学科首席教师，徐州市青年优秀骨干教师，主要从事高中数学教育研究工作.