在“释疑解惑”中提高高中数学试卷讲评课的教学品质

［摘  要］ 试卷讲评课应从学生的实际学情出发，重视学生思维过程的展示，在过程中发现学生的疑惑点、易错处，以此采取行之有效的方法帮助学生厘清问题的来龙去脉，认清问题的本质，培养学生“以不变应万变”的能力，提高数学教学品质.

［关键词］ 试卷讲评课；实际学情；教学品质

在高中数学试卷讲评课上，教师除了帮助学生查缺补漏外，还应寻找学生面临的更深层次的问题，以此帮助学生更清楚地了解知识的来龙去脉，理解相关知识的本质，提升学生的数学学习能力. 试卷讲评中教师应重点关注学生的疑惑处和易错处，通过自主探究、小组合作、集体探究等多种方式帮助学生释疑解惑，让学生“学懂学会”. 不过，在实际教学中，因考试频率高，教学任务重，大多数教师没有太多时间进行学情分析，也没有太多精力组织学生合作探究，讲评时凭借主观经验进行教学，这样的试卷讲评往往难以引发学生共鸣，不利于学生解题能力的提升. 要发挥试卷讲评课的价值，教师必须利用好错误资源，针对不同类型的错误进行错因分析，并给出相应的解决问题的方法. 另外，突出教学重难点，针对考试需要学生掌握的重点知识和技能进行释疑解惑，引导学生从本质上看问题，注重数学思想方法的提炼，尽量减少思维僵化和思维惰化，培养学生敢于质疑、勇于探索的积极的学习心态，提高解题效率.

导在疑处

试卷讲评不需要面面俱到，对于那些学生已经掌握的基础题没有必要一讲再讲. 当然不讲并不是不重要，而是因为学生已经理解并掌握了，若重复讲不仅会消耗宝贵的课堂时间，而且难以激发学生的学习兴趣. 教师应在学生的疑惑处做文章，帮助学生消除疑惑，掌握解决问题的基本方法，以此提高学生解决问题的能力.

例1 已知圆C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0，在圆C内有一定点P（3，0），过点P任意作一条直线AB使其交圆C于A，B两点，若△ABC面积的最大值为16，求实数m的取值范围.

师：以下是考试时同学们给出的解答思路. （教师用PPT展示部分学生的解答思路）

思路1：圆C的方程可化为（x-m）2+（y-2）2=32，记半径为r，则r2=32. 已知点P（3，0）在圆C内，所以（3-m）2+（-2）2<32，即3-2

思路2：圆C的方程可化为（x-m）2+（y-2）2=32，记半径为r，则r2=32. 已知点P（3，0）在圆C内，得（3-m）2+（-2）2<32，即3-2

师：考试时很多同学应用的就是以上两种解答思路，但有些同学最终没有进行到底. 现在请大家重新思考一下，看看是否还可以继续呢. （预留充足的时间让学生再思考）

生1：这两种思路的本质是相同的，因为当（sinC）=1时，d=r=4，即4=，可以将其转化为关于k的方程［（m-3）2-16］k2-4（m-3）k-12=0有解的问题来处理，当（m-3）2-16=0时，m=7或m=-1，代入上述方程可知方程有解；当（m-3）2-16≠0时，则有Δ=16（m-3）2+48［（m-3）2-16］≥0，解得m≤3-2或m≥3+2. 综上可知，实数m的取值范围为（3-2，3-2］∪［3+2，3+2）.

师：很好，你是怎么想到用这个方法求解的呢？

生1：在考试时，我也是求得d=4后就不知所措了，通过再思考终于想通了——当△ABC的面积取最大值16时，圆心C到过点P的直线的距离为4，这样就可以将其转化为关于k的方程有解的问题求解了.

生2：对于思路1，当解得d=4后，可以利用几何性质继续求解. 因为动直线AB过定点P，无论动直线AB如何变化都是CP≥d，故当CP≥4时，d=4这一条件才能成立，因此（3-m）2+（-2）2≥16，即（3-m）2≥12，解得m≤3-2或m≥3+2.

师：说得非常好，有时候解题发生思路中断主要是因为对题意的理解不到位，没有形成整体思路，因此解题前一定要认真审题.

师：再认真思考一下，影响△ABC面积的主因是什么？能否从变化的量入手求解呢？（学生沉思）

生3：圆方程变形得（x-m）2+（y-2）2=32，可知圆心C在直线y=2上. 分析影响△ABC面积的主因，不妨从特殊情况出发，当m=3时，圆心C为（3，2），故CP=2. 由圆的平面几何性质可知，对于圆内过定点P的弦，弦心距的最大值为CP=2，即d=2，不成立. 当圆心C在直线y=2上运动时，CP的长度也会随之变化，若要使d=4成立，则需要CP≥4.

师：很好，通过多角度分析，相信大家对该题已经有了深刻的认识. 解题时我们习惯从因寻果，即从已知出发寻找解决问题的突破口，有时候若能反过来进行思考，也许会有意想不到的结果.

考试时出错的原因可能是多种多样的，在试卷讲评时教师不要急于求成，应为学生提供一个再思考、再认识的时间和空间，帮助学生找到问题的症结，厘清问题的来龙去脉，同时引导学生将问题思考到底，这样不仅能提高学生的解题能力，而且能培养学生的解题信心，有利于提升学生的学习能力.

解在惑处

因个体差异的存在，学生所犯的错误往往是多种多样的，只有找准错因，对症下药，才能真正为学生解惑. 因此，讲评前教师可以通过试卷分析或面谈等方式了解学生出错的原因，从而通过有针对性的启发和引导带领学生走出困境. 如有的学生找不到解题的突破口，讲评时教师应加强思维训练和方法指导，帮助学生找到正确的解题策略；有的学生因为知识漏洞而产生了错误，讲评时教师要及时进行补充，以此完善认知体系，避免学生再次犯错；有的学生因为运算能力不强而产生了错误，教师讲评时可以呈现完整的运算过程，以此消除学生的困惑，等等. 当然，解惑后教师还应拓展和延伸具体的问题，以此强化学生对知识的理解，同时通过对比分析引导学生归纳总结解题思路和技巧，提高学生的解题能力.

例2 如图1所示，已知圆G的方程为x2+y2=a2，椭圆E的方程为+=1（a>b>0），椭圆E的左顶点为A，过点A作斜率为k的直线l，其与椭圆E相交于点B，与圆G相交于点C.

（1）若k=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E的离心率e.

（2）若椭圆E的离心率e=，F为椭圆的右焦点，当

BA+BF=2a时，求k的值.

（3）设D为圆G上异于A的一点，直线AD的斜率为k2，当 =时，试问直线BD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过，请说明理由.

例2是高三复习解析几何问题时给出的一道综合题，主要研究的是直线和圆锥曲线相交有关的问题. 问题（1）和问题（2）较简单，大多数学生都能顺利求解，讲评时教师不再过多讲解. 本题的难点主要为问题（3），为了便于说明问题，讲评时教师给出了以下两种解法：

解法1：由

y=k（x+a），

+

=1，可得+=0，解得x=-a或x=. 又x≠-a，故x=，从而y=k1（x+a）=. 再由

y=k（x+a），

x2+y2=a2，可得x2-a2+［k（x+a）］2=0，解得x=-a或x=. 同理x=，y=. 由=，得k=，代入x=，化简得x=，故y=2a3k1=，故k== -，所以BD⊥AD. 因为AD为圆G的弦，所以∠ADB所对圆G的弦为直径，所以直线BD过定点，且定点为（a，0）.

解法2：設P（a，0），B（x，y），则+=1，因为=，所以kk=kk=··=·=·

-

=-1，所以PB⊥AD. 又PA为圆G的直径，所以PD⊥AD，所以P，B，D三点共线，所以直线BD过定点P（a，0）.

从解题反馈来看，大多数学生选择的是与解法1类似的思路. 不过解法1虽然思路自然，但是计算量大，很多学生没有算下去的信心，所以最终也没有得到答案；也有部分学生选择的是解法2的思路，但是迫于没有找到这个定点而最终放弃了. 对于本题该如何讲评呢？难道直接告诉学生“你们选择解法1相似的思路是没有问题的，只要平时多加强运算训练”就可以了吗？这样的教学难以帮助学生解惑，不利于解题能力提升. 在本例教学中，教师设计了如下环节：

（1）直观演示

利用几何画板作图，通过改变点B的位置引导学生通过直观观察感知定点的位置.

（2）类比联想

问题1：在圆G上任取一点，该点与直径两个端点的连线的斜率存在怎样的关系？

问题2：在椭圆E上任取一点，该点与椭圆长轴的两个端点的连线的斜率存在怎样的关系？

问题1是学生熟悉的内容，学生可以直接给出结论，即斜率之积为-1，自然引发对问题2的联想，由此通过类比联想激发学生探究的积极性.

（3）拓展延伸

对于问题1可以将其推广至过圆心的任意一条弦，那么对于问题2是否也可以将其推广至过椭圆中心的任意一条弦呢？

这样通过直观演示、类比联想和拓展延伸有助于学生认清问题的本质，有助于实现知识的融会贯通，有效激发学生的理性思维，提高教学品质.

总之，试卷讲评要打破“以师为主”的教学模式，从具体教学实际出发，通过有针对性的教学互动，提升教学质量，提高学生的学习能力.

作者简介：王惠中（1967—），本科学历，中学一级教师，主要从事高中数学教学与研究工作.