一元一次不等式与一次函数课例探析

杨子廷

(广东省深圳市宝安中学(集团)初中部 518000)

1 教材分析

本节内容选自北师大版八年级下册第二章第五节，学生在学习本课以前，对相关知识已经有了初步的认识，本节课的主要目的是从变化及其对应关系的角度对不等式的运算进行更深层次的探讨.

本课教学属于对一元一次不等式的动态分析，通过对一次函数和方程(组)及不等式的关系的探讨，利用函数的观点对学习过的内容再次进行阐述，让学生对内容有更加深刻地理解，并且再次加强知识之间的联系，充分发挥函数的重要作用，构建系统的知识体系，降低学生的函数学习难度.

2 教学目标

2.1 知识与技能目标

通过对函数图形的观察以及对解题步骤感悟，体会一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数三者之间的联系，学会利用图像对一元一次不等式进行求解.

2.2 问题解决目标

学会用所学习的数学知识去解决实际问题，通过对一次函数和一元一次不等式之间的关系的研究，探讨实际问题的解决办法，让学生感受数形结合的重要作用.

2.3 情感态度目标

让学生懂得探究，培养探究精神，进一步感悟事物之间的关系，体会数学知识的价值.

3 教学重点与难点

通过观察函数图象解一元一次不等式，体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系.

4 学情与教法分析

4.1 学情分析

学生在进行了相关函数知识的学习以后，对于函数和方程之间的联系有了初步地了解，也有了一定的数形结合意识以及数形结合的能力，懂得利用一元一次不等式去解决简单的实际问题，并积累了一定的经验.

4.2 教法分析

基于本节课的内容特点和初二年级学生的年龄特征，遵循“让学生主动积极参与学习，发挥其学习的主体性”的教学理念，我决定采用“启发引导、自主学习、合作探究”的教学模式，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.

5 教学过程设计

5.1 创设情境，引入新知

深圳市宝安中学在全市率先开展了“学会生存”的必修课，目前“中学生生存教育的理论与实践研究”已成为学校独立承担的全国教育科学“十一五”规划教育部重点资助课题．

例1在周一的“防止踩踏”疏散课上，初一(4)班的同学在警报响起3秒后疏散距离y(米)与时间x(秒)满足关系式是y=2x-5．

作函数y=2x-5的图像：

解列出表1；

表1

在图1描点，连线；

图1

例2观察图像回答问题：

(1)x取什么值时，y=0？(2)x取什么值时，y>0？(3)x取什么值时，y<0？

设计意图：用旧知识引出新知识，以原有的知识作为学习的基础，进一步探讨新的知识与内容.

5.2 思考讨论，探索新知

例3观察你画出y=2x-图像图象，回答下列问题．

(1)x取什么值时，y=0？(2)x取什么值时，y>0？(3)x取什么值时，y<0？

设计意图：通过函数图像的绘制以及观察，进一步对函数的概念进行理解，并从这个过程中体会一元一次不等式和一次函数之间存在的联系.

练习1结合函数y=-2x-6的图象,看图回答下列问题：

(1)当x__时,-2x-6>0；(2)当x__时,-2x-6<0；

设计意图：学生经过讨论后可以清楚的知道，一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之间都有着非常密切的联系，而函数值为0时，就是方程，当函数值不为零时，就是不等式.

练习2观察y=2x-5的图象，回答下列问题：x取何值时,y>3?x取何值时,y<-2?

设计意图：学生通过具体问题，对一次函数的变化规律和一元一次不等式解集之间的联系有初步的体会，而且通过完成练习2，进一步培养学生数形结合的意识.

5.3 深入探究，多维理解

图2

请你回答下列问题：(1)x取何值时，y1=y2?(2)x取何值时，y1>y2?(3)x取何值时，y1

设计意图：通过学生观察、自主思考，然后小组讨论，培养学生合作交流的学习意识，进一步培养学生的数形结合意识.

5.4 拓展应用，解决问题

例5在疏散演习的过程中，老师将初一(4)班的同学分成A、B两组，A组出发时B组已跑9 米．已知B组每秒跑3 米，A组每秒跑4米.

(1)A组疏散的时间为x(秒),A组与B组同学疏散的路程分别为y1、y2(米)，列出y1、y2与x的函数关系式；

(2)如图3，在同一平面直角坐标系内分别作出函数y1=4x,y2=3x+9的图像.

图3

观察图像，小组活动：我问问题你来答！

设计意图：感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，绝大部分学生都能画出函数图象，并能借助函数图象完成上述问题.

练习3如图4是一次函数y=kx+b(k≠0)的图像，则：

图4

(1)关于x的方程kx+b=0的解为；(2)关于x的不等式kx+b>0的解集为；(3)关于x的不等式kx+b<0的解集为解为.

练习4如图5，直线l1与l2交于P点，当x在什么范围内取值时y1>y2？

图5

设计意图：对上环节中解决问题的方法进行巩固，建立解决此类问题的数学模型；学生在合作学习的过程中，可以进一步体会一元一次不等式和一元函数图像之间的关系，并对此有更深刻的认识.

6 反思小结，培养能力

通过本节课，你学到了什么知识？你体会到了什么数学思想？

板书如图6：

图6

设计意图：通过师生共同反思，优化学生的认知结构，培养学生的归纳能力，把课堂教学传授的知识转化为学生的素质.结合板书，对本节课的知识和思想方法进行系统性的总结.

7 课后作业，自主学习

如图7是函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图像，观察图像回答下列问题：

图7

(1)x取何值时，y1>0？(2)x取何值时，y2>0?(3)(选做)x取何值时，y1>0与y2>0同时成立？(4)(选做)若y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，c(3,2)，x取何值时，y1>y2?