“经验数学”的内涵、价值及实践*

戚洪祥 张新高

数学无处不在。不论是数学专业人员还是普通人，每天都会与数学打交道。从某种意义上来说，我们每个人都具有一定的数学经验。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）中有114次提及“经验”，主要以“经验”“活动经验”“数学经验”“学习经验”等四种提法出现。

一、从双重意义理解“经验数学”的内涵

1.经验的内涵解读

“经验”一词在《现代汉语词典》中的解释为：（1）名词，在活动中得到的知识或技能；（2）动词，体验、经历。这两种解释与美国教育家杜威对经验意义的双重界定（经验的事物、经验的过程）高度一致，即经验既表示结果也表示过程。从数学学科来看，不论是数学知识本身还是学生学习数学的过程，都在一定程度上体现了经验的双重意义，使得二者都具有经验性。

数学知识体系的经验性。数学学科知识最初源自人们的生活实践，人们首先从生活情境中抽象出数学问题（即抽象），然后结合相关数学知识选取合适的方法进行数学学科的演绎（即推理），最终利用数学知识解决生活中的实际问题（即模型）。这一过程与史宁中教授提出的“数学的基本思想是抽象、逻辑、模型”相一致。学生学习的数学知识基本上都是人们在生活实践中提炼出来的，属于经验性知识。

数学学习过程的经验性。建构主义学习理论认为：学习过程是一种认知过程，是学生内部认知结构变化的过程，是学生主动对外部的信息和刺激进行吸收、加工和赋予意义的过程。学生现有的数学经验是教师组织数学教学的逻辑起点，是学生数学学习的现实起点。从教的视角来看，教师预设、组织、实施教学活动，都应充分考虑学生的已有数学经验，关注学习过程中学生的体验。从学的视角来看，数学学习过程就是学生面对学习材料，经历丰富的、完整的观察、操作、思考、想象、反思等数学活动，从而涵育数学素养，获得生命成长。在这一过程中，学生对已有经验不断解构与重构，从而使它转变为新的经验。从评的视角来看，如果没有经验的解构与重构，学习活动就是低效的，甚至是无效的，学习就没有真正发生。

2.“经验数学”的内涵解读

基于“经验”的双重词性，“经验数学”是一种教学主张，倡导通过转变学生的学习方式，以他们的已有经验为基础，以经验过程为目标，构建以学为中心的学习样态，促进学生创新意识的培养，最终实现他们核心素养的培育。

经验的事物之“经验数学”。从“经验的事物”这一视角来看，“经验数学”观照的经验主要指学生的生活经验和数学经验。当学生面对新情境、新问题时，会获得一种原始的、模糊的甚至不正确的经验，随着学习活动的展开与深入，这种经验逐步被改造、升级，成为较为清晰的、准确的新经验，新经验在多次被调用、反思、重塑后，内化为经验图式，学生便形成了自己个性化的经验图谱。

经验的过程之“经验数学”。从“经验的过程”这一视角来看，“经验数学”强调“再经历”“再创造”，关注学生学习过程中的具身操作、独立思考、合作探究、交流辨析、自主实践等学习方式。数学学习不是简单的背诵、记忆、做题，而要让学生完整地经历知识发生、发展的过程。

3.“经验数学”的显著特征

经验的事物与过程具有个体的独特性。与外显的数学学科知识不同，学生的已有经验受其身心发展状态、社会生活背景、感悟能力等因素的影响，呈现出显著的差异性，体现出明显的独特性。面对相同的情境、问题或材料，不同个体获得经验的程度也不同，有些人有了经历却没有构成经验，有些人获得了一个初步的经验，有些人则得到了一个完整的经验。当然，经验的过程并非一定需要具身参与，也可以是学生在与学习伙伴分享交流、质疑讨论的过程中进行思辨和内化，将他人的经验转化为自己的，重塑自身经验的过程。

经验的事物与过程具有迁移的两面性。对学生来说，在新的数学学习活动中，已有经验有着积极与消极的两面性。其积极作用体现在：当学生面对新情境、新问题时，经验往往可以驱动、支撑他们思考，并成为他们学习新知的有效支架，最终使其不太完善的认知结构变得更加完善，原有低级认知结构发展为更加高级的认知结构。其消极作用体现在：当学生面对新情境、新问题时，会产生认知冲突，从而导致认知失衡，此时原有的认知结构会开启自我保护功能，拒绝新知识进入。另外，学生在学习过程中容易受数学思维、习惯常规等数学经验（即思维定势）束缚，导致新知学习不畅、学习能力钝化。

经验的事物与过程具有动态的发展性。学生的数学经验来源丰富，可能是数学学习活动，也可能是其他学科的学习活动或课外社会活动。从主体与客体相互作用的角度来看，经验的事物与过程都是动态的、发展的、可利用的，是联络未来的。任何一个经验的过程都要花时间来完成，它是一个“有始有终、中间有发展”的动态生长过程。当学生处于新的学习情境、面对新的数学问题时，他们的已有经验会悄无声息地融入进来，激发认知冲突，从而启动新一轮的学习活动。如此，学习的真实发生总是从经验的迁移开始，伴随着经验的失衡、解构、重构与心理的反省、摒弃、重组等一系列活动过程，这种螺旋上升的动态、循环往复的经验过程带来了经验事物的自然生长。

二、从多重功能彰显“经验数学”的价值

1.落实数学课程目标的新举措

为了体现整体的一致性，义务教育阶段的课标与高中阶段一样，采用核心素养来表述课程目标，并将“侧重对经验的感悟”明确为小学阶段的目标之一。“创新意识”作为数学课程要培养的11 个小学生核心素养之一，其内涵中指向小学阶段的有“主动尝试……发现和提出有意义的数学问题”“勇于探索……实际问题与数学问题”。学生要想“发现和提出数学问题”，就需要有一定的与现象和情境相关联的经验，这种经验是生发问题的源头活水。另外，学生要“探索问题”，就需要有探索问题的一般路径与方法，也就意味着要有“经验过程”的经验。

2.促进学习方式转型的新路径

近年来，学生的学习方式发生了一些改变，但学生创新能力的培养还未能跟上时代发展的步伐，通过转变学生的学习方式来促进其创新能力的提升一直是教育教学研究的热点之一。新课标明确指出：学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。“经验数学”强调在一定的情境中，让学生主动参与学习活动和经验学习过程，并积极对初步的、模糊的经验进行加工处理。教师在设计教学活动时，应注意融入学生的实践知识和实际经验，通过营造氛围、设计任务、搭建支架等激发学生学习的能动性，使学习真实发生，从而使学生创新意识的培养成为可能。

三、从三个维度关注“经验数学”的实践

1.“经验数学”之教——让创新意识自主生发

让创新意识生发于问题情境中。数学在生活中无处不在，生活情境是学生创新意识生发的源点。“经验数学”的教学预设与展开关注问题情境的创设，关注学生生活经验的激发与融入。从外显的角度来看，学生创新意识产生的火花源于有效问题的产生，而学生熟悉的、有效的生活情境与经验能引发学生大胆地猜想，这种猜想就是一种创新。教师在备课时，要注意调研学情，了解学生在日常生活与实践活动中所经历、获得的经验，这些经验看似平常，但如果教师能充分挖掘其价值，并将其合理地融入教学，将有助于激发学生的学习兴趣，孕育创新意识。如教学“认识平行与相交”时，教师可以设计“两支铅笔同时掉到桌子上，结果会怎么样？”这一学生特别熟悉的问题情境，接着开展想一想、画一画、分一分、说一说等活动，让学生经历概念抽象的一般过程。

让创新意识生发于动手操作中。数学是好玩的，儿童是好（hào）玩的，陶行知先生提出的“六大解放”之一就是“解放小孩子的双手”。“经验数学”主张在课堂上给予学生足够的时间和空间，让创新意识从学生的指尖迸发出来。如教学“圆的面积”时，教师可以借助学具，引导学生讨论用不同方法拼摆出图形来推导面积。与讲思路、播PPT、读结论的教学相比，与传统意义上的动手操作相比，“经验数学”教学更加注重学生已有经验的激发，更加重视“知行合一”的创造性实践，更加关注学生在操作过程中的具身体验和实践探究。

2.“经验数学”之学——促创新意识自由生长

让创新意识生长于迁移重构的学习动态。当学生面对新情境、新问题时，经验能够提供具体、可靠而及时的反馈，帮助其理清新情境、新问题中蕴含的信息。“经验数学”提出重经验、重体验、重验证的“三重”学习观，其中，重验证就是要启发学生把学到的数学原理和数学规则应用到新的、实际问题的解决中，创新意识则于这个过程中产生。如在学生合作探究出“偶数+奇数=奇数”这一规律，并依次进行举例验证、数形验证、字母验证的分享后，有学生提出：“我突然想到，可以用字母验证的方法来说明‘2、3、5 的倍数的特征’。”语言是思维的外壳，学生口中的“我觉得”“我突然想到”“受×××的启发”等话语，正是他们自觉地去迁移、去创新后的真情流露。

让创新意识生长于学思融通的学习样态。从内隐的学习心理学、认知发生论的视角出发，“经验数学”倡导建构学思融通的学习样态。首先，通过创设问题情境或学习任务激活学生的已有经验，促进他们独立思考，引发其经验失衡，促使他们在不断自问、质疑、尝试之后，将自己的思考通过多元化的表征方式展现出来。接着，进行基于分享、交流、质疑等学习活动的共学研讨，优化思考问题的方式和思路，形成更为科学、高效而一般化的解题思路或学习路径。最后，通过具有生活情境的变式练习，在解决不同类型的问题时，对前期的思路、模式进行分析、综合甚至是反思评价，从而发展包括创造性思维在内的高阶思维，长此以往，将有助于学生形成相对稳定的思维方式和思维结构。

3.“经验数学”之评——为创新意识培养赋能

日常增值评价为创新意识培养赋能。“经验数学”倡导“看每个学生进步了多少”的评价理念，弱化已有经验水平不同的学生之间的横向比较，在尊重学生已知的前提下重点开展关注学生经验增加值、进步度的纵向评价。以课时、单元教学为日常周期，通过学情调研、对话交流等方式，促进学生获得学科知识、培养创新意识。在日常教学中，教师与学生亦师亦友，甘心站于教室的一角，把学生请到讲台的中央，借助教学实录记载、课堂观察量表、信息技术平台等，真实而详尽地记录每个学生在学习过程中的真实表现，特别是其创新意识的生发与生长过程，进而找准每个学生的经验增加值、思维进阶度，助推其创新意识向创新能力、创新精神生长。

阶段情境乐评为创新意识培养赋能。情境乐评是我们开展的一种阶段性素养评测活动，包括创设真实情境、设计主题任务、解决实际问题等项目，在引导学生开展做中学、学中说、说中用的过程中，考查他们创新意识的发展水平。在期中或期末阶段开展活动时，家长、教师、其他研究者共同担任观察者、评价者，通过一对一观察、模拟情境对话等形式，观察学生全过程的表情、动作、神态、语言，评测学生在面对新情境、新任务、新问题时，能否将积淀的经验进行提取、融合、应用，能否呈现一种看似非经验实则是经验引发质变的顿悟状态。观测结束后，依据评价标准赋予学生不同的星级。

综上，“经验数学”给课堂注入了活力，让学习焕发了生机，让创新意识的培育、创新能力的发展成为可能。“经验数学”给学生带来了有意义的学习历程，能让学生对数学学习的认识产生根本性的变化，这对学生的数学学习、学校生活甚至其未来的发展来说，都将产生积极的影响。