例析外接球问题求解的三种模型

江西省萍乡市教学研究室 (337000) 胡 斌

基金项目：江西省教育科学“十四五”规划2021年度普通类重点课题——高中数学直观想象核心素养提升的实践研究(21PTZD022)

几何体外接球问题是立体几何中非常有趣且培养直观想象素养的一类经典问题，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心的位置问题，其中球心的确定是关键.解决与球有关的问题对直观想象核心素养有较高的要求，在求解此类问题时，很多学生往往不得要领.教学中常用的方法是针对不同几何体的特性进行归类总结为如补形法、墙角模型法、向量法等，类型多，但普适性不强.本文通过利用球内相关量的几何关系，挖掘不同几何体的共性，从给定的前提和条件出发，总结出求解立体几何中外接球问题(主要是求外接球的半径R)的三种模型.

模型一 几何体中存在某一条侧棱(或母线)垂直底面

图1

图2

例1 如图2，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( ).

评注：模型一的关键在于需要有线面垂直，利用“外接球球心与底面外接圆圆心的连线垂直于底面”这一结论，适用面广，条件易满足，只要有线面垂直即可适用，也可如例1这样，把图形调整后满足模型一的条件，从本质上构建出数学问题的直观模型，需注意，此处的“线”需为侧棱或母线.

模型二 几何体中存在某一条侧棱(或母线)满足其顶点在底面的投影位于底面外心

图3

背景：如图3，某几何体的外接球为球O，半径为R，底面的外接圆为截面圆C，半径为r，其侧棱(或母线)PA(A为底面顶点或底面圆周上一点)满足：顶点P在底面的投影为圆心C，则易知球心O在PC上，且OC=PC-R.

例2 如图4(1)，已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2，∠A=60°，∠C=90°，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，如图4(2)，则四面体ABCD的外接球体积为.

(1)

(2)

评注：模型二的关键在于需要有三点一线(侧棱端点、球心、圆心)，通过多面体的一条侧棱或旋转体的一条母线和球心或接点作出截面图，把空间问题化归为平面问题.摒弃复杂图形的分析过程，借助几何直观和空间想象感知事物的形态，剖析问题本质.

模型三 几何体中任意一条侧棱(或母线)既不垂直底面，其顶点在底面的投影也不位于底面外心

图5

背景：如图5，某几何体的外接球为球O，半径为R，底面的外接圆为截面圆C，半径为r，其任意一条侧棱(或母线)(不妨取为PA，A为底面顶点或底面圆周上一点)满足：PA与⊙C不垂直，且顶点P在底面的投影H与圆心C不重合(H与C的距离CH叫做偏心距)，过O作OQ⊥PH，垂足为Q.则易知OC∥PH，OQ∥CH；设PQ=x，则OC=QH=PH-x.

图6

评注：模型三不像模型一和模型二那样具有条件的限制，任何一个立体图形，只要能找到高和偏心距，即可构建关于外接球半径的方程组，从而求出立体图形的外接球半径.其核心思维主要是利用球心的性质，搭建两个直角三角形为桥梁，不失一般性，本模型可解决前两个模型之外的无特殊条件的大部分几何体的外接球问题.

关于外接球问题，根据立体图形的不同特征有很多成熟的结论.本文站在探寻本质，寻求直观的立场上，尝试从另一个角度出发，抓住一个条件的改变导致立体图形的本质变化，从而建立起从特殊到一般的模型系，进一步构建数学问题的直观模型，建立形与数的联系，借助空间认识事物，从而加深学生对数学问题的理解，有助于剖析问题的本质特征，充分体现了高中数学直观想象核心素养的优势和可提升的实践依据.