掌握基本解题策略 提高数学运算能力

福建省龙岩市高级中学 (364000) 谢盛富

1 引言

数学运算是课程学习情境的范畴，是数学学科核心素养之一，在高中数学占有重要地位，运算求解能力是五个“关键能力”之一.《课程标准》明确指出，数学运算是依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等，是解决数学问题的基本手段.在学习中发展数学运算能力，优化解题策略，提高解题效率，借助运算方法解决问题，通过数学运算促进思维发展，倍受关注.

2 基本解题策略

2.1 勤思少算，优化数学运算过程

在教学中应紧扣教材、立足学情，注重基础，充分发挥例习题的功能，通过知识与方法的迁移，提升思维的广度和深度，勤于思考，减少计算量，优化运算过程，提升学科素养.“设而不求”是一种化归与转化的思想策略，能有效地化复杂为简单，化抽象为直观，以此举例说明.

解析：由题意知直线l的斜率k存在，由点斜式设直线l的方程，再联立椭圆C的方程，消y整理得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合中点坐标，可求直线l的斜率.联立方程组是处理直线与圆锥曲线位置关系问题的通性通法，但是计算量偏大，是否有更简洁的求解方法呢？

2.2 特值验证，减少数学运算过程

利用特殊情况代入验证、排查是解客观题的重要手段，也常见于解答题中，往往有事半功倍之效.

2.3 近似估算，简化数学运算过程

近似估算法在解题中也是常见方法，在不需要精确的情况下，采用近似估算法能把问题简单化，简化数学运算过程，迅速确定答案.

A.-1 B.lg7 C.1 D.log710

此外，近似估算也常用于多个数的比较大小中，比较大小时往往不需要知道具体数值，只要借助单调性比较它们的大小，或者估算出它们大致所在范围，如大于1，还是介于0到1，或者小于0，或者其它中间量.

2.4 逼近思想，美化数学运算过程

逼近思想，是指变量趋近于某个数值时，另一变量因此趋近于另一个数值.其中，极端思想是逼近思想的简化版.在求取值范围或判断函数的大致图象时，结合逼近思想能准确迅速求解问题.逼近思想有时也应用在导数解答题中.

图1

例4 (2019年高考北京卷文科第8题)如图1，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( ).

A.4β+4cosβB.4β+4sinβ

C.2β+2cosβD.2β+2sinβ

解析：利用极端思想，当β→0时，弧长AB无限逼近零，阴影区域的面积趋于零；排除选项A、C；当β→π时，弧长AB无限逼近圆周，阴影区域的面积趋于π×22=4π；排除选项D.选B.

2.5 平几知识，巧妙求解简化运算

平面几何知识丰富、优美，比如平行与相似、中位线、中垂线、等边三角形、三角形的“四心”与内角和、角平分线、圆直径所对圆周角是直角、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半等.如果能够充分利用平几知识，不忘特殊与转化，巧妙地优化解题过程，简化其中的运算，尤其常见于求解圆锥曲线问题，往往达到事半功倍之效.

例5 (2021年新高考全国Ⅰ卷第14题)已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|=6，则C的准线方程为.

2.6 回归定义，突出本源运算便捷

定义是数学知识的本源，有了定义才会枝繁叶茂，没有定义则是无源之木.比如，对双曲线下定义后，根据定义，建系列出等式，化简得到双曲线的方程，再研究几何性质.因此在平时解题中应积极回归定义，注意数形结合，在解题运算过程中体现更便捷，喜获答案.

2.7 一题多解，锻炼数学运算能力

一题多解是从多角度研究问题和认识试题背景，它可以发散学生思维，破解思维定势的局限，训练学生不同的解题能力，不但能有效整合各知识板块的思想与方法，而且能有效锻炼数学运算能力.

图2

此外2021年全国高考甲卷理科第15题、文科第16题也有上述解法的影子，至少可从四个角度去分析与求解，有兴趣的读者可以尝试解答.

2.8 多题一解，培养数学运算思维

多题一解能实现减负增效，掌握解决数学问题的本质，促进对数学解题的深度理解，培养数学运算思维，感受知识与方法的内在联系，把数学核心素养的培育融合于课内外.

题1 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为.

题2 已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=.

上述每道题各自可从多角度求解，但也有相同解法，对培养学生的数学运算思维有很大的帮助.在教学中以题1作为例题引入，完成分析、讲解与剖析之后，给出了题2和题3作为课堂练习，题4和题5作为课后作业完成，旨在从直线过焦点到不过焦点、从抛物线到椭圆、双曲线，一次次的体验与感悟，激发学生的探究兴趣，培养分析问题、解决问题、探究能力和数学运算能力.

3 总结

在立德树人的背景下，现今高考试题命制在不断地反套路、反刷题，考查的重点依旧是思维品质和核心素养.在教学中，教师可根据教学需要，结合学情，创设真实又合适的问题情境，渗透数学思想与方法，点拨解题的各种策略与对应的视角，积极培养数学思维，在巩固已有的通性通法的基础上，适当掌握一些简单又易于掌握的解题技巧，在特殊技巧上锦上添花，获得更多的真实体验、知识方法与成绩的收获，让巧妙方法成为解题的通性通法，从中提升数学运算的运用策略，提高数学运算能力，春风细雨润物无声，不断总结、反思，悟出运算之妙！