一道高考模拟题的推广及其证明

江西省修水县第一中学 (332400) 冷清荣

圆锥曲线的定点定值问题是高考常考的一个热点与难点问题，本文通过一道模拟题对其进行探究、类比及其推广.

一、试题展示与解析

图1

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线AM,AN与椭圆E的另一个交点分别为P,Q，记直线PQ,OH的斜率分别为k1,k2，判断k1k2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

二、结论的推广及其证明

评注：本解法中没利用韦达定理，而且也没有完整求出P,Q两点的横坐标，计算更加直观简洁.

图2

类似地，我们可进一步推广到抛物线，得到一个美观简洁而且与直线l:x=t位置无关的结论.

图3

推广3 如图3，已知抛物线F:y2=2px,(p>0)，点H是直线l:x=t上的动点，以点H为圆心且过原点的圆与直线l交于M,N两点，若直线OM,ON与椭圆F的另一个交点分别为P,Q，记直线PQ,OH的斜率分别为k1,k2，判断k1k2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.