《高等数学》教学中融入课程思政元素的实践

◎于金青

(石家庄邮电职业技术学院基础部数学组，河北 石家庄 050021)

德是做人之本，德育是教育之魂，立德树人是新时代教育的根本任务.习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调，要用好课堂教学这个主渠道，各类课程都要与思想政治理论课同向同行，形成协同效应.

《高等数学》除了其工具性的一面，还有其文化性的一面.通过彰显数学的文化属性，可以培养学生坚持真理的科学精神，培养学生创新发展、勇于突破、不畏困难的职业精神，培养学生的自学能力和终身学习的意识.而数学发展史中恰恰蕴含着爱国情怀、哲学思想、科学态度、科学方法、科学精神、创新思想、诚信意识等课程思政元素，结合数学发展史与数学文化挖掘《高等数学》课程中蕴含的思想政治元素，将会更有利于对学生开展思政教育.那么如何做到课程思政元素的自然融入，需要我们不断地思考、实践.下面从六个方面谈一谈在《高等数学》教学中融入课程思政元素的实践.

一、爱国主义

爱国主义体现了人们对自己祖国的深厚情感，揭示了个人对祖国的依存关系，是人们对自己家园以及民族和文化的归属感、认同感、尊严感与荣誉感的统一.它是调节个人与祖国之间关系的道德要求、政治原则和法律规范，也是中华民族精神的核心[1].

回望百年，中国青年爱党、爱国、爱人民的赤诚始终如一，为民族复兴不懈奋斗的步伐从未停歇.在新民主主义革命时期，中国青年不怕牺牲、敢于斗争，为争取民族独立、人民解放冲锋陷阵、抛洒热血；在社会主义革命和建设时期，中国青年勇于拼搏、甘于奉献，在新中国的广阔天地忘我劳动、发奋图强；在改革开放和社会主义现代化建设新时期，中国青年开拓创新、勇立潮头，为推动中国大踏步赶上时代锐意改革、砥砺奋进.所以，在授课过程中进行爱国主义教育，是每一位数学教师的神圣职责.

例如，在引入极限概念时，可以举这样的例子：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”并介绍庄子和他的贡献.庄子，名周，是著名的哲学家、思想家、文学家.《庄子》一书反映了庄子的批判哲学、艺术、美学等诸多方面，原有52篇，现存33篇，是庄子本人或他的后学所作.其中的《天下》篇，在学术上有巨大的价值，包含很多数学的道理.如记载慧施等人的学说：“慧施多方，其书五车，其道舛驳，其言也不中……至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一……飞鸟之景，未尝动也.镞矢之疾，而有不行、不止之时.”

“飞鸟之影，未尝动也”和希腊埃利亚学派的芝诺所提出的悖论“飞箭静止说”如出一辙.“镞矢之疾，而有不行、不止之时”的立论更为精辟.它所表达的思想，比芝诺单纯说飞箭静止更为深刻！

最脍炙人口的是“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”“捶”同“棰”，就是棍、杖的意思.万世、万古都是永远的意思.竭是尽.这句话的意思是一尺长的棍子，第一天取去一半，第二天取去剩下来的一半，以后每天都取去剩下的一半，这样永远也取不尽.这个著名的论断，就是在引入极限概念时所引用的例子[2].

通过这个例子，让学生具体体会到，我国古代思想的博大精深.

二、公正平等

所谓公平正义，就是说公正而不偏袒没有偏私.公平正义是人类社会文明进步的重要标志，是社会主义的本质要求，衡量社会进步的重要标准，是社会主义和谐社会的重要前提.习近平总书记在中共十八届三中全会第二次全体会议的讲话中指出，要把促进社会公平正义、增进人民福祉作为一面镜子，审视我们各方面的体制机制和政策规定，哪里有不符合促进社会公平正义的问题，哪里就需要改革.[3]

推进社会公平正义，能否达成共识至关重要.有了共识，人民群众在追求和实现公平正义过程中的实干精神与恒久信念才会树立起来.

三、严谨、诚信

严谨性是数学学科的基本特点.即使是一些最基本、最常用的原始概念，数学学科也不满足于直观描述，而要求用公理来加以确定.数学的逻辑推理严密，从它的公理开始到演绎的最后一个环节不允许有一句假话，即使错一个符号也不行.数学结论对错分明，不模棱两可.在数学内容的系统安排上，也必须符合学科内在的逻辑顺序.

针对数学学科的这一特点，在授课过程中，教师可以通过举例子——第二次数学危机的产生与解决，让学生们具体感受数学文化中的严谨、诚信.

(一)第二次数学危机的产生

在古希腊时代，阿基米德给出了求圆面积的方法：将圆划分成无穷多个底为无穷小，高等于半径的三角形，由于每个三角形的面积都等于底乘高的二分之一，因此圆的面积就等于圆的周长(即所有三角形底边长之和)与半径一半的乘积.

然而，这种求圆面积的方法的问题在于如何定义一个无穷小三角形.如果它的面积为0，那么相应地圆的面积也为0；如果它的面积不是0，那么相应地圆的面积就为无穷大.显然这两种情形都不会得到正确的结果.

1629年，费马将导数定义为曲线在某点处的正切值(斜率)，把无穷小用于导数的定义.具体来说，他首先考虑穿过该曲线上两点的一条割线，一点是给定的，另一点与给定点的距离为无穷小h，接着计算出源于几何正切的三角正切：增量的商.例如，若曲线为抛物线y=x2，则增量的商为：

假设h在作为因子消去时不等于0，在最后被除去时等于0.显然，这一做法不可避免地引起了关于相容性的强烈质疑.

牛顿和莱布尼茨发明了微积分，但是微积分的基础缺乏严谨性，因此，英国大主教贝克莱将无穷小称为“消失数量的幽灵”.微积分基础存在的问题导致了第二次数学危机.

(二)分析的严格化

针对这次危机，莱布尼茨和牛顿回应得不够.因为莱布尼茨使用无穷小建立微积分有他的担心，这种担心是哲学方面的，与实体的最终成分有关(一元组).而牛顿使用的方法也有他对基本应用的担心，这种担心是物理方面的，与变化(速度)的度量有关.牛顿将几何图形设想成是由连续运动产生的,即曲线是由点的连续运动产生的；曲面是由线段的连续运动产生的；立体是由曲面的连续运动产生的.导数对他来说，不是两个无穷小静止的比，而是一个“流动”量的动态的“流数”.在他的著作《原理》中，他清楚地表示：“量消失之后得到的最终比，严格地说，不是最终量的比，但极限接近于这些无限递减的最终量的比”.

1821年，柯西继续研究了这种思想，将极限概念作为整个微积分的基础.与今天所使用的方法一样，他将费马的求抛物线导数的例子明确表示为：

这里，由于h不等于0所以可以消去它，令h趋近于0代替了将之除去(不必像以前一样将h视为0).换句话说，无穷小是变量，不是常量.

1859年，外尔斯特拉斯给出了极限的精确定义，即我们所熟悉的ε-δ定义.有了这个定义，数学分析的基础就是完备的了，从而完成了对分析的严格化.从此微积分就能自圆其说，而不是模棱两可的知识体系了.

通过上面这个具体的例子，很自然地让学生体会到为什么数学逻辑推理的任何一个环节不允许有一句假话，从而认识到诚信、严谨的重要性.诚信是中华民族的传统美德，为人处事的最基本准则.诚信是行业立身之本，是法律规范的道德，是支撑社会道德的支点.以此引导学生养成严谨、诚信的数学思想.

四、量变与质变

质量互变规律是马克思主义唯物辩证法三大规律之一.马克思认为物质世界是按照它本身固有的规律运动、变化和发展的，这个规律本身就是由量变到质变的过程，世界上所有事物的联系和发展只存在量变和质变两种基本形式.

量变和质变的辩证关系有几点：第一，量变是质变的必要准备.任何事物变化都有一个量变的积累过程，没有量变的积累，质变就不会发生；第二，质变是量变的必然结果，单纯的量变不会永久地持续下去，量变达到一定程度必然引起质变；第三，量变和质变是相互渗透的.

在教学过程中，教师发现很多学生在学习上有畏难情绪，觉得高等数学比初等数学难学，为什么会这样呢？我们一起看一下高职高专课本上极限的概念：

x→x0时函数f(x)的极限：

教师在讲授这个极限概念时，画出具体的函数图像，然后任意找3个距离x0很近的自变量标在图像上，再在图像上标出这3个自变量对应的函数值.通过手动展示让学生看到，当自变量x向着一个数x0运动时，相应的函数值是怎样运动的，从而让学生具体感知到高等数学从极限概念开始进入动态数学，需要用动态的、发展的眼光看问题，需要深刻理解量变与质变的辩证关系.这样，学生会觉得数学与现实世界联系紧密，从而消除学生的畏难情绪.

五、善于学习交流

善于学习，就是善于进步.本领不是天生的，必须通过不断学习才会有所长进、有所提高.从数学发展史来看，数学是通过交流才得以深入发展的.交流对于加强对数学的认识和理解有着重要的作用.在交流的过程中，人们可以更好地理解和使用数学语言和符号，可以强化数学思维，也可以通过思考他人的想法和策略丰富和扩展自己的思维.

在这方面的一个标杆是德国数学家莱布尼茨，因此在教授牛顿-莱布尼茨公式时，教师可以简单介绍一下博学多才的莱布尼茨.

莱布尼茨，德国数学家、自然科学家、哲学家.1646年出生于莱比锡.莱布尼茨是历史上少见的通才，他的父亲是德国的一位教授，他少年时代自修希腊文及拉丁文，15岁就进入莱比锡大学读书，他的学习课题涵盖广泛，包括法律、哲学、数学、逻辑学、科学、历史、神学等.他在纽伦堡的阿特多夫大学完成法律博士学位后进入外交界服务.在科学方面，莱布尼茨贡献出动能的概念；他既是工程师，又是建筑师.1700年，莱布尼茨创建了柏林科学院，由他担任首届院长.这些都是莱布尼茨在独立发明微积分之外的成就.

莱布尼茨和牛顿有许多共同点，有些地方令人惊讶，有些地方则不那么奇怪.他也协助他的国家进行钱币改革，监督汉诺威的造币厂；他有办法集中全部心智，解开难倒他人的难题；他有一双灵巧的手，亲手制作一台计算机，它不但能做加减法，还能做乘法和除法，他1673年去伦敦旅行时，带了这台计算机到皇家学会表演，事后立即获选为院士[2].

这就是一代通才莱布尼茨，可以感受到莱布尼茨涉猎的范围很广.曾担任外交职务的莱布尼茨，善于学习交流.善于学习，就是善于进步.我们可以借鉴他的成才经历，保持“吾生也有涯，而知也无涯”的清醒认识.

六、创 新

现代经济和科学技术的迅速发展使得数学的作用空前重要，培养高素质的、具有创新精神和创新能力的人才是时代发展的需求.高等院校肩负着为国家培养高素质人才的重任，而高素质的人才不是只会背书和考试的“旧”型人才，而是具有创新精神的新型人才.敢闯“无人区”，敢破“天花板”，勇当“探路者”，才能见人所未见、识人所未识，收获别样的风景，开辟崭新的天地.

为了培养学生的创新精神，在讲授洛必达法则时，教师可以简单介绍一下数学家洛必达的贡献.洛必达是法国数学家，他聪颖早慧，15岁就解出了数学家帕斯卡提出的摆线难题.在数学家伯努利门下学习过微积分，后来又结交其他数学家，在长期通信中萌发了许多新思想，解决了约翰·伯努利提出的“最速降线”等问题.其主要著作是1696年出版的《阐明曲线的无穷小分析》，是世界上第一本系统的微积分学教科书，该书对传播新创建的微积分理论起了重要作用.由于该书的影响，“无穷小分析”或“分析”成了微积分的同义词[6].

但是有的学生有自己的想法，想挑战不可能，结果真的用第一章中的方法求解出了第二个例子的极限值.当时我很欣慰自己有这样的学生，于是我将他的解法在课堂上进行展示，并对同学们说，他做得很好，他敢于质疑，已经有了守正创新的思想意识，如果继续保持，带到以后的学习和工作中，必将会有所斩获.

以上是课程思政元素融入《高等数学》教学过程中的一些具体的实践.数学发展史和数学文化能让我们透过数学知识本身看到更多有价值的东西，如何将这些价值挖掘出来，并将课程思政自然融入其中，需要数学教师不断思考、探索与实践.