利用数学史促进教师教学的深度思考

崔婉婷（广东省广州市白云区马务小学）

李江英（广东省广州市白云区三元里小学）

李少灵（广东省广州市白云区黄边小学）

从远古时期至今，数学一直伴随着人们的生活。小小的数学知识背后有着历史大背景。教师在研读教材时要对教学知识点的深度和广度进行思考，在教学设计中关注知识的来龙去脉，在有限的教学时间内带给学生更多的启迪。

一、研读小知识，挖掘大背景

数学史源远流长，但是数学史料并不一定会直观展示在教材中，而是有赖于教师利用多种途径去挖掘。教师深度挖掘数学知识背后丰富的数学史，是恰当融入数学史的前提，也是突破教学难点的有效途径。在数学课堂上让学生了解数学史，有利于学生更好地学习数学。

1.利用显性知识挖掘历史背景

教师要善于从显性数学知识中挖掘隐性的数学历史背景。例如，在教学人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）一年级上册“0的认识”时，教材中通过呈现了“猴子吃桃”的情境图引出对“0”的认识，并借助直尺上的“0”引导学生体会“0”还可以表示起点。在学习过程中，学生对“0”的学习显得很迷茫。为了解答学生的疑惑，教师查阅零的发展史：1881年夏天，在古代印度西北部距离白沙瓦市约80公里的巴克沙利村庄里，一个佃户在挖地时发现了书写在桦树皮上的手稿，上面记载了公元元年前后数个世纪的印度数学。当时的零用实心的点表示，后来逐渐演变成圆圈，圆圈表示的零最晚于9世纪就已在印度出现。它既表示“无”的概念，又表示位值制计数法中的空位。中国数字发展中，空位先用“□”表示，慢慢就用“○”取代了“□”，由此“0”产生了。

“0”的认识是比较抽象的，教师难以提供直观、具体的数量与之建立联系，而利用数学史能够激发学生深入思考，可以采用多种形式把数学史融入课堂教学。例如，可以通过讲故事深入浅出地嵌入式穿插教学，也可以将情境展示融入课堂教学，复原古代零的发展史，从而让学生体验和感知“0”的意义，再结合实际生活情境理解“0”，激活已有的生活经验和数学知识，让学生经历与数学家类似的知识形成过程，扫清学习障碍。这样在遵循学生认知特点的基础上，拓宽视野，激发数学学习热情，能增强学生对知识的深入思考与理解。

通过引入我国古代零的发展史，让学生了解远古代人们的智慧和国家的强大，能够激发学生的爱国热情，培养学生的创新意识，继续深入探寻、开发和利用数学史资源。

2.由“点”挖掘出“面”

教师要善于从教材给出的数学史中的一个“点”挖掘出整个“面”。例如，在教学教材五年级上册“多边形的面积”中“梯形的面积”时，教材第94页提供的数学史料是：我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积。“出入相补”原理是指把一个图形分割、移补，而面积保持不变。教材展示的是利用这个原理可以推导出梯形的面积公式。用这样鲜活的数学史引入，可以增强学生的民族自豪感和认同感，激发学习兴趣。

在教学中，教师可以沿着数学家的足迹带领学生探究梯形面积的计算，让学生明白：利用“出入相补”原理把梯形转化成为平行四边形，在转化的过程中虽然形状变了，但是面积却没有改变。利用“出入相补”原理求出梯形的面积以后，学生深入思考三角形，甚至一些不规则图形是否也可以利用这个原理去求它的面积，促进知识的正迁移，同时体验转化的数学思想方法。

“出入相补”原理这个数学史料不仅仅是放在例题学习后面的拓展知识中的一个“点”，教师要善于融合相关知识，引导学生把这个“点”放大到整个“面”，让它贯穿于数学知识的学习，并把这种思想方法运用到今后的各科学习中。

教师在研读教材时了解数学史产生和发展的大背景，能够丰富教师的专业知识储备，帮助教师更好地理解教材内容，适时、适当地将数学史融入教学，充分发挥数学史的教育价值，提升教师教学的深度思考，促进教师对数学史文化的认识，提升其数学专业素养。

二、观察生活现象，思考数学本质

在备课过程中，教师要深入思考，依照教材上的单元内容搜寻相应的数学史料，设计让学生经历数学家探究、发现知识的过程，有助于学生了解数学知识的历史渊源，激发学习热情，提高学习效果。

例如，生活中可能性的现象处处可见，人们一般用抛硬币的方法来决定事件的概率。在教学教材五年级上册“可能性”时，教师要研读教材、深度思考和理解教材，查阅文献，巧妙设计教学，让学生重走数学知识的建构过程，引导学生通过试验掌握技能、技巧，认真观察试验现象，发现知识本质。在课堂教学中，教师可以把全班学生随机分为8个小组。每个小组成员每人抛10次硬币，记录数据填入小组表格中。小组完成试验后，记录员将本组的总计填入班级总表中进行合计。教师提醒学生注意思考：硬币正面朝上的次数与总次数之间有什么关系？通过试验发现：当抛硬币次数较少时，正面朝上的可能性并不一定就是总次数的，数据具有随机性。但是，当我们把全班各小组所抛次数合计后，便能发现随着抛硬币的次数增加，正面朝上及反面朝上正面朝上和反面朝上的次数会逐渐接近，也就是出现可能性相等，这与历史上一些数学家抛硬币的试验结果是相同的，具体如表1所示。

通过研读数学史，教师巧妙地将数学史融入教学活动中，引导学生沿着历史的足迹研究数学，让学生不知不觉地将自己当作数学家一样做实验，发现知识，理解算理，体验再创造的快乐，同时培养了学生团结协作、合作共赢的意识，鼓励学生向数学家学习，感悟坚持不懈的努力才会越来越接近成功的道理。

数学与人类的生产劳动紧密相连。生活中处处有数学，如人体的构造、大自然中树叶和花瓣的组成，一切美的造型都与黄金分割相关。古代人巧用大自然中日出、日落的周而复始和滴漏壶现象，巧妙制造出日晷、铜漏壶等记录时间的工具。数的产生、发展过程，神奇的斐波那契数列等无不体现了古人的智慧、数学的神奇和伟大。在教学中，教师要以数学教学为主轴，同时考虑学生的认知规律，深度思考如何将数学史材料适当地融入教学，使之助力于课堂教学，拓宽学生视野，培养学生全方位的认知能力。

三、阅读数学史，感受数学思想

在小学数学教学中，数学史是学生学习数学文化、感受数学思想的重要载体之一。在数学史辅助教学的过程中，由于教材内容和学生接受能力的不同，教师需要对数学史材料进行必要的加工。荷兰数学家弗赖登塔尔的“再创造”思想正好可以说明此类问题。

在重视培养学生学习能力和发展思维的数学课堂上，教师从分析教学的需要入手，深入研究教材、灵活处理教材，通过考查知识点的历史发展、教学目标，以及学生的认知特点和知识水平来构建具体的课堂教学，再选择合适的时机，恰到好处地引入数学史知识，将有利于学生全面理解数学知识，拓展思维，举一反三，提升学生的迁移能力，提高课程教学效果。这对教师的教学提出了更高的要求。教师需要深入阅读并思考才能更好地设计课堂教学。在教学实践的过程中，教师的反思和批判能力也能得到提升。

例如，在教学教材四年级下册“简便运算”时，为了培养学生的数学思维和举一反三的能力，教师在备课中可以把著名数学家高斯的故事融入课堂教学。通过实践让学生体验计算“1+2+3+…+98+99+100=？”如果将这个连加算式一个一个地运算，既难以确保正确率，又费时、费力。教师可以引导学生换一种思维，换一种角度，巧妙搭配，分组计算。由于1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，49+52=101，50+51=101，这样等于101的组合一共有50组，答案就是101×50=5 050。这样的思路简明易懂，正是数学王子高斯解决1连加到100的简算方法。教师深度思考、有效安排教学过程，先让学生自由、独立计算，通过实际操作活动，发现自己的算法既烦琐，又容易出错，不容易得出正确答案。而通过探究，领悟到高斯的巧算思维，能快速、准确地知道结果，又学习、感悟了等差数列求和的相关知识，巧妙搭建了相关知识之间的桥梁。此时，教师可以恰当引导，教育学生今后在遇到新问题时，都应该先思考、类比之前学过、做过的相关习题和解决方法，综合思考后找到最佳方案，采取最优方法解决问题。由此可见，教师深入理解教材、思考教学环节，把数学史融入课堂教学是有必要的。

四、品读数学家故事，培养优秀品质

1.借鉴数学家故事，培养良好品格

榜样对人有很大的影响。数学史中众多鲜活、生动的数学家故事，能够启迪和促使学生形成良好的品格。在课堂教学中，教师应当根据教学内容适时融入相关的数学家故事。

例如，在教学教材六年级上册“圆”时，教师可以让学生经历用“割圆术”探究圆周率的过程，感受数学家孜孜不倦的探究精神。中国古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法，即圆的周长约是它直径的3倍，这个数值在很长一段时间里被用来进行圆的有关计算。但是，刘徽认为用“周三径一”计算出来的周长，实际上并不是圆的周长，而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小很多。于是刘徽决定继续分割，做成一个圆内接正十二边形、正二十四边形……按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的周长一直算到了正3 072边形，并因此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值，最后还指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

正因为刘徽不满足于已有的结论，才会孜孜不倦地进行探索。要进行如此精密的计算，在当时是一项极为细致而艰巨的脑力劳动，而且还需要日复一日地重复这种状态，一个人要是没有顽强的毅力，是完成不了这项工作的。教师利用数学史引入数学家故事，不仅可以为学生指明道路，而且对学生树立远大理想也起到了促进作用。数学家严谨治学的态度，坚持不懈、勇于探索的精神，能够让学生感到震撼，激励学生攻坚克难、奋发图强。

2.对比探索成果，发展数学思维

数学史上有很多数学问题吸引了一位又一位数学家研究并完善。例如，教材五年级下册“因数与倍数”时，教师可以以教学“哥德巴赫猜想”的发展为例培养学生的数学思维：早在1742年，德国数学家哥德巴赫就提出了这一著名的猜想“任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和”。当时很多数学家用举例验证的方法，发现结果都是正确的，但却无法证明。直到1920年，挪威数学家布朗利用筛法证明了每一个大于2的偶数都可以表示为两个质因数不超过9个的数之和，简称“9+9”；1948年匈牙利数学家兰恩易开辟了另一种新方法，证明了“1+6”；1966年，我国数学家陈景润证明了“1+2”，轰动了全世界，它与“哥德巴赫猜想”的“1+1”只有一步之遥。如今“互联网+数论”的新时代，哥德巴赫猜想的最终证明还有待我们继续去探索。

教师要查阅相关文献，研读数学史，通过今昔对比，了解到数学家不满足现有知识结论，多途径、多角度、多样化的解决策略，在分析问题时追求数学知识严密性的精神，数学发展才能攻克一个又一个难关。教师在“哥德巴赫猜想”发展史的研究中，发展数学思维并逐渐得出精密科学结论，同时渗透逻辑推理的思想，感受今昔对比，探寻未来，培养学生的创新能力。

由此可见，教师研读教材，挖掘数学知识背后的大背景，利用数学史深度思考、合理进行教学设计，对教师的专业发展起到了促进作用，对于激发学生数学学习的热情、培养创新人才也有明显的效果。