分类讨论助解异形函数图象问题

苏立鹏　李铭辉　梁诗埼

分类讨论思想是中考数学的热点.下面举例介绍其在中考试卷里的应用.

[真题再现]

例1 （2022·湖南·衡阳）如图1，已知抛物线y = x2 - x - 2交[x]轴于A，B两点，将该抛物线位于[x]轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．

（1）写出图象W位于A，B两点之间的部分对应的函数关系式.

（2）若直线[y=-x+b]与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出[b]的值.

（3）[P]为[x]轴正半轴上一动点，过点[P]作[PM?y]轴交直线[BC]于点[M]，交图象[W]于点[N]，是否存在这样的点[P]，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点[P]的坐标；若不存在，请说明理由．

[思路分析]

整体分析：用分段函数的模型和分类讨论的思想来分析，把图形分成三段分别研究，第一问即是中间段的函数表达式（这是分类中的一个部分，要注意取值范围），第二问、第三问都可以转化成常见的二次函数交点数量问题和相似三角形存在性问题，注意图象特征即可.

逐问分析：（1）先求出点A，B，C的坐标，再利用待定系数法求解函数关系式. （2）其一由图象可直接求得，其二根据第一种情况分析并联立方程组，由判别式Δ = 0求出b的值. （3）要结合题中的条件进行两次分类讨论：第一次分类根据相似三角形的性质分∠CNM = 90°和∠NCM = 90°两种情况；第二次分类根据点P与点B的相对位置，分点P在线段AB上和点P在AB的延长线上两种情况．

[过程详解]

解：（1）由翻折可知：C（0，2）.令[x2-x-2=0]，解得[x1=-1]，[x2=2]，∴A（ - 1，0），B（2，0）. 设图象[W]位于A，B两点之间的部分的解析式为y = a（x + 1）（x - 2），将C（0，2）代入，解得[a=-1]，∴图象[W]位于A，B两点之间的部分的函数关系式为y = - （x + 1）（x - 2） = [-x2+x+2]（[-1≤x≤2]）．

（2）聯立方程组[y=-x+b，y=-x2+x+2，]整理，得[x2-2x+b-2=0]，由Δ = 4 - 4（b - 2） = 0，得b = 3，此时方程有两个相等的实数根. 由图象可知，当b = 2或b = 3时，直线[y=-x+b]与图象[W]有三个交点.

（3）存在. 如图2，当点P在线段AB上且[CN?OB]时，[△OBC∽△NCM]，此时，点N与C关于直线[x=12]对称，∴点N的横坐标为1，∴P（1，0）；如图3，当点P在线段AB延长线上且[CN?OB]时，[△OBC∽△NCM]，此时，点[N]纵坐标为2，由[x2-x-2=2]，解得[x1=1+172]，[x2=1-172]（舍），∴点N的横坐标为[1+172]，所以[P1+172，0]；如图4，当[∠NCM=90°]时，[△OBC∽△CNM]，此时，直线[CN]的解析式为[y=x+2]，联立方程组[y=x+2，y=x2-x-2，]整理得x2 - 2x - 4 = 0，解得[x1=1+5]，[x2=1-5]（舍），∴N的横坐标为[1+5]，所以P（[1+5]，0）.

[能力提升]

例2 （2021·四川·泸州）如图5，在平面直角坐标系中，抛物线[y=-14x2+32x+4]与两坐标轴分别相交于A，B，C三点.

（1）求证：∠ACB = 90°.

（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．

①求DE + BF的最大值；

②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

解：（1）令x = 0，得[y=4]，∴C（0，4）. 令[y=0]得[-14x2+32x+4=0]，解得x1 = -2，x2 = 8，[∴A（-2，0）]，[B（8，0）]，∴[AB=10]，[AC=25]，[BC=45]. [∵102= （25）2+（45）2]，[∴AB2=AC2+BC2]，[∴∠ACB=90°].

（2）①设直线BC的解析式为[y=kx+b（k≠0）]，将[B（8，0）]，[C（0，4）]代入得[8k+b=0，b=4，]解得[k=-12，b=4，][∴y=-12x+4]. 设[Dx，-14x2+32x+4]，[∴BF=8-x，DE=-14x2+32x+4--12x+4=-14x2+2x]，[∴DE+BF=-14x2+2x+8-x] [=-14x2+x+8] [=-14（x-2）2+9]. [∵-14<0]，[∴-14（x-2）2≤0]，[∴-14（x-2）2+9≤9]，[∴DE+BF≤9]，即DE + BF的最大值为9.

②[∵]点G是AC的中点，∴在[Rt△AOC]中，[OG=12AC=AG=5]，即△AOG为等腰三角形. [∵∠CAO+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°]，[∴∠CAO=∠OCB]. [∵OC?DF]，[∴∠OCB=∠DEC]，[∴∠CAO=∠DEC].

a. 若△AGO ∽ △EDC，则[AGAO=EDEC=52]，即[-14x2+2xEC=52]，∴[52]EC = -[14]x2 + 2x. [∵OC?DF]，[∴ECBC=FOOB，∴EC=BC?FOOB=5x2]，[∴-14x2+2x=5x2×52]，[∴x2-3x=0]，解得x1 = 0，[x2=3]. 当x = 0时，点D与点C重合，不符合题意，∴此时点D坐标为[3，254].

b.当△AGO ∽ △ECD时，[AGAO=ECED=52]，即[EC-14x2+2x] = [52]，∴EC = [52-14x2+2x]，[∵OC?DF]，∴[ECBC=FOOB]，[∴EC=BC?FOOB=5x2]，∴[52-14x2+2x] = [52x]，整理得，[∴x2-4x=0]，解得[x1=0]，[x2=4]. ∵x = 0不符合题意，舍去. ∴此时点D坐标为（4，6）.

综上所述，[D3，254]或[D（4，6）]．