对数均值不等式及其应用

黄瀚元

(广西壮族自治区柳州高级中学 545006)

在近些年的高考与模拟考试卷中，以上述不等式为背景的试题屡见不鲜，如果我们能掌握并熟练运用上述不等式，那么我们的解题思路就可以清晰自然，解题过程就可以简洁通畅，为此，我们有必要对此不等式做深入研究.

1 对数均值不等式的证明

下面我们来证明这个不等式.

不失一般性，不妨设a>b.

所以函数f(x)在区间(1,+∞)单调递减.

故f(x)

所以函数g(x)在区间(1,+∞)单调递增.

故g(x)>g(1)=0. 证毕.

2 对数均值不等式的推论

结合上述证明过程，我们可以得到两个重要的不等式链：

用图象表示如图1、图2所示：

图1 图2

如果我们把对数均值不等式中的a,b分别用ea,eb替换，则可得到：

我们把它叫做指数均值不等式.

3 对数均值不等式的应用

证明由对数基本不等式可知

把上式中的a,b分别用x+1,x替换，得

证明由对数基本不等式可知

把上式中的a,b分别用n+1,n替换，得

证明由对数基本不等式可知

例4 方程lnx=ax有两个不相等的实数解x1,x2，证明：x1+x2>2e.

由对数均值不等式可得

所以lnx1+lnx2>2⟺x1x2>e2.

例5 已知函数f(x)=x-aex有两个不同的零点x1,x2，求证：x1+x2>2.

又因为x1,x2是f(x)的两个极值点，

所以x1>0,x2>0，且x1+x2=a,x1x2=1.

又由对数均值不等式可知