不可忽视的定义域

李文东

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

函数的定义域是函数三大要素之一，而数列是特殊的函数，因此在解决与函数或数列问题时我们需要时刻关注定义域，如果忽略它，常常会使解题出现各种不必要的错误，出现“失之毫厘谬以千里”情况．本文针对几种常见忽略定义域的典型问题进行归纳和总结.

1 求解函数的单调性、奇偶性和周期性问题忽略定义域

判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误.

例1 判断函数的奇偶性.

正解实际上，此函数的定义域为[-1,1)，正确答案为：非奇非偶函数.

(2)错解显然f(x)满足f(-x)=f(x)，故函数f(x)为偶函数.

正解函数f(x)的定义域为{-1,1}，且f(1)=f(-1)=0，故函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

例2 求函数f(x)=x2-2lnx的单调区间.

正解由于f(x)的定义域为(0,+∞)，故f(x)的递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1).

2 求解函数值域或最值问题忽略定义域

A.33 B.22 C.13 D.6

错解y=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3．

因为1≤x≤9，所以0≤log3x≤2.

所以当x=9，即log3x=2时，ymax=22．

正解因为f(x)的定义域为[1,9]，

因为y=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3，

所以当x=3，即log3x=1时，ymax=13．

3 函数作图时忽略定义域

解析方程f(x)=0解的个数

作出f(x)的图象如图1所示，由此可知：当a∈[0,e)时，方程无解；当a<0或a=e时，方程有唯一解； 当a>e时方程有两解.

图1

4 求解数列的单调性问题忽略定义域

数列是定义域为N*或{1,2,…,n}的函数，因此我们可以利用函数的思想来研究数列{an}问题，比如单调性，但是要注意到数列的定义域！

例6 已知数列{an}中，an=n2+λn，且{an}是递增数列，求实数λ的取值范围.

5 求解数列的通项问题忽略定义域

(1)求数列{an}的通项公式;

当n=1时,a1=1,

①

②

即bn=2(2n+1).

当n=1时，T1=b1=9，

当n=1时，T1=9也满足上式，

综上，Tn=2n+2+2n-1.

③

④

当n=1时，T1=b1=9,

当n=2时，T2=b1+b2=14,

当n=2时，T2=14也满足上式，