一道热学题的思考

孙 翱

(辽宁师范大学附属中学 116021)

理想气体压强的微观解释和热力学第一定律一直是高中物理中的难点，下面就以一道题为例分析如何利用定量分析的方法解决压强微观解释中的难点问题并且利用P-V图像来求解该题的做功问题.

题目一定质量的理想气体经历如图1所示的一系列过程，AB、CD、DA这四段过程在P-T图象中都是直线，其中CA的延长线通过坐标原点O，下列说法正确的是( ).

图1

A.A→B的过程中，气体分子每次碰撞器壁的平均冲力增大

B.B→C的过程中，气体分子在单位时间内撞击单位面积器壁的分子数减少

C.C→D过程与A→B过程相比较，两过程中气体与外界交换的热量相同

D.D→A过程与B→C过程相比较，两过程中气体与外界交换的热量相同

首先分析A与B两个选项，这两个选项考察了理想气体压强的微观解释.

气体压强产生的微观机理一直是高中物理教学中的重点和难点，学生很难抽象出气体微观物理模型.对一些基本概念诸如“单位时间内撞击容器壁上单位面积的次数”、“气体的粒子数密度”、“气体单位面积上受到的平均作用力”等概念模糊不清，特别是当压强不变时，研究温度升高后单位时间内撞击器壁单位面积上的气体分子数时，学生会有疑问，因为一方面温度升高，气体分子的热运动更剧烈，单位时间内撞击器壁单位面积的分子数应该增多，另一方面压强不变，温度升高，体积增大，粒子数密度应该减小，单位时间内撞击器壁单位面积的分子数应该减少，因此针对以上问题引导学生建立出物理模型，利用物理模型定量表示这些物理量就变得尤为重要.

我们所要描述的物理模型为理想气体，除了在碰撞的一瞬间外，可以认为气体分子之间的作用力忽略不计，且分子与器壁的碰撞是弹性碰撞.

将气体分子看成是能够与气壁发生弹性碰撞的小球.设小球向左运动与气壁发生弹性碰撞，设水平向右为正方向(如图2)，每个气体分子与器壁碰撞后的平均作用力为F0，利用动量定理

图2

F0Δt=mv-(-mv)=2mv

(1)

设Δt内一共有ΔN个气体分子与面积为ΔS的一侧器壁发生碰撞，则这些气体分子产生的总作用力为F

FΔt=2ΔNmv

(2)

设压强为p

pΔSΔt=2ΔNmv

(3)

(4)

由(4)式压强也可以描述成大量分子在单位时间内撞击单位器壁上的平均总冲量，也可以描述成大量分子撞击器壁单位面积的平均作用力.

由(4)式不难看出，若压强保持不变，升高气体温度会使分子的平均动能增加，分子动量也会增加，分子单位时间撞击器壁单位面积的次数就会减少.另一方面，分子的平均动能越大，分子与器壁碰撞得也就越频繁，分子单位时间内撞击器壁单位面积的次数应该增大，我们用粒子数密度与分子的平均速率来描述单位时间内碰撞在单位面积上的分子数.

图3

(5)

(6)

(7)

(8)

由以上这些定量推导的公式可以很好得理解在温度不变的条件下，分子的平均动能不变，体积越小，粒子数密度越大，单位时间内分子撞击单位面积器壁的次数越多，气体的压强就越大；在体积不变的条件下，粒子数密度不变，温度越高分子的平均动能越大，单位时间碰撞在单位面积器壁的分子数越多,压强越大.

回到本题，由之前的分析可知，大量气体分子撞击器壁单位面积的平均作用力就是压强，因此A选项因为压强增大，平均冲力增大，B选项温度升高、压强不变，可以根据(4)式平均速率增大，单位时间内单位面积器壁上受到气体分子的撞击次数减少.

回顾2019年辽宁省理科综合33题考察的也是这一知识点.

高考真题 如P-V图4所示，1、2、3三个点代表某容器中一定量理想气体的三种不同状态，对应的温度分别是T1、T2、T3. 用N1、N2、N3分别表示这三个状态下气体分子在单位时间内撞击容器壁上单位面积的次数，则N1____N2，T1____T2，N2____N3. (填“大于”“小于”“等于”)

图4

我们再来看开篇题目中的C和D选项.两个选项考察的是外界与系统之间的热量交换，我们需要借助于热力学第一定律进行求解.首先是C选项.

C→D过程与A→B过程都为等温变换，因此内能不变，想弄清C→D过程与A→B过程系统与外界交换的热量多少就可以转化成判断C→D过程与A→B过程系统与外界做功的大小.P-T图象不容易判断做功的大小，我们转而研究P-V图象如图5.

图5

(9)

方法二由P-V图像只需比较出C→D等温线图象与坐标轴围成的面积与A→B等温线图象与坐标围成的面积大小即可.B→C过程与D→A过程为等压过程.

WBC=-pB(VC-VB)

=-(pCVC-pBVB)=NR(T1-T2)

WAD=-pD(VD-VA)

=-(pDVD-pAVA)=NR(T1-T2)

因此WBC=WAD

由图6可得a面积与b面积相等，那么BA等温线与横轴围成的面积就一定小于CD等温线与横轴围成的面积.因此|WAB|<|WCD|，|QAB|<|QCD|.

图6

最后我们再来分析原题中的D选项.

D→A过程与B→C过程相比较，D→A温度降低ΔUDA<0，体积减小，外界对系统做功WDA>0，系统向外界传热QDA<0，ΔUDA=WDA+QDA.B→C是C→B的逆过程，C→B温度降低ΔUCB=ΔUDA，体积减小，外界对系统做功WCB=WDA，系统向外界传热QCB=QDA，|QBC|=|QDA|，因此两过程中气体与外界交换的热量相同.