二次曲线系方法解题赏析

广东省佛山市南海区大沥高级中学(528231) 陈美凤

解析几何是高中数学的主干知识,也是高考的必考点.解决圆锥曲线问题要用解析法思想,解析法思想的最大好处就在于通过代数法将几何问题的解决变成统一的模式,解题方法变得有章可循,解题过程变得井然有序,而且能按照一定的步骤或程序来推导、求解.但其中的计算过程往往艰难而苦涩.笔者翻阅近五年高考题中的圆锥曲线问题,总体的感觉是点多,线多,几何关系复杂,解题运算过程繁杂.是否存在有效快捷的方法来解决这复杂的运算问题呢? 本文将结合五道高考真题向大家呈现二次曲线系在解决这些复杂圆锥曲线问题中的妙处.

一、准备知识

1.二次曲线的一般方程为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A2+B2+C20).

2.设l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0 是两条直线,称二次曲线:(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0 为一条退化的二次曲线.

3.二次曲线系的两条性质:

(1) 若二次曲线C1:f1(x,y)=0 与二次曲线C2:f2(x,y)=0 有四个不同的交点,则过这四个点的二次曲线系(即过这四个点的所有二次曲线) 方程为µ1f1(x,y)+µ2f2(x,y)=0,其中µ1,µ2为常数.

注:当我们所求的二次曲线不是C2本身时,也可以设曲线系方程为f1(x,y)+µf2(x,y)=0.

(2)若直线l1(x,y)=A1x+B1y+C1=0及l2(x,y)=A2x+B2y+C2=0 与二次曲线C:f(x,y)=0 有四个交点,则过这四点的二次曲线系方程为µ1l1(x,y)l2(x,y)+µ2f(x,y)=0

接下来,我们来看看二次曲线系的应用场景,通过对比2018∼2022 年的五道圆锥曲线高考试题的常规解法,来展示留藏在二次曲线系中的“别有洞天”.

二、应用场景

(一)定值问题

真题1(2022 年高考甲卷理科数学)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α −β取得最大值时,求直线AB的方程.

解析(1)抛物线C的方程为y2=4x.(过程从略)

图1

(2) (解法2 二次曲线系方法) 设直线MN方程为:x=m1y+1,直线AB方程为:x=m2y+n,直线AM方程为:x=m3y+2,直线BN方程为:x=m4y+2.则经过A、B、M、N四点的二次曲线方程为:y2−4x+ω(x −m1y −1)(x −m2y −n)=0.二 次 曲线µ(x −m3y −2)(x −m4y −2)=0 也经过A、B、M、N四点.令:y2−4x+ω(x −m1y −1)(x −m2y −n)=µ(x −m3y −2)(x −m4y −2).

比较式子两边x2项,xy项,x项,y项,常数项的系数得:

由①⑤得n=4,代入③得4+5ω=4µ,结合①得ω=µ=−4,代入④得4m1+m2=2(m3+m4),又由②得m1+m2=m3+m4,从而有4m1+m2=2m1+2m2,于是

(2)解决第(2)问常规解法是用A,B,M,N四点的坐标来表示直线AB和MN的斜率以及直线MD和ND的方程,与抛物线联立方程结合韦达定理,通过一系列的运算和推导得出结论.

(3) 使用二次曲线系的方法,直接设四条直线方程,并不需要和抛物线联立方程求解.使用直线AB和MN以及AM和BN建立两个退化二次曲线.最后只需要x2项,xy项,x项,y项,常数项的系数就可以顺利快速的得到

注限于篇幅,后面的例子不再展示常规解法.

真题2(2021 年高考全国Ⅰ卷) 在平面直角坐标系xOy中,已知点点M 满足|MF1|−|MF2|=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程;

(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|.求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解析(1)C的方程为:x2−=1(x≥1).(过程从略)

图2

利用x2项与y2项系数相等,以及xy项的系数为0,得

由②得µ=0或k1+k2=0.若µ=0,代入①得到1=矛盾结果,故有k1+k2=0.

小结(1)这道题第(2)问实质上也是一个定值问题,直线AB的斜率k1和直线MN的斜率k2之和k1+k2=0.

(2)常规解法是设A,B,P,Q四点的坐标和直线AB和PQ的斜率,以及直线MD和ND的方程与抛物线联立方程,结合韦达定理,通过一系列的运算和推导得出结论.

(3) 使用二次曲线系的方法,由圆幂定理,把条件|TA| · |TB|=|TP| · |TQ|转化为四点共圆问题,使用直线AB和PQ建立一个退化二次曲线.最后利用x2项与y2项系数相等,以及xy项的系数为0 即可快速得到结论.

真题3(2019 年高考全国Ⅱ卷理科)已知点A(−2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证明:∆POG是直角三角形;(ii)求∆POG面积的最大值.

解析(1)C的方程=1(|x|2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(过程从略)

(2) (i) (二次曲线系方法)如图,设E(t,0),设直线PQ方程为y=k1x(k1>0).延长PE交椭圆于P′,连接P′Q,则P(t,k1t),Q(−t,−k1t).直线QG的斜率kQG=,所以直线QG的方程为y=即k1x −2y −k1t=0.

图3

比较式子两边x2项、y2项和xy项的系数,得

所以PQ⊥PG,即∆PQG是直角三角形.

小结(1)这道题第(2)小题第一问本质是一个定值问题,证明k1k2=−1.常规解法是用PQ的斜率来表示P,Q,G的坐标,联立方程通过繁琐的运算得出结论.

(2)使用二次曲线系的方法,设定点和线方程之后并不需要和椭圆联立方程求解.

(3)椭圆上只有3 个点,通过引入P关于x轴的对称点P′(也是Q关于y轴的对称点),再使用直线QG和PP′以及PG和QP′建立两个退化二次曲线.最后只需要x2项、y2项和xy项的系数就足以帮助我们得到需要的结论.

(二)定点问题

(1)求E方程;

(2)证明:直线CD过定点.

解析(1)曲线E的方程为+y2=1.(过程从略)

小结(1)这道题第二问实质上是一个定点问题.

(2)使用二次曲线系的方法,直接设4 条直线方程,并不需要和椭圆联立方程求解.使用直线AB和CD以及AP和BP建立两个退化二次曲线.最后只需要用到xy项和y项的系数就快速得到结论.

(三)求曲线方程

真题5 (2018 年高考课标Ⅱ卷理科)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k >0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

解析(二次曲线系方法)所求圆方程经过A,B两点,而A,B是抛物线C:y2=4x和直线l:y=x −1 的交点,故可设所求圆方程为µ(y2−4x)+(x−y−1)(x+y+m)=0.利用圆中x2项和y2项系数相等,得到1=µ−1,µ=2.再利用此圆与抛物线C:y2=4x的准线:x=−1 相切,把x=−1 代入圆方程得到:y2−(m+1)y+10−2m=0.由∆=(m+1)2−4(10−2m)=0,解得m=3或m=−13,所以圆方程为:x2+y2−6x −4y −3=0或x2+y2−22x −12y+13=0.

小结该题条件并不复杂,用常规方法也能较快得出结论,在此展示二次曲线系方法,作为求曲线方程的一个参考.

三、总结提升

从上面五道高考题我们可以发现,解析几何的基本思想是用代数的手段来研究几何问题.我们常规的操作步骤是“三部曲”:(1) 首先将几何问题代数化;(2) 其次将代数问题坐标化(坐标化的终极目标是得到纯x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2的代数式);(3)最后利用韦达定理代入,化简得出答案.

常规解法的优点是具有比较强的模式化,易于操作,是我们解决圆锥曲线问题的首要选择.它需要我们的学生要有非常强大的运算能力.诚然,运算是数学核心素养的重要组成部分,而圆锥曲线则是运算训练的最重要载体,是运算训练的主战场.我们在学习圆锥曲线时,千万不能错过这种训练.然而,面向高考,在有限时间内,这种过于繁琐的运算要求对考生并不友好.因此,我们要学会运算,更要学会将问题简单化,避免繁杂的运算.

波利亚在《数学的发现》的序言中说:“中学数学教学的首要任务是加强解题训练.”他把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种重要手段和途径.解题意味着要找到克服困难的方法,找到绕过障碍的道路,达到不能直接达到的目的.本文则具体展示了在面对一些复杂的圆锥曲线问题,当常规方法效果不佳时,二次曲线系往往能有效快速地解决.

利用二次曲线系解题的过程,实质上就是利用二次曲线的一些特征,比如圆的方程中x2项和y2项系数相等,没有xy项;或者是比较两个多项式的系数等,来找到所引入的参数的关系.这样就避免了联立方程和韦达定理以及海量的运算,是解决一些圆锥曲线问题的快速有效的方法.二次曲线系就像一锅乱炖,把多点、多线和复杂几何关系的圆锥曲线问题放在一个锅中乱炖,虽不精致但却美味可口.面向高考,对于有志于完成解析几何压轴题的同学,不妨引导他们对这个方法进行尝试.