圆锥曲线中一类定点问题的探究与思考

四川省名山中学(625100) 刘艳

定点问题的探究一直是高考解析几何中的一类热点问题,而很多圆锥曲线问题的研究都有相通性,为此,笔者在高三复习课中,通过对一道解析几何练习题中一类相交弦的中点连线过定点问题的分析和讲解,引导学生发现这类问题的共性特征,从而提高复习的有效性.

一、问题提出

题目已知圆A:(x+1)2+y2=16,B(1,0),M为圆A上任意一点,线段BM的垂直平分线交AM于点N,点N的轨迹为W.

(1)求轨迹W的方程;

(2)过点B的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,k1+k2=−1,l1交W于C、D,l2交W于E、F,线段CD与EF的中点分别为G、H,判断直线GH是否过定点,若过定点,求出该定点,若不过定点,说明理由.

答案(1)=1;(2)直线GH过定点

这类已知斜率关系研究直线过定点问题是很熟悉的题目了,在引导学生分析这道题时,提出第(2)问中出现的过定点问题是否可以一般化? 圆锥曲线中这类问题有没有统一规律? 带着这些问题,通过探究发现了一系列有趣结论.

二、借题发挥,探究引申

将点B推广为平面内任意一点,可以得到以下结论:

通过以上探究,发现当k1+k2为非零定常数时,两相交弦中点连线GH必过定点.若当k1·k2为定常数时,两相交弦中点连线是否仍过定点? 通过探究我们得到:

特别地,若点B为x轴或y轴上的定点时,我们有:

椭圆中当k1+k2和k1·k2分别为定常数时,这类相交弦中点连线必恒过定点,若将此问题拓展引申到双曲线和抛物线中,结论如何呢?

经过研究,得到以下结论.由于证明类似,此处略.

结论5已知抛物线W:y2=2px(p>0),过B(x0,y0)的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,k1+k2=t(t0),l1交W于C、D,l2交W于E、F,线段CD与EF的中点分别为G、H,则直线GH恒过定点

结论6已知抛物线W:y2=2px(p>0),过B(x0,y0)的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,k1·k2=λ(λ0),l1交W于C、D,l2交W于E、F,线段CD与EF的中点分别为G、H,则直线GH恒过定点

三、总结反思,提升素养

以上分别探究了两种斜率关系下圆锥曲线中两相交弦中点连线过定点问题.在研究过程中,体现了圆锥曲线其性质的统一性和结论的相似性,因此在引导学生总结时,可以以点带面,达到通一点会一面的目的.同时在研究过程中,也体现了数学运算、逻辑推理、直观想象和数学抽象等核心素养的渗透,因此老师在教学时,要将核心素养以行之有效的载体和方式贯穿于平时课堂教学中,才能以润物细无声的方式影响学生,让学生会探究,会思考,进而提升学生的学科素养.