三元四次对称多项式的一个性质及其应用

华南师范大学数学科学院(510631) 叶秀锦

贵州省毕节市七星关区第五实验学校(551700) 藏军

三元齐次对称不等式结构优美,结论耐人寻味,因此一直是中等数学领域的一个很有吸引力的研究领域.文[1]在用Schur 分拆方法给出了三元四次对称多项式恒不小于零的一个充分条件,但这个充分条件不够宽松,使得很大一部分问题无法利用这个命题来解决.本文给出这个充分条件的加强的三种等价命题,并用两个例子展示这三个命题的应用.

一、问题背景

文[1]给出了关于三元四次对称多项式的如下性质:

证明定理1 的证明见文献[1].

二、加强命题

引理1g4,1,g4,2,g4,3,g4,4的定义如定理A,那么对于任意实数t,有:g4,1+(1−2t)g4,2+(t−2)2g4,3+3(t−1)2g4,4≥0.

证明

证明(1)b≥0 的情况直接由定理A 可知,只需考虑b<0 的情况;

(2)当b<0 时,设t ∈A1∩A2∩A3,那么(2t−1)a+b≥0,(2t −1)c+(t −2)2b≥0,(2t −1)d+3(t −1)2b≥0.由引理1有g4,1+(1−2t)g4,2+(t −2)2g4,3+3(t −1)2g4,4≥0.记

易知,此时f(x,y,z)≥0 对于任意x,y,z ∈[0,+∞)恒成立.

三、等价命题

三元四次对称多项式f(x,y,z)的表示不止有定理2 的那一种形式,还有另外两种表示形式,于是有了定理2 和定理3,它们是等价的.

定理2记

如果λ1≥0,2λ1+2λ2+λ3≥0,λ1+2λ2+λ3+λ4≥0,且A1∩A2∩A3∅,则f(x,y,z) ≥0 对于任意x,y,z ∈[0,+∞)恒成立.

证明f(x,y,z)=ag4,1+bg4,2+cg4,3+dg4,4,g4,1,g4,2,g4,3,g4,4的定义如定理 A.不难计算得:f1(x,y,z)=g4,1+g4,2+2g4,3+g4,4,f2(x,y,z)=g4,2+2g4,3+2g4,4,f3(x,y,z)=g4,3+g4,4,f4(x,y,z)=g4,4.

故a=λ1≥0,b=λ1+λ2,c=2λ1+2λ2+λ3≥0,d=λ1+2λ2+λ3+λ4≥0.

由定理1 知,f(x,y,z) ≥0 对于任意x,y,z ∈[0,+∞)恒成立.

定理3三元四次对称多项式f(x,y,z)可以唯一地表示为f(x,y,z)=u1p4+u2p2q+u3q2+u4pr,其中p=x+y+z,q=xy+yz+xz,r=xyz.记

如果u1≥0,16u1+4u2+u3≥0,27u1+9u2+3u3+u4≥0,且A1∩A2∩A3∅,则f(x,y,z) ≥0 对于任意x,y,z ∈[0,+∞)恒成立.

证明f(x,y,z)=ag4,1+bg4,2+cg4,3+dg4,4,g4,1,g4,2,g4,3,g4,4的定义如定理A.不难计算得:p4=g4,1+5g4,2+16g4,3+27g4,4,p2q=g4,2+4g4,3+9g4,4,q2=g4,3+3g4,4,pr=g4,4.

由定理1 知,f(x,y,z) ≥0 对于任意x,y,z ∈[0,+∞)恒成立.

四、命题的应用

使用定理1 3 可以很容易解决很多三元四次对称不等式的证明.下面用两个例题来展示这三个定理的应用.

例题1试证明对所有非负实数x,y,z,均有:

例题2试证明对所有非负实数x,y,z,均有:

证明令p=x+y+z,q=xy+yz+xz,r=xyz.不妨设

A1∩A2∩A3={2}∅.由定理3,对于任意x,y,z ∈[0,+∞),f(x,y,z)≥0.故