利用“筝形”公式求外接球半径

陈淑红

(河北省定州中学，073000)

有关外接球的问题综合性强,思维难度大,学生常常为此望而生畏.本文从不规则的空间结构中提炼出筝形公式,代入求解外接球半径,形成有法可依、有规可循的解题方法体系.

首先从外接圆到外接球,确定外接球球心的位置.如图1,由于球心O在过截面圆心且与截面垂直的直线上,则过两截面圆心O1与O2且与两截面垂直的直线O1O与O2O之交点O即为多面体外接球球心.

其次,取两截面圆公共弦AB的中点M,则∠O1MO2为两截面二面角的平面角.易知O,O1,M,O2四点共圆,则OM为此圆的半径.

OB2=OM2+BM2

因四边形OO1MO2形状为筝形,所以我们不妨称上述半径公式为“筝形”公式.

例2如图3,在四面体ABCD中,有一条棱长为3,其余5条棱长皆为2,则该四面体外接球的半径为______.

解不妨设BC=3，取BC的中点M,则∆ABC的外心O2在AM上.根据勾股定理,有

O2B2=MB2+(AM-AO2)2

因为∠AMD为二面角A-BC-D的平面角,故可在∆AMD中用余弦定理的逆定理,得

由上可见,利用筝形公式求外接球半径,关键是选择表面多边形,注意选择特殊性状的多边形(如正三角形、直角三角形、等腰三角形等),比较容易确定多边形外心位置，求出外接圆半径的大小.