巧用复数 优化解题

王伟杰

(安徽省无为中学高二(6)班，238300)

安徽省合肥市一中、六中、八中2020-2021学年高一下学期数学期末联考题第21题如下:

试题合肥逍遥津公园是三国古战场,也是合肥最重要的文化和城市地标,是休闲游乐场,更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作,欲对该公园内的一个平面凸四边形ABCD的区域进行改造,如图1所示,其中DC=4a米,DA=2a米,∆ABC为正三角形.改造后的∆BCD将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域,∆ABD将作为对三国历史文化的介绍区域.

(2)求旅游观光、休闲娱乐的区域∆BCD的面积的最大值.

如下的解法1是此题的参考答案.

(2)如图2,设∠ADC=α，∠ACD=β,BC=AC=x.在∆ACD中，由余弦定理知AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosα,即x2=4a2+16a2-2×2a×4acosα,亦即

x2=(20-16cosα)a2.

①

②

由正弦定理得

③

由① ② ③ 三式,可得

反思上述解法需运用正弦定理、余弦定理列出三个方程,联立得出面积的表达式,过程繁琐且不易想出,综合分析问题能力要求较高.如何简化问题的表达过程,达到优化解题的目的?这里介绍此题在复数视角下的一种简便解法.

评注上述复数解法思路简单,便于操作.此种方法在2019年人教A版普通高中《数学》(必修第二册)第7章7.3节有所介绍,但由于是选学内容,可能没有引起同学们的重视.其实在处理与旋转有关的问题时,复数是一个非常有力的工具.对复数视角下的解题方法技巧的运用,希望同学们能继续拓展延伸.

(指导老师:朱小扣)