等边三角形的拓展探究

江苏盐城市大丰区万盈初级中学（224100）王 刚

等边三角形是初中阶段学习的重要三角形，等边三角形既是等腰三角形，又是正多边形，是一种完美的三角形。等边三角形三边相等，三个角相等。等边三角形是拥有三条对称轴的轴对称图形，同时也是旋转对称图形，绕中心点至少旋转120°后能与自身重合。几何图形的拓展探究是近几年中考数学命题的方向之一，此类题常作为中考数学的压轴题，它一方面考查学生对几何图形的性质的掌握情况，另一方面考查学生的探究能力。此类题常与旋转、平移、翻折等图形变换相结合，探索角度、线段的数量关系、线段长和图形的形状等。

一、探索图形变化中的角度

在图形的形状、平分某一个角、垂直或平行关系、某条线段的中点等原始条件不变的情况下，随着某一条直线或一个动点处于不同的位置（如在图形的内部、边上或外部等），图形发生了变化，而其中某个角的角度始终不变，这就是变化中不变的量，在等边三角形中就存在这种情况。

［例1］△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，0° <∠PBC<180°，DB平分∠PBC，且DB=DA。

（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；

图1

（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；

图2

（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数。

解析：（1）∵△ABC是等边三角形，BD平分∠PBC，∴∠PBD=∠CBD=30°，∵DB=DA，∴∠PBD=∠BPD=30°。

（2）连接CD，由“SAS”可证△PBD≌△CBD，可得∠BPD=∠BCD，由“SSS”可证△BCD≌△ACD，可得∠BCD=∠ACD==30°，即可求解。如图3，连接CD，∵点D在∠PBC的平分线上，∴∠PBD=∠CBD，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC=AC，∠ACB=60°，∵BP=BA，∴BP=BC，∵BD=BD，∴△PBD≌△CBD（SAS），∴∠BPD=∠BCD，∵DB=DA，BC=AC，CD=CD，∴△BCD≌△ACD（SSS），∴∠BCD=∠ACD==30°，∴∠BPD=30°。

图3

（3）分三种情况进行讨论，由全等三角形的性质可求解。

如图4，连接CD，∵AD=BD，CD=CD，BC=AC，∴△ACD≌△BCD（SSS），∴∠ACD=∠BCD=30°，∵BD=BD，∠PBD=∠CBD，PB=BA=BC，∴△PBD≌△CBD（SAS），∴∠BPD=∠BCD=30°。

图4

如图5，连接CD，∵AD=BD，CD=CD，BC=AC，∴△ACD≌△BCD（SSS），∴∠ACD=∠BCD=30°，∵BD=BD，∠PBD=∠CBD，PB=BA=BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD=∠BCD=30°。

图5

如图6，连接CD，∵AD=BD，CD=CD，BC=AC，∴△ACD≌△BCD（SSS），∴∠ACD=∠BCD==150°，∵BD=BD，∠PBD=∠CBD，PB=BA=BC，∴△PBD≌△CBD（SAS），∴∠BPD=∠BCD=150°。

图6

评注：虽然线段BP相对于△ABC的位置发生了5 种变化，但是∠BPD的度数在前4 种图形中都没有发生变化，只在第5 种图形中发生了变化，其原因在于题中的原始条件：DB平分∠PBC，PB=BA，DA=DB始终不变。解题的思路都是一样的，都分别利用了“SSS”“SAS”证明两个三角形全等。

二、探究图形变化中线段的数量关系

在“手拉手”模型中，有一个顶点重合的一大一小两个等边三角形，将不重合的两个顶点分别联结，无论两个等边三角形如何旋转，都可以利用全等三角形得到联结所得的两条线段相等。在“角含半角”的模型中，一个角是另一个角的一半，且这两个角的顶点重合，无论这两个角如何旋转，都可以利用全等三角形得到一条线段等于另两条线段的和。

［例2］如图7，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，△BDC是等腰三角形且BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作∠MDN=60°，交边AB，AC于M，N两点，延长AC到点E，使得CE=BM，连接MN，DE。

图7

（1）试说明：①△MBD≌△ECD；②MN=BM+NC；

（2）若点M是AB的延长线的一点，N是CA的延长线上的点，点E在线段AC上，其他条件不变，探究线段BM，MN，NC之间的关系，并说明理由。

解析：（1）①如图8，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE。∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，∵BD=CD，∠MBD=∠ECD，EC=BM，∴△MBD≌△ECD（SAS）。

图8

②∵△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC−∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∵∠MDN=∠NDE=60°，在△DMN与△DEN中，DM=DE，∠MDN=∠NDE，DN=DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=EN，又∵NE=NC+CE，BM=CE，∴MN=BM+NC；

（2）结论：MN=NC−BM。

理由：如图9，在CA上截取CE=BM。∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中，∵EC=BM，∠MBD=∠DCE，BD=DC，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE=DM，在△MDN和△EDN中，∵ND=ND，∠EDN=∠MDN，MD=ED，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC−CE=NC−BM。

图9

评注：已知或求证一条线段等于另两条线段的和，一般采用“截长补短法”，即在较长线段上截取一条线段，使之等于其中一条较短线段，然后通过三角形全等得到截剩下的线段等于另一条线段，或者将其中一条较短的线段延长，使延长部分的线段等于另一条较短线段，然后通过三角形全等得到延长后的线段等于长线段。

三、探究图形变化中三角形的形状

在等边三角形每边依次取相等的线段，分别联结这三个“分点”与对角顶点形成三条线段，这三条线段围成的三角形是等边三角形，或者在等边三角形每边依次取相等的线段，顺次联结这三个“分点”所得的三角形仍是等边三角形；两个大小不等的等边三角形，其中一个顶点重合，然后将不重合的两个顶点联结，得到两条线段，再取两条线段的中点，两中点与重合的顶点形成的三角形仍是等边三角形。

［例3］如图10，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点。

图10

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）求∠DOE的度数；

（3）试判断△MNC的形状，并说明理由。

解析：（1）根据等边三角形性质得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，根据“SAS”即可证明△ACD≌△BCE。

∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和

∴△ACD≌△BCE（SAS）。

（2）根据全等求出∠ADC=∠BEC，根据三角形的内角和定理求出∠ADE+∠BED的值。

∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE是等边三角形，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60° +∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°，∴∠DOE=180° −（∠ADE+∠BED）=60°。

（3）求 出AM=BN，根 据“SAS”证△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°。

∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC，又∵点M，N分别是线段AD，BE的中点，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，AC=BC，∠CAM=∠CBN，AM=BN，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形。

评注：在解答第（2）问的过程中，使用了“8”字形图形，因为对顶角相等，根据三角形内角和为180°，可得剩下的两个角的和相等。判定一个三角形的形状，一般考虑它可能为等腰三角形、等边三角形或直角三角形。根据三角形的大致形状，要判断一个三角形为等边三角形，一般通过“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定。

等边三角形的拓展探究，还包括探究图形变化中线段的长、探究图形变化中的内接正三角形。它们都是以等边三角形为背景，构造图形的变化、运动，在图形的变化过程中，探究其中不变的量，如角度、数量关系或图形形状等，一方面考查学生的画图能力，另一方面考查学生的知识迁移能力，以及考查学生能否利用相同的方法解决不同的问题。