着眼全局 正本清源——对高中“圆”的教学思考

江苏张家港市暨阳高级中学（215600）季芸洁

“圆”是学生最熟悉的基本平面几何图形之一，也是初、高中数学的重要内容。在具体的教学中，如果不能正确认识“圆”在初、高中数学中的地位，就会偏离正确的教学方向。下面是笔者的一些认识，供同行参考、指正。

一、教学现状

在高中数学教学中，部分教师延续初中对“圆”的教学要求，单纯强调“圆”的几何性质的学习和应用。例如，对于圆的定义，只介绍“到定点的距离为定值”这一种形式；对于直线与圆的位置关系，只说明利用“点到直线的距离与半径大小关系”来判断；对于点与圆的位置关系，只强调通过“点到圆心的距离”与“半径”的比较来分析。这些都是研究“圆”的重点方法，很多与“圆”有关的问题，利用这些几何性质可简洁求解。但是，初、高中数学对“圆”知识的学习侧重点不同，初中数学重视的是圆的几何性质的应用，而高中数学则将“圆”作为解析几何的基本内容，倾向于用解析法去研究、解决“圆”的相关问题。因此，在高中“圆”的教学中，既要突出圆的几何性，又要突出圆的代数性。

二、教学改进

在高中数学中，“圆”是解析几何的基础，是学生后续学习椭圆、双曲线、抛物线的基础，研究这些圆锥曲线的定义、方程以及直线与圆锥曲线的关系都要用到圆。

（一）引申圆的定义

在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。除这种定义外，还要引入其他形式的定义，为后期探究椭圆、双曲线、抛物线打下基础。

［例1］在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,0)，B(2,0)，P是平面内的动点，且PA，PB斜率之积为−1，求点P的轨迹方程。

说明：圆的这种定义形式更能体现利用定义法求曲线方程的基本思路，即求点的轨迹方程，就设点的坐标为(x,y)，再根据题目条件找到x,y的关系，要注意排除不符合条件的点。

［例2］在△ABC中，AB=2，AC=BC，求点C的轨迹方程。

解析：如图1 所示，以AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为横轴，建立平面直角坐标系。

图1

说明：圆的这种定义形式可以简记为“到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹，且定值不为1”。在这一定义形式下的圆也称为“阿波罗尼斯圆”。以此为背景的命题在近年的高考试卷中屡见不鲜。

［例3］在平面直角坐标系中，点P(cosθ,sinθ)到直线x−my−2=0 的距离为d。当θ,m变化时，dmax=__________。

解析：假设x=cosθ，y=sinθ，则P(cosθ,sinθ)的轨迹方程为x2+y2=1，即为单位圆，圆心到x−my−2=0的距离为

如图2 所示，圆x2+y2=1上 的 点P(cosθ,sinθ) 到x−my−2=0 的距离的最大值为，即m=0，dmax=3。

图2

说明：圆心为点(a,b)，半径为r的圆的参数方程（θ为参数），此类问题可借助圆的参数方程、三角函数的性质处理。

（二）拓展问题的处理方法

处理椭圆、双曲线综合问题的基本方法有坐标法、代入消元法、判别式法，因此教师在“圆”的教学中也要引导学生掌握这些方法。例如在处理直线与圆的位置关系问题时，教师除了讲解几何法，还要介绍代数法，即将直线方程与圆的方程联立，代入消元得到含x或y的一元二次方程，进而利用判别式及根与系数的关系，整体代换、设而不求解决问题。

［例4］已知方程x2+y2−2x−4y+m=0。

（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线x+2y−4=0 相交于A，B两点，且原点O在以AB为直径的圆内，求m的范围。

解析：（1）由(−2)2+(−4)2−4m>0，即4+1 −m>0，解得m<5。

（2）将直线x+2y−4=0与圆的方程x2+y2−2x−4y+m=0联立，消元得(4 −2y)2+y2−2(4 −2y)−4y+m=0，整理得5y2−16y+8 +m=0，由Δ=(−16)2−20×(8+m)>0，解得m<

［例5］如图3，已知圆C：x2+(y−3)2=25 与x轴的负半轴相交于点M。过点M作MA，MB分别与圆C相交于点A，B，且直线MA，MB关于x轴对称，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由。

图3

说明：本题也可以采用几何法求解。如图4，设圆与x轴的正半轴相交于点M′。由MA，MB关于x轴对称可知，∠AMM′=∠BMM′，所 以M′为的中点，连接CM′，则CM′⊥AB，因为直线CM′的斜率为所以kAB=即直线AB的斜率为定值。几何法虽然简洁，但代数法的意义更为重大。

图4

［例6］如图5 所示，在直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，点B，C在圆O上，且关于x轴对称。

图5

（1）当点B的横坐标为的值；

（2）设P为圆O上异于B，C的任意一点，直线PB，PC与时，求x轴分别交于点M，N，证明：|O M|·|ON|为定值。

解析：（1）略；

说明：上述求解体现了解决解析几何问题的另外一种重要方法，即“设点法”。题目中动态问题的背景是由动点P引起的，故可设出点P的坐标，再将其他相关点的坐标用点P的坐标表示出来，结合题目条件列出相应的关系式，再借助点P在曲线上，利用曲线方程进行消元。这种方法也是处理圆锥曲线问题的重要方法。因此，教师在“圆”的教学过程中要体现这一方法的应用。另外，对本题进行深入探究不难发现该定值即为圆的半径的平方，感兴趣的读者可自行进行证明。

（三）落实圆的应用

高考命题中既有直接考查圆的题型，又有以圆为解题工具进行间接考查的题型，即通过构造圆的模型来解决问题。因此，在教学中教师要落实圆的应用。

说明：本题条件中并没有出现圆，但结合向量的模为定值，可构造以向量的模为半径的圆，从而利用圆的几何性质简洁求解。

说明：整体来看，圆的方程不是函数，但从局部来看，单位圆x2+y2=1 在x轴上方的部分可表示为y=，进而转化为函数，可利用函数的知识方法来研究圆。类似地，y=表示单位圆在x轴下方的部分。

三、教学反思

高中数学教材中各模块所处的位置并不是独立的，前后之间都具有一定的关联，特别是2019 年人民教育出版社出版的新教材，各模块之间的顺序更严谨，新教材将圆与椭圆、双曲线安排在一起，放置在选择性必修一中。因此在教学中，教师不能孤立地教学某一模块，应综合考虑本模块与前后模块之间的联系，为后一模块的学习奠定基础，为前面已学模块创造拓展的空间。