引导探究，逐层深入——一节数学实践活动课的教学实录

张玉娥 甘肃省武威第十九中学 733000

范军 甘肃省武威第二十四中学 733000

教学背景

七年级数学题中经常会碰到这样一道题：一件商品成本m元，如果按成本增加12%定价，商品的售价应该是多少？现在由于活动促销，按原价的75%出售，现在售价应该是多少？每件商品的盈利是多少？以这样的题目为基础，在考试和练习中还会出现变式训练题：一种商品，先提价15%，以后又降价15%，现在的价格与原来商品的价格发生了怎样的变化？由于初中生的生活经验不足，故对于成人理解比较容易的利润率，他们反而较难理解.即使在讲解时教师明确了如何进行计算，学生还是觉得模糊不清，难以明晰.

鉴于上述情况，当时学生所接触到的有关数的计算还较少，所以笔者对这个问题并没有深究.在学生学习了分式计算后，笔者决定开展一节数学实践活动课，来解决这道当时困扰他们的疑难问题，帮助他们提高分析问题和解决问题的能力.

指导思想

教师要转变教学观念，以学生为主体，关注全体学生的发展，引导学生主动参与，积极交流合作.在教学中通过开展教学互动，引领学生体会活动过程，积累活动经验，培养表达能力，增强学习信心.

设计思路

通过开展数学活动，设计问题，引导学生针对问题进行探究，从发现问题到提出问题，从分析问题到解决问题，最后交流体会，反复经历思维活动过程.在相互交流中，学生加强课堂互动，吸取学习经验，不断提升自己运用知识解决问题的能力.

教学过程

师：同学们，我们看一下这道题目，你还知道它的答案吗？

问题1：一种商品，先提价15%，以后又降价15%，现在的价格与原来商品的价格发生了怎样的变化？

生1：价格不变.

生2：不对，价格下降了.

学生争论不休，没有肯定的答案.

生3：老师，我可以这样计算，设原来的价格为a，则现在的价格为a（1+15%）（1－15%）=0.9775a＜a，所以商品的价格应该是下降了.

师：很好，那么我把这道题目变一下，大家看看答案又是什么？

问题2：一种商品，先降价15%，以后又提价15%，现在的价格与原来商品的价格发生了怎样的变化？

生1：肯定是提高了.

（不一定吧，也许是不变，学生窃窃私语，有的学生开始安静下来进行列式计算.）

生4：老师，我列出了式子，a（1－15%）（1+15%）=0.9775a＜a，价格还是下降了.

师：刚才两个问题让我们知道所有的数学问题不能想当然解决，应该通过计算，用数据说话.为什么刚才两种情况都是降价呢？请大家讨论，注意用数据说话，可以举例说明.

第一小组：我们组列举了一个特殊值，假设商品原价是100元，第一种是先提价，商品价格变为115元，接着在115元的基础上降价，降价比提价要多，所以最终商品价格下降了.第二种是先降价，商品价格变为85元，接着在85元的基础上提价，提的价比降的价少，所以最终价格也是降低了.

（听完第一组的汇报，学生又开始讨论，第二组率先举手.）

第二小组：我们组没用取特殊值，假设商品原价是a元.先降价，下降了a的15%，降得多，价格变为0.85a；再提价，价格提高了一个较小数的15%，提得少，因此价格比原来降低了.

师：很好！我们可以看到不管是先提后降还是先降后提，只要提和降的百分率相同，价格都会比原价低，但是问题1和问题2最终的价格一样吗？

生4：价格一样，因为列的两个式子按照乘法交换律是相等的，所以结果自然相等.

师：是的，如果提价和降价的百分率变了，会影响比较的结果吗？

问题3：如果提价和降价的百分率都为10%，大家觉得结果是什么呢？

（学生不再脱口而出，开始低头计算.）

生5：结果还是比原价低，a（1+10%）（1－10%）=a（1－10%）（1+10%）=0.99a＜a.

师：从这里我们可以看到不管是先提价还是先降价，只要提价和降价的百分率相同，总价都会比原价低，而且提价和降价的百分率越高，与原价的差距越大.让我们好奇的是最终的价格和百分率有什么关系呢？请大家讨论一下.

生6：我们可以利用平方差公式发现其中的关系，当百分率为10%时，最终价格是a（1+10%）（1－10%）=a（1+0.1）·（1－0.1）=a（1－0.12）=a（1－0.01）=0.99a；当百分率为15%时，最终价格为a（1+15%）（1－15%）=a（1+0.15）（1－0.15）=a（1－0.152）=0.9775a

师：非常好，如果我们把百分率用x来表示，你能发现其中的规律吗？

生6：应该可以这样表示a（1+x）（1－x）=a（1－x2）.

师：好的，现在对于降价和提价百分率一样的情况，我们已经很清楚了，价格都会比原价低.如果想让变化后的价格和原价一样，百分率就不能一样，那么提价和降价的百分率之间应该是什么关系呢？

问题4：一种商品，先提价25%，再降价20%，现在的价格与原来的价格发生了怎样的变化？

（学生讨论之后，在黑板上进行展示.）

生7：我们把原价看成1，变价后的价格可以表示为1×（1+25%）（1－20%）=1×1.25×0.8=1，所以价格和原来是一样的.

师：怎么样才能使价格不变，大家发现其中的秘密了吗？

生8：我知道了，一开始提价之后，价格变高了，再降价的百分率就要少一些，这样价格就不会改变.

生9：我发现（1+25%）（1－20%）=1.25×0.8=1，所以价格是不变的.

师：大家的观察都很仔细，想保持原价，在先提后降时，降价的百分率要比提价的百分率小.如果先降后提，想保持原价，那么百分率又是什么关系呢？

（马上就有学生举手回答.）

生10：先降后提，因为一开始价格降低了，所以在提价时百分率只有高一点，才能保持原价.

生11：我们从数据计算也可以这样看，（1+25%）（1－20%）=（1－20%）（1+25%）=1，通过乘法交换律发现结果不变，我们也可以理解为先降价20%，再提价25%，这样结果不变，回到原价.

师：这样看来，只要保持降价百分率比提价百分率低，就能保持原价不变.至于是先降价还是先提价，其实都没有关系.

（学生一致表示同意.）

师：我们还需要考虑一种情况，只知道一个百分率，但是又要保持价格不变，怎样才能很快算出另一个百分率呢？有没有一个公式可以直接套用呢？

问题5：一个商品，如果先提价百分率为x，再降价百分率为y，要想保持价格不变，两个百分率之间应该是什么关系？

（学生经过较长时间的讨论，最后选出几位代表发言.）

生10：我们仿照问题4可以这样列出一个算式：（1+x）（1－y）=1，因此1－y=，通过化简可以得出y=

师：太厉害了，这个算式可以在我们知道提价百分率的情况下，轻松算出降价的百分率.如果我们知道的是降价百分率，需要去算提价百分率，这时该如何操作呢？

生9：老师，这非常简单，我们同样可以利用上面的算式进行化简计算，x=

生8：这些式子太麻烦了，我们也记不住，我觉得不如这样统一，x－y=xy.也就是说提价百分率比降价百分率要高出两个百分率的乘积.

（这些算式还是太复杂了.）

生12：老师，上面的计算结果虽然是对的，但是过程太麻烦了，有没有更加简单的方法呢？

师：我们一起看黑板，还是按照单价1 进行计算，如果说一种商品提价25%之后，需要降价多少百分率才能跟原价一样呢？首先提价后的价格为1×（1+25%）=，要想回到原价，需要乘以它的倒数，也就是1－，相当于降价了20%.我们也可以换个数据试一下，假如降价25%，要提价多少，才能回到原价？降价后的价格为1×（1－25%）=，恢复到原价也就是乘以它的倒数，也就是1+.通过这两个举例，你们发现规律了吗？你能用字母表示这种关系吗？

师：很好.我们检验一下能不能用它解决具体的问题呢？

问题6：一种商品，提价了10%，现在活动结束恢复原价，应该降价多少百分比？（精确到0.1%）

（学生思考后纷纷得出答案9.1%.）

师：这节课就上到这里，大家觉得自己探究出来的结论是不是印象特别深.各位同学的表现都非常棒，积极参与讨论，踊跃思考.希望大家能记住这种探究方法，在以后的学习中也能积极主动地参与探讨.

教学反思

学生是学习的主体，教师的教学应围绕学生的具体学情来展开.在本课中，教师通过设计一组问题，引导学生主动探究，充分调动学生的主观能动性，展开师生互动或生生互动.在交流互动中，学生展现了从发现问题到提出问题，从分析问题到解决问题的能力，与新课标的要求是不谋而合的，这也是我们想要取得的教学效果.