以猜想与验证发展学生数学思维——以《分数的基本性质》一课教学为例

陈明达

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对课程目标提出明确要求：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。”猜想与验证是指学生在学习新知时，根据已有的经验和知识，做出符合一定规律的猜测和假设等推理判断，然后通过多种途径和方法验证猜想是否正确，并在不断验证的过程中完善自己的猜想，最后总结归纳出一定规律的过程。［1］笔者以人教版五年级下册第四单元《分数的基本性质》一课的教学为例，谈谈如何借助猜想和验证，启迪学生数学思维，发展学生思维能力。

一、实践，经历猜想与验证的过程

大部分学生都具备将分数转化为除法进行计算的经验，那么是否能将教学的起点设在学生现有的发展水平上，直接呈现学生尝试过程中的错误资源，引导学生理解和掌握分数的基本性质呢？为此笔者设计了三个重要的教学环节。

其一是“观察—类比—发现”的学习过程。数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续而已。”首先，笔者向学生呈现了一组冰墩墩分西瓜的故事，先引导学生进行观察和思考：三次分瓜有什么相同和不同之处？第一次分西瓜，雪融融得到西瓜的，冰墩墩得到。第二次分西瓜，让学生在涂色卡上涂一涂，表示出冰墩墩和雪融融各得到和。第三次分西瓜让学生在数轴上描点找出和，然后笔者再引导学生进行类比，并尝试进行归纳，学生发现三组分数大小相等，就大胆提出猜想：是不是每个分数都有和它相等的分数呢？和它相等的分数会有几个？有的学生跃跃欲试，在自己的课堂练习本上涂画，寻找有没有别的答案。

数学概念的形成和法则的概括以及解题应体现出归纳思想，教师要尽量让学生通过直观图形的观察，或让学生自己动手借助于实物进行实验，在有了丰富感性认识的基础上提出猜想，进而归纳出相应的法则、性质和公式。［2］学生的猜想并不是凭空想象而来的，必定是要经过了观察—类比—发现的过程。而有了这样的猜想以后，学生的好奇心和探求欲被激发出来，接下来教师就可引导学生进行深入思考与验证。使学生思之有法，思之有据，扩展思维的时空，使思维逐步灵动而深刻。

其二是“猜想—推理—结论—验证”的学习过程。根据零散的信息进行综合的判断，属于典型的智慧技能。智慧技能指学生能综合运用知识，进行综合分析、判断、分类与评价，进行问题分析与应对决策的技能。［3］智慧技能的培养对学生的素养发展具有深远的意义。

笔者进一步引导学生经历从“形成猜想”到“推理验证”的过程。引导学生以为例，找出与的相等的分数。这里教师要给予学生学习支架，为学生提供若干张大小相同的正方形纸片和圆形纸片，以及数轴图、白纸、剪刀、画笔等工具，并提出活动要求：一是找出与相等的分数；二是利用提供的材料说明找到的分数与是相等的；三是4人小组交流并上台汇报。给学生动手实践的工具就是学习的拐杖，明确活动要求就是在给学生学习的支架，这个环节笔者放手让学生大胆操作，去验证自己的猜想并上台汇报，在这样的活动中，不仅学生的思维水平得到了提升，语言表达能力也得到进一步的提高。有的学生是通过将两张大小相同的圆形纸片对折，折出了和，发现和表示的部分是一样大的；有的学生是直接剪一剪两个大小相同的正方形纸片，也发现相同的道理；还有的学生懂得利用数轴图，在数轴上找到的位置是相同的，所以它们都是相等的。这时笔者顺势引导，学生自然而然就得到关系式：。之后笔者继续请学生联系所学知识说理由，有的学生就能利用分数与除法的关系，得出

这样循序渐进、层层剥茧式地引导学生直达核心知识的本质，就实现了化“新”为“旧”，让学生全程参与猜想与验证的过程，在操作中又采用了观察、分析、联想、类比等学习方法，增强了学生的思辨能力，提高了运用辩证思维进行统筹、分析的能力。

其三是“二次推理—二次结论—二次验证”的学习过程。笔者最后请学生仔细观察关系式：，并思考每一组等式中，分数的分子和分母变了吗？是怎样变化的？从这里开始，笔者就是在引导学生进行二次推理。有学生会往加的方向去思考，但大部分学生都能从商不变的规律加以判断，发现分子与分母加上不同的数，分数的大小并不是有规律的变化，所以加法这个方向是不对的。学生继续观察、对比与分析，在讨论中不断小结，在变与不变中，学生会发现分数的分子、分母同时乘相同的数，分数的大小不变，但是在数学上仅凭个例就得出的结论并不严谨，现在学生只能在这样的猜想后面继续打一个问号，笔者还要引导学生继续进行二次推理及验证猜想，让学生不断提出更多的例子，而且举的例子要尽量具有全面性，才更加有说服力。

要发展学生的思维，必须设计出有助于学生反思的学习活动，让学生在不断反思和实践中发展思维。在上述由“结论形成”到“探索规律”的学习过程中，教师注重引导学生学习过程中的自我反思，不断唤醒学生已有的知识，然后教师又提出新的问题，引发学生新的思考，推导新的解决问题的方法。

二、后测，迁移猜想与验证的方法

当学生掌握了分数的基本性质之后，笔者出示了“练习十四中的第13题”：一个分数的分母不变，分子乘3，这个分数的大小有什么变化？这道题能反应学生对猜想验证思想的理解情况。笔者鼓励学生进行合情推理，自己尝试并选择合适的数据以便于研究，如选用，根据题意得；把与进行比较，分数的大小扩大到原来的3倍，然后再举例再验证，结果是相同的。全班43名学生有38人能选择合适的方法和数据进行计算，有2人是计算出错算不出来，另外3人是因为选择了太复杂的数据没算完。

后测反馈表明，大部分学生均能够掌握分数的基本性质，但仍有少部分学生没能很好地体会猜想验证的方法，于是笔者继续将学生对该题的做法作为教学资源，引导学生进行思考：哪些方法是正确的？选择数据的时候怎么选更合理？再一次经历对比与分析，大部分学生不仅逐步理清了猜想与验证的方法，更明白了在证明的过程中应尽量满足准确性与简便性。课堂上的实时后测，更具有时效性，能更好地检验学生数学学习的基本能力。

只有猜想而无法得到验证，那猜想只能是空想，只有自主探究、动手实践才可以让猜想的生命力得到进一步延续和验证，助力学生不断提升数学思维能力，发现数学的趣味和魅力。