核心素养导向下的高中数学课堂教学研究

［摘  要］ 从学生生活中熟悉的现象出发，以数学核心素养为导向，经历简单问题数学建模的全过程，在自主探究和合作学习中，体验其蕴含的数学思想方法，适应初高中数学学习方式的转变，实现自身个性持续发展.

［关键词］ 核心素养；数学思想；数学建模

背景介绍

1. 时代背景

随着《普通高中数学课程标准（2017年版）》的发布，我国课程改革进入了新階段，其本质特点是从“以知识为本”的教育教学向“以人为本”的教育教学转变. 过去的教育是为了学会知识，现在的教育不仅仅要掌握知识，更重要的是要让学生学会学习，实现从知识到能力再到素养的跨越，所以在教学设计上，更应关注学生思维品质的发展，使其在主动学习和知识应用的过程中，逐步形成和发展核心素养.

2. 教学内容

顺应时代的发展，《普通高中教科书·数学（人教A版）》将高中数学内容分为四个模块，并加入了预备知识. 其中预备知识作为初高中衔接的桥梁引领学生走进高中数学，它为学生后期的学习提供了“知识”和“思想”两方面的准备，教师在教学设计时，应抓住每节课的特点，研究教材安排内容独到的一面，挖掘内涵，拓展外延.

“二次函数与一元二次方程、不等式”这节课有其独特的地方，首先，生活中存在着大量的不等关系，抽象出的不等式、不等式组在解决实际问题时有着重要的应用，本节课中的一元二次不等式亦是如此，它在后续研究函数时也有一定的应用，熟练掌握其内涵能为高中数学学习提供工具方面的支持. 其次，与初中的学习方式不同，高中数学学习更加关注知识背后一般的思想方法，设计本节课时，更应关注思想方法的提炼，使学生经历三个“一次”关系同三个“二次”关系的类比，从求解特殊的一元二次方程归纳为一般的一元二次方程的解法，用函数思想整合方程和不等式的全过程，形成函数统领方程和不等式的意识，为后面函数的学习奠定基础.

教学目标与重难点

1. 教学目标

通过类比自主构建一元二次不等式的概念，通过数形结合发现二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的联系，获得用二次函数求解一元二次不等式的一般性解法，体验用函数观点看等式、不等式的丰富内涵.

2. 教学重难点

借助于二次函数求解一元二次不等式，认识函数的重要性，体会数学的整体性，发展直观想象、数学抽象等数学核心素养.

教学设计

1. 源于生活，建构模型

生活现象：开学初，我们会在教室后墙设计一个学习园地. 你会如何设计？

分析：布置学习园地源于学生生活，他们参与过或者见过这个现象，以此为切入点，能充分调动学生的积极性与参与度，形成以学生为主体的课堂氛围. 让学生深切感知数学就在身边，从而引发他们对生活的思考，潜移默化地用数学的眼光观察世界.

生1：我会先设计一个框架，围上花边，然后在上面贴上“学习园地”的图案.

生2：一般情况下，会设计成矩形框架，根据学习园地的面积、后墙空间和美观程度进行设计.

师：现有花边24分米，你将如何设计？

生3：优先考虑学习园地的使用价值，将24分米的花边全部用于设计，求其最大面积.

生4：假设矩形学习园地的一边长为x分米，则另一边长为（12-x）分米，面积为S平方分米. 因为x>0，12-x>0，所以S=x（12-x）≤2=36（平方分米）. 当且仅当x=6时取等号.即设计边长为6分米的正方形的面积最大.

师：同学们对这个设计方案有什么看法？

生5：生活中我们很少见到正方形的学习园地. 面积不一定要求最大，只要达标，即满足日常需求，就可以根据其他因素灵活设计.

师：假如我们要求学习园地的面积大于20平方分米，你又会如何设计呢？

生6：根据这样的假设，我们得到了不等式x（12-x）>20，先求解x，再进一步研究.

分析：简化现实问题，将其抽象为数学模型，通过计算求解，得出面积最值；在亲身经历中产生疑问，修改模型以寻求更优解，自然将目光转向不等式，从而与新知识完美衔接. 在经历简单问题的数学建模的过程中，发展了学生的直观想象、数学抽象等核心素养.

2. 类比为桥，自然生成

师：不等式x（12-x）>20有什么特点？你还能举出相似的不等式吗？

生7：这是一元二次不等式. （学生举例，过程略）

师：你能给出一元二次不等式的定义吗？它的一般形式是什么？

生8：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.

师：相似的事物存在着一定的联系，我们能快速得到一元二次不等式的定义正是源于这种相似性，你能说一说一元二次不等式定义的源头吗？

生9：一元二次方程，二次函数.

分析：思维的前提是学生已有的知识结构，通过回顾旧知强化学生调动知识之间的联系，为学生自主建构新知奠定基础. 在高中的开始阶段，这样的回忆很有必要，通过初期积累，学生都会有点滴的收获和感悟，当他们面对新问题时会自觉地去搜索以前解决过的与当前问题紧密相关的知识、方法和数学思想，从而提高分析问题、解决问题的能力.

师：你能找到二次函数与一元二次方程x（12-x）=20的联系吗？

生10：选择函数y=x2-12x+20，它与x轴交点的横坐标就是方程x2-12x+20=0的解.

生11：选择函数y=-x2+12x-20，结论也一样.

师：利用函数的“形”直观呈现了方程的“数”，上述结论可以推广到一般的情况吗？

生12：利用数形结合可以找到函数与方程的联系，分三类得到一般性结论. （过程略）

师：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值为0的实数x叫做二次函数的零点.

分析：对于规定性定义，只能通过教师讲授，学生无法建构生成. 但是函数零点这个概念有丰富的内涵，教学时可以引导学生在以下几方面多思考：首先，为什么要引入函数零点这个概念？在本节课学习中，我们需要从不同角度理解函数与方程的联系，“零点”正好搭建了这一桥梁，借助于函数的观点去理解方程的意义，实现函数与方程的统一. 其次，加深对“点”的理解，学生理解得较多的是平面直角坐标系中的点，这是二维点，除此之外，还有一维点、三维点等. 零点反映了函数与方程的联系，它是一维点. 最后，对概念进行外延和拓展，除了二次函数可以定义零点外，其他函数也可以采用同样的研究方式.

师：结合函数y=x2-12x+20，分析二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系.

生13：画出函数y=x2-12x+20的图像，它的零点将x轴（数轴）分成三部分：当x<2时，函数上点的纵坐标都大于零，即x2-12x+20>0；当x>10时，函数上点的纵坐标也大于零，即x2-12x+20>0；当2<x<10时，函数上点的纵坐标都小于零，即x2-12x+20<0.

分析：结合特殊的二次函数，经历从“更高、更统一”的观点理解不同数学对象的过程，发现二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的联系，进而把握不同数学对象的共性和关系，体验用函数观点看等式、不等式的丰富内涵.

3. 数形结合，归纳通法

师：上述结论可以推广到一般的情况吗？（分组讨论）

生14：展示二次函数的零点与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系. （用表格呈现关系，表略. ）

分析：从特殊到一般进行归纳概括，在合作学习中获得相应的数学活动经验，借助于二次函数的图像，通过数形结合发现二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系，学生在主动探究的过程中进一步发展用函数观点认识方程、不等式的思想方法，这个过程有利于学生认识函数的重要性，体会数学的整体性.

4. 数学运用，提升思维

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像（如图2所示），求这个二次函数的零点和一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

例2 求下列不等式的解集.

（1）x2-5x+6>0；

（2）9x2-6x+1>0；

（3）-x2+2x-3>0.

分析：通过具体实例深化学生对三个“二次”关系的理解，梳理求解一元二次不等式的步驟，形成一般性认识.

5. 反思总结，承接函数

师：简述一元二次不等式的解法，以求解ax2+bx+c>0（a>0）形式的不等式为例.

（学生总结步骤，过程略. ）

师：你能从思想方法这个角度总结本节课的内容吗？

生15：利用数形结合与函数思想研究了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系.

师：“函数”是贯穿高中数学课程最重要的概念，用函数观点理解方程和不等式也是数学中的基本思想方法，这一思想方法在后续的学习中有着大量的应用.

师：回归最初的问题，你会设计学习园地了吗？

生16：边长在2分米与10分米之间，根据实际情况灵活设计.

分析：从知识和思想两个角度进行总结，把对方程和不等式的求解统一为对相应函数变化规律的研究，建立起了函数、方程和不等式之间的联系. 最后回归现实问题，利用获得的数学结果解释现实现象，让学生经历数学建模的完整过程，发展学生的数学核心素养.

教学反思

1. 在知识的生成中形成素养

学生数学核心素养的发展要以知识为载体，若离开对知识的理解和应用，数学核心素养的发展将成为一句空话；而要真正掌握数学知识，依靠传统的“题海战术”是无法实现的，必须亲身经历知识的形成和发展过程，在自主建构中达到知识的自然生成. 对于本节课的内容，学生有着良好的知识储备，面对问题时，学生能从容分析，恰到好处地解答. 因此教学时要展现学生的主体地位，使其在自主探究和合作学习中获得良好的数学体验，从而牢固掌握基础知识和基础技能，积累相应的活动经验，更好地支撑其数学核心素养的发展.

2. 在思想的感悟中发展素养

学生数学核心素养的发展得适应学生个人终身发展和社会发展的需要，今后学生会学习不同的知识，获得不同的技能. 随着时间的积累，学生总会思考获得的知识和技能背后所蕴含的思想，通过对思想方法的感悟和总结，对所学的东西加以精炼，并应用于后期的学习. 本节课的内容正处于这个节点，学生探索时能活用“一次”同“二次”的类比，函数、方程、不等式之间的关联，从特殊到一般的归纳；同时，教师教学时应该引导学生感悟函数思想，即体验利用函数提炼方程、不等式的过程，重新认识函数的重要性，为后期学习奠定基础，进而顺其自然地发展学生的数学核心素养.

3. 在数学的应用中体现素养

学生核心素养的发展必须经历两个重要的过程，一是学习过程，也就是“四基”的交融发展过程；二是运用所学知识解决问题的过程. 学习的最终目的是解决生活中的问题，所以本节课一开始就从生活现象入手，通过简单问题的数学建模，使学生在发展“四能”的过程中形成素养. 另外，学生需要通过对具体的数学习题的解决进一步巩固自身刚发展的素养，所以选择习题时，重在利用函数图像通过数形结合解决问题，发展学生直观想象、数学运算等数学核心素养.

结语

预备知识是整个高中数学学习的前哨站，它既为学生后续的学习提供了知识和思想的准备，也为学生学习方式的转变提供了依托. 在教学设计时，教师应该体现“以人为本”的教育理念，以数学基础知识、基本技能为载体，以数学思想方法为主线，让学生积累数学基本活动经验的同时感受数学的魅力，通过不断地学习慢慢拥有数学的眼光，养成数学思维，熟练数学语言，为核心素养的发展铺平道路.

作者简介：陈小琴（1980—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学工作.