基于说理能力培养的高中数学教学策略探讨

［摘  要］ 说理能力，是数学思维能力的外在表现. 提高说理能力，有助于提高学生的数学思维能力. 基于理论研究与教学实践，文章提出培养说理能力的路径，即引导学生抓住数学概念的本质特点说理，引导学生抓住计算的算理过程说理，引导学生抓住应用题的思路说理，引导学生抓住证明题的推理过程说理.

［关键词］ 说理；概念；算理；应用题；证明题

数学语言区别于其他语言，它既是一种自然语言，又是一种符号语言和图形语言，如何利用数学语言的不同表现形式进行说理，这是数学教学中一个不可忽视的内容. 学生的说理能力，是学生数学思维能力的外在表现. 提高学生的说理能力，有助于提高学生的数学思维能力. 教学中教师该如何培养学生的说理能力呢？笔者认为，教师应抓住不同教学内容的特点，有的放矢地加以科学指导.

引导学生抓住数学概念的本质特点说理

概念教学是数学教学的重要环节，概念教学中，学生不仅要说清楚数学概念的本质特点，而且要准确无误地表达数学概念的内涵与外延. 因此，概念教学中，教师应把数学概念的本质特点教学放在首位，保障学生能说出关键性的词语. 此外，对于某些近似概念，教师应让学生说出它们的相同点和不同点，并加以对比［1］.

比如，在圆锥曲线的教学中，如何看待椭圆和双曲线？由此，教师可以先让学生完成折纸、画图等数学活动，让学生亲身经历椭圆与双曲线的形成过程，感悟这两种二次曲线的图像特点，然后根据定义明晰两者之间的共同点和不同点.

椭圆与双曲线的共同点：（1）都是二次曲线；（2）都是中心对称图形和轴对称图形；（3）都是有心曲线；（4）都有焦点在横轴上和纵轴上两种情形.

不同点：（1）椭圆是封闭曲线，而双曲线是开放曲线；（2）它们的离心率的范围不一样；（3）椭圆在一个矩形之内，且与矩形的边相切，而双曲线被夹在两条渐近线之间.

对概念的理解，教师也可以让学生“看图说话”，看椭圆和双曲线的图形，分别说出它们的定义图形的特征，这种数形结合思想更能体现数学的特征.

引导学生抓住计算的算理过程说理

学习数学离不开计算，而计算往往离不开推理，逻辑推理与数学运算正是数学核心素养的两个要素. 学生通过计算，可以巩固并提高所学的计算方法，同时通过有理有据的计算，可以培养逻辑推理能力. 在计算教学中，教师应加强算理教学，不仅要让学生学会“算”，还要让学生学会“说”，这样既能发展学生的数学思维，也能培养学生的说理能力. 那么，应让学生说什么呢？在解答问题前，可以让学生先审题：先说说题目的条件与结论，再说说所涉及的数学知识，然后说说解答问题的思路与策略，最后说说解题中容易出现的错误. 教学中，教师可以让一个学生完成，也可以像成语接龙那样让多位学生组合完成，体现新课标合作学习的理念［2］.

（1）求角B的大小；

（2）若点O是△ABC外一点，OA=2OB=4，记∠AOB=α，用含α的三角函数式表示平面四边形OACB的面积并求面积的最大值．

面对此题，教师可以让学生三说：

第一，让学生说题：（1）运算对象是角B，由三角函数的恒等变换可求出B的值. （2）运算对象是平面四边形OACB面积的表达式和面积的最大值．由题意可得△ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式及余弦定理可求得平面四边形OACB的面积关于α的表达式，从而求出平面四边形OACB面积的最大值.

第二，让学生说解题过程（略）.

第三，让学生说解题感悟（略）.

本题是较常见的一类三角函数综合题. 解答本题必须理解运算对象：本题运算的是一个三角函数中的求角问题和面积最值问题，主要考查的是三角函数中恒等变换的应用、余弦定理的应用，考查的是等价转化思想与运算求解能力. 只有明确了运算对象，方可找到解题策略：（1）求角B的值，必然要对已知等式cosC+（cosA－sinA）cosB=0进行恒等变形. 该等式共有三个量，肯定需要将其中一个量转化成另外两个量并表示出来，再对转化成的两个量进行变形，从而达到只剩其中一个量的目的. （2）思路很明确，通过余弦定理求出AB的关系式，得到平面四边形OACB的面积表达式，利用三角函数的有界性求出最值. 求出平面四边形OACB的面积表达式是关键，也是难点！

事实上，在解题教学中，说如何解题比纯粹解题的要求更高，能让学生“知其然又知所以然”，这也是学生学习数学的最高境界.

引导学生抓住应用题的思路说理

数学解题贵于解题思路的梳理，而解题思路源于数学题本身. 所谓思路，就是学生在解题时分析思考的方法. 而解题思路的形成，离不开数学阅读能力. 实际应用题是高中数学中比较常见的一类问题，这类问题一直是学生学习的难点，难在文字关、事理关和数理关. 这三关分别考查学生的数学阅读能力、数学建模能力和数学解题能力，每一步转化都必须有理有据，步步为营，教学中，教师可以让学生说题，说数学模型，说解题过程，通过“说”来突破实际应用题的“三关”［3］.

例2 南京市江北新区计划在一个竖直长度为20米的瀑布AB正前方修建一座观光电梯DE. 如图1所示，瀑布底部A距离水平地面的高度AC为60米，电梯上设有一个安全拍照口P，P上升的最大高度为60米. 设P距离水平地面的高度为a米，P处拍照瀑布的视角∠BPA为θ. 摄影爱好者发现，要使照片清晰，视角θ不能小于30°.

（1）当a=50时，视角θ恰好为30°，求電梯和山脚的水平距离CD.

（2）要使电梯拍照口P的高度a在52米及以上时，拍出的照片均清晰，请求出电梯和山脚的水平距离CD的取值范围.

本题所含的信息量较大，教师可以先让学生读懂题目要表达的意思，然后寻找数学模型，最后进行解答. 解答后，再请学生重述解题过程.

生1：对于第（1）问，先设CD=x米，再过P作PH⊥BC，垂足为H. 利用两角差的正切公式建立关于x的方程，进而求出CD=x=10（米）.

让学生说思路、说解法远远比教师一个人“自圆其说”所得效果好得多，这样不仅可以锻炼学生的语言表达能力，还能提高学生分析问题与解决问题的数学能力，让学生感受到应用题其实并不可怕.

引导学生抓住证明题的推理过程说理

在高中数学中，立体几何证明题是唯一必考的证明题，主要考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，解题过程处处体现出了数学解题的转化思想. 如何进行转化，其实就是一个说理过程，教师可用其培养学生的说理能力.

例3 在如图2所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝2，BE和平面ABC所成的角為60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．

（1）求证：DE∥平面ABC；

（2）求多面体ABCDE的体积．

教师首先可以请学生说思路：

生3：在平面ABC内作辅助线OF→证明DE∥OF→将多面体ABCDE分割成两个三棱锥→求两个三棱锥的体积之和.

然后请学生说步骤：

生4：第一步，画出必要的辅助线，根据条件合理转化；第二步，写出推证平行或垂直所需条件，注意条件要充分；第三步，明确写出所证结论；第四步，对多面体进行合理转化（分割或拼补）；第五步，分别计算分割的几何体的体积并求和（或拼补的几何体的体积并求差）；第六步，反思回顾，查看关键点、易错点及答题是否规范.

最后请学生规范解答（略）.

解题教学中有三个步骤，即教师要有意识地引导学生分析问题、表达问题和证明问题，能大大提高学生的逻辑思维能力、推理能力和说理能力.

从某种意义上讲，数学教学就是为了让学生明事理、辨是非. 因此，培养与提高学生的数学说理能力，也是数学教学的重要一方.

参考文献：

［1］  李晓波. 高中数学概念教学中“问题串”设计的实践研究［J］. 中学数学杂志，2020（07）：6-10.

［2］  宋辉. 一个问题的算法、算理及变式研究［J］. 数学之友，2020（01）：66-68.

［3］  黄英芬，颜宝平，龙红兰. 从应用题到建模问题的回译——一种开发数学建模素材的新思路［J］. 数学通报，2019，58（09）：34-37.

作者简介：周颖（1990—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.