基于说理能力培养的高中数学教学策略探讨
2022-11-23周颖
[摘 要] 说理能力,是数学思维能力的外在表现. 提高说理能力,有助于提高学生的数学思维能力. 基于理论研究与教学实践,文章提出培养说理能力的路径,即引导学生抓住数学概念的本质特点说理,引导学生抓住计算的算理过程说理,引导学生抓住应用题的思路说理,引导学生抓住证明题的推理过程说理.
[关键词] 说理;概念;算理;应用题;证明题
数学语言区别于其他语言,它既是一种自然语言,又是一种符号语言和图形语言,如何利用数学语言的不同表现形式进行说理,这是数学教学中一个不可忽视的内容. 学生的说理能力,是学生数学思维能力的外在表现. 提高学生的说理能力,有助于提高学生的数学思维能力. 教学中教师该如何培养学生的说理能力呢?笔者认为,教师应抓住不同教学内容的特点,有的放矢地加以科学指导.
引导学生抓住数学概念的本质特点说理
概念教学是数学教学的重要环节,概念教学中,学生不仅要说清楚数学概念的本质特点,而且要准确无误地表达数学概念的内涵与外延. 因此,概念教学中,教师应把数学概念的本质特点教学放在首位,保障学生能说出关键性的词语. 此外,对于某些近似概念,教师应让学生说出它们的相同点和不同点,并加以对比[1].
比如,在圆锥曲线的教学中,如何看待椭圆和双曲线?由此,教师可以先让学生完成折纸、画图等数学活动,让学生亲身经历椭圆与双曲线的形成过程,感悟这两种二次曲线的图像特点,然后根据定义明晰两者之间的共同点和不同点.
椭圆与双曲线的共同点:(1)都是二次曲线;(2)都是中心对称图形和轴对称图形;(3)都是有心曲线;(4)都有焦点在横轴上和纵轴上两种情形.
不同点:(1)椭圆是封闭曲线,而双曲线是开放曲线;(2)它们的离心率的范围不一样;(3)椭圆在一个矩形之内,且与矩形的边相切,而双曲线被夹在两条渐近线之间.
对概念的理解,教师也可以让学生“看图说话”,看椭圆和双曲线的图形,分别说出它们的定义图形的特征,这种数形结合思想更能体现数学的特征.
引导学生抓住计算的算理过程说理
学习数学离不开计算,而计算往往离不开推理,逻辑推理与数学运算正是数学核心素养的两个要素. 学生通过计算,可以巩固并提高所学的计算方法,同时通过有理有据的计算,可以培养逻辑推理能力. 在计算教学中,教师应加强算理教学,不仅要让学生学会“算”,还要让学生学会“说”,这样既能发展学生的数学思维,也能培养学生的说理能力. 那么,应让学生说什么呢?在解答问题前,可以让学生先审题:先说说题目的条件与结论,再说说所涉及的数学知识,然后说说解答问题的思路与策略,最后说说解题中容易出现的错误. 教学中,教师可以让一个学生完成,也可以像成语接龙那样让多位学生组合完成,体现新课标合作学习的理念[2].
(1)求角B的大小;
(2)若点O是△ABC外一点,OA=2OB=4,记∠AOB=α,用含α的三角函数式表示平面四边形OACB的面积并求面积的最大值.
面对此题,教师可以让学生三说:
第一,让学生说题:(1)运算对象是角B,由三角函数的恒等变换可求出B的值. (2)运算对象是平面四边形OACB面积的表达式和面积的最大值.由题意可得△ABC为等边三角形,利用三角形的面积公式及余弦定理可求得平面四边形OACB的面积关于α的表达式,从而求出平面四边形OACB面积的最大值.
第二,让学生说解题过程(略).
第三,让学生说解题感悟(略).
本题是较常见的一类三角函数综合题. 解答本题必须理解运算对象:本题运算的是一个三角函数中的求角问题和面积最值问题,主要考查的是三角函数中恒等变换的应用、余弦定理的应用,考查的是等价转化思想与运算求解能力. 只有明确了运算对象,方可找到解题策略:(1)求角B的值,必然要对已知等式cosC+(cosA-sinA)cosB=0进行恒等变形. 该等式共有三个量,肯定需要将其中一个量转化成另外两个量并表示出来,再对转化成的两个量进行变形,从而达到只剩其中一个量的目的. (2)思路很明确,通过余弦定理求出AB的关系式,得到平面四边形OACB的面积表达式,利用三角函数的有界性求出最值. 求出平面四边形OACB的面积表达式是关键,也是难点!
事实上,在解题教学中,说如何解题比纯粹解题的要求更高,能让学生“知其然又知所以然”,这也是学生学习数学的最高境界.
引导学生抓住应用题的思路说理
数学解题贵于解题思路的梳理,而解题思路源于数学题本身. 所谓思路,就是学生在解题时分析思考的方法. 而解题思路的形成,离不开数学阅读能力. 实际应用题是高中数学中比较常见的一类问题,这类问题一直是学生学习的难点,难在文字关、事理关和数理关. 这三关分别考查学生的数学阅读能力、数学建模能力和数学解题能力,每一步转化都必须有理有据,步步为营,教学中,教师可以让学生说题,说数学模型,说解题过程,通过“说”来突破实际应用题的“三关”[3].
例2 南京市江北新区计划在一个竖直长度为20米的瀑布AB正前方修建一座观光电梯DE. 如图1所示,瀑布底部A距离水平地面的高度AC为60米,电梯上设有一个安全拍照口P,P上升的最大高度为60米. 设P距离水平地面的高度为a米,P处拍照瀑布的视角∠BPA为θ. 摄影爱好者发现,要使照片清晰,视角θ不能小于30°.
(1)当a=50时,视角θ恰好为30°,求電梯和山脚的水平距离CD.
(2)要使电梯拍照口P的高度a在52米及以上时,拍出的照片均清晰,请求出电梯和山脚的水平距离CD的取值范围.
本题所含的信息量较大,教师可以先让学生读懂题目要表达的意思,然后寻找数学模型,最后进行解答. 解答后,再请学生重述解题过程.
生1:对于第(1)问,先设CD=x米,再过P作PH⊥BC,垂足为H. 利用两角差的正切公式建立关于x的方程,进而求出CD=x=10(米).
让学生说思路、说解法远远比教师一个人“自圆其说”所得效果好得多,这样不仅可以锻炼学生的语言表达能力,还能提高学生分析问题与解决问题的数学能力,让学生感受到应用题其实并不可怕.
引导学生抓住证明题的推理过程说理
在高中数学中,立体几何证明题是唯一必考的证明题,主要考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力,解题过程处处体现出了数学解题的转化思想. 如何进行转化,其实就是一个说理过程,教师可用其培养学生的说理能力.
例3 在如图2所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角為60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上.
(1)求证:DE∥平面ABC;
(2)求多面体ABCDE的体积.
教师首先可以请学生说思路:
生3:在平面ABC内作辅助线OF→证明DE∥OF→将多面体ABCDE分割成两个三棱锥→求两个三棱锥的体积之和.
然后请学生说步骤:
生4:第一步,画出必要的辅助线,根据条件合理转化;第二步,写出推证平行或垂直所需条件,注意条件要充分;第三步,明确写出所证结论;第四步,对多面体进行合理转化(分割或拼补);第五步,分别计算分割的几何体的体积并求和(或拼补的几何体的体积并求差);第六步,反思回顾,查看关键点、易错点及答题是否规范.
最后请学生规范解答(略).
解题教学中有三个步骤,即教师要有意识地引导学生分析问题、表达问题和证明问题,能大大提高学生的逻辑思维能力、推理能力和说理能力.
从某种意义上讲,数学教学就是为了让学生明事理、辨是非. 因此,培养与提高学生的数学说理能力,也是数学教学的重要一方.
参考文献:
[1] 李晓波. 高中数学概念教学中“问题串”设计的实践研究[J]. 中学数学杂志,2020(07):6-10.
[2] 宋辉. 一个问题的算法、算理及变式研究[J]. 数学之友,2020(01):66-68.
[3] 黄英芬,颜宝平,龙红兰. 从应用题到建模问题的回译——一种开发数学建模素材的新思路[J]. 数学通报,2019,58(09):34-37.
作者简介:周颖(1990—),本科学历,中学一级教师,从事高中数学教学与研究工作.