图式表达：促进学生数学学习深度建构

江苏省南通市海门区正余小学 宋云翔

“图式”原本是心理学的一个概念，是指“有组织、可重复的心理结构、行为模式”。在美国认知心理学家鲁姆哈特认为，图式就是组成在一起的知识的单元。图式理论同样揭示了学生数学学习的“奥秘”。在数学教学中，教师要着眼于学生的认知、心理和行为图式，引导学生进行图式表达。图式表达基于学生的图式建构，依赖于学生的心理同化、顺应等。图式表达的方式很多，主要有动作图式表达、图像图式表达、语言图式表达等。图式表达可以化抽象为直观、化单一为丰富、化模糊为清晰、化浅显为深刻。

一、动作表达：化抽象为直观

鲁姆哈特认为，图式是对于知识的一种特有表征方式。学生学习数学的过程，从某种意义上说，就是“图式化”的过程。图式能表征数学事实，能帮助学生理解算理、算法等，帮助学生建立数感，促进学生对相关数学知识的理解，等等。在数学教学中，学生不仅能建立表象图式，而且能建立动作图式。建立了动作图式，学生就会用动作图式来表达。动作图式的表达，能化抽象的数学知识为直观。

在苏教版数学五年级下册“圆的周长”这一课的同课异构教学中，学生普遍对“圆周长的一半”和“半圆的周长”两个概念的认识比较模糊，不能有效地区分。为此，一位教师用抽象的数学符号对“圆周长的一半”和“半圆的周长”进行比较、抽象和深化概念，帮助学生建立了符号性表征；另一位教师引导学生画出了“圆周长的一半”和“半圆的周长”的图，引导学生进行比较，从而帮助学生建立了图像性、图形性的表征；而第三位教师则引导学生用手简单地比画，即让学生用手画出一个180°的圆弧表示“圆周长的一半”，再画出一个180°的圆弧加一条直径表示“半圆的周长”，从而帮助学生建立了动作性的表征。实践证明，用抽象的符号建立符号表征，或用抽象的语言建立解释表征，抑或用形象化的图形建立图像、图形表征，都没有用动作建立动作表征来得稳固。当学生用动作进行动作表征、动作图式之后，他们自然地理解了两个概念的区别与联系，在汇报交流、解决问题等活动中，学生也自然地能用动作图式来表达。用动作图式表达，避免了符号演绎的烦琐，避免了图形表征的麻烦，能化抽象为直观，同时操作也比较简单。

动作图式是依靠动作来表征数量关系、语义的一种方式。一般来说，在低年级，教师应当引导学生用动作图式来表达，以帮助学生建立内在的动作图式心理表征。相比较于符号表征、图形表征，动作表征更符合低年级学生的年龄和心理特征。从某种意义上说，学生的数学学习发端于直观动作，也终止于直观动作。因为，学生内化的数学素养等最终总是要通过直观动作、行为表达显现出来。

二、图形表达：化模糊为清晰

德国思想家康德曾说：“图式是潜藏在人类心灵深处的一种技术、一种技巧。”在数学学习中，学生往往会将若干个知识点集结成知识组块，进而建立一种线状结构图式、网状结构图式和表格式的结构图式等。这些图式，笔者都将其称为图形图式。在格式塔心理学中，图形图式还有“完形”“整体”的一种趋势、趋向。在引导学生建立图形图式的过程中，教师要有意识地引导学生动手作图、观察读图、思考想图，从而不断丰富、夯实学生的图形图式表象。图形图式，能化学生模糊的数学学习为清晰。

读图、画图，用图形、图像等来进行表征，是学生图形图式生成的重要标识，同时也是学生用图形图式来表达的重要方式。作为教师，要注重学生对图式的提取、加工、表达和应用。在数学教学中，引导学生建立图形图式或者用图形图式来表达，绝不仅仅是一种“数形结合”，而更为重要的是帮助学生建立一种图形表象，用图形表达来思考，并且将图形表达通过表达显现出来。在引导学生建立图形图式的过程中，教师要帮助学生进行调整、补充和修正，从而让学生的图形图式能有效地表征问题、解决问题。例如，在教学苏教版数学五年级上册“小数的大小比较”一课时，笔者将教材中的具体数量——“0.6元和0.48元”，变更为“0.6和0.48”，并引导学生进行意义赋予。在学生借助于自己意义赋予的具体数量比较大小之后，笔者引导学生画图，来表征两个抽象的小数——“0.6和0.48”。有学生画正方形表征小数，并进行比较；有学生画线段图表征小数，并进行比较。在画图的过程中，学生自然生成了小数的心理图像。学生对小数的大小比较从模糊走向清晰，为后面实施小数的加减法教学奠定了坚实的基础。

图式表达有助于学生形成用图形思考、用图形探究的数学学习习惯和品质。在教学中，图形表征能让数学不再是“冰冷的美丽”，而是能让学生展开“火热的思考”。图形图式契合了学生的认知、探究等心理特点，能降低学生对数学学习的认知和探究难度，让学生把握到数学知识的本质和实质等。

三、符号表达：化单一为丰富

图式，不仅仅包括动作图式、图形图式，还包括符号图式。相比较于动作图式、图形图式，符号图式更能发展学生的理性思维。学生的数学学习，从某种意义上来说就是“符号化”的过程。在数学教学中，教师要引导学生建构符号，引导学生用符号思考、用符号探究，使符号成为学生数学学习的桥梁和载体，帮助学生建立符号图式，引领学生用符号进行图式表达。符号图式表达，能让学生的数学学习由单一变为丰富。

符号图式的建构过程是一个符号表征、符号加工、符号建构、符号创造的过程。作为教师，要充分激发学生对符号建构和创造的兴趣，让学生会用符号进行思考、探究。符号图式能帮助学生建立符号模型。例如，在教学苏教版数学四年级下册“乘法分配律”一课时，在引导学生通过举例、验证等发现了“运算规律”之后，笔者引导学生用自己的方式进行不完全归纳。于是，有的学生用“△×（☆+□）=△×☆+△×□”来表达，有的学生用“a×（b+c）=a×b+a×c”来表达；有的学生用“甲×（乙＋丙）=甲×乙+甲×丙”来表达；等等。尽管学生用了不同的文字、符号，但都能表征乘法分配律的本质内涵，都能发现乘法分配律所表达的关系、关联、规律等。相对于其他图式表达，符号化的图式表达更能揭示数学知识的本质，也更简洁、更精准。符号化的表达，发展了学生的符号意识。

从某种意义上说，数学知识是人类形式化、符号化的结果。借助于符号图式，能有效地引导学生将实际问题抽象成数学问题，并帮助学生建构数学模型。数学的符号表达，不仅能揭示数学知识的本质，而且能提升学生的抽象化、概括化水平，以及数学学习力，发展学生的数学核心素养。

四、言语表达：化浅显为深刻

言语图式表达是图式表达的一种重要形式。言语不像动作、图形那样直观，但言语更能唤醒学生的学习经验，激发学生的数学思维，调动学生的数学想象。言语表达，能化浅显为深刻。在引导学生建立言语图式表达的过程中，教师要注重言语的整体性、言语的结构性、言语的层次性、言语的系统性等。

例如，在教学苏教版数学五年级上册“梯形的面积公式”一课时，笔者不仅引导学生推导梯形面积公式的形成过程，还引导学生用符号来表征梯形的面积公式，并引导学生用语言来表达梯形的面积公式。在表达的过程中，笔者尤其引导学生突出“上下底的和”，始终将“上下底的和”作为一个言语图式中的整体，这个整体有助于学生建立梯形的上下底的和与平行四边形的底之间的关联，从而有助于学生更加深刻地理解梯形的面积公式，使学生在思考与“梯形面积”相关的数学问题时，总能从“梯形的上下底的和”这个角度来思考。这样，就打破了学生在解决问题时“在已知了梯形的上下底之和”的情况下，还大费周折地想分别求出梯形的上底、下底的思维定式。相比较于其他的图式，言语图式更能帮助学生建立一种思维的组块、认知的组块、知识的组块等。言语图式，有助于学生理解数学知识的意义，从而实现学生的数学学习从“量”到“质”的飞跃，从“知”到“智”的嬗变。在数学教学中，言语图式不仅是一种“有意义的图式”，还是一种“有意味的图式”。

教师引导学生应用言语图式进行表达时，要注重突出重点，尤其是要让学生的言语图式表达有节奏、有节律。在教学中，教师要帮助学生理解图式、建构图式、完善图式，进而引导学生用图式思考、用图式探究、用图式表达。图式是学生数学素养发展的“泵”，图式表达不仅是学生图式内化的重要标识，而且也是数学学习效度的重要标识。通过图式表达，可以帮助学生实现数学理解的跨越，促进学生认知结构的完善，使学生的数学学习变得更有意义、更有价值！