函数性质与导数的易错分析——以2022年新高考Ⅰ卷第12题为例

广东 莫 祺

函数与导数是高中数学的核心模块，也是高考的难点，常常出现在各种题型(选择、填空、解答)比较靠后的位置，综合性较强，很多学生无法找到题眼，经常在关键点上出错，得分率低.本文以2022年新高考Ⅰ卷第12题为例，剖析抽象函数性质及图象变换、原函数与导函数的对称关联性中的易错点，并梳理此类问题的解题思路，以期提高此类题的正确率.

一、试题呈现

C．f(-1)=f(4) D．g(-1)=g(2)

【参考答案】BC

(易错：忽视复合函数可看成一个新的函数)

故f(3-x)=f(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确；

(易错：复合函数求导时，内层函数不求导)

(易错：不熟悉双对称的函数隐含着周期性)

g(-1)=g(1)=-g(2)，故D错误；

由[f(2+x)+f(2-x)]′=g(2+x)-g(2-x)=0知，

f(2+x)+f(2-x)=c(c为常数)，

(易错：混淆图象的平移、伸缩、翻折变换对应复合函数的变化)

下面来看原函数与导函数图象之间对称性的关系：

(易错：忽略了通过函数对称性找极值点)

(易错：不能熟练掌握导数几何意义在图象变化趋势中的应用)

而若f′(x)关于x=2对称，x1+x2=4，f′(x1)=f′(x2)，f(x)在x1和x2处切线的斜率相等，则f(x)关于点(2,c)对称，f(x)也是周期为2的周期函数，下同方法一.

(易错：习惯性地将对称中心的纵坐标写成0)

二、易错数据

2022年新高考Ⅰ卷给人眼前一亮的感觉，考生普遍表示难度大，和平时做的题很不一样.试卷在基础性、综合性、应用性、创新性方面进行了深入的考查，对概念和方法的理解不深刻的同学肯定是比较吃力的，也给了一味刷题、不重视基本概念的同学当头一击，对中学数学改革起到了积极的引导和促进作用.对于上面的例题，某所国家级示范性高中的一个平行班学生(已经完成了函数与导数章节的第一轮复习)在周测中的易错数据如下：

易错数据分析表易错点名称混淆抽象函数性质及图象变换、原函数与导函数的对称关联性题源名称2022新高考Ⅰ卷第12题(多选题)班级人数44该题平均分1.89选对人数5漏选人数29错选人数10

从上面的数据可以看出，得分很不理想，平均分不足2分，29名漏选的同学中，22名同学都是选了C，7名同学选了B，说明这个班的同学们基本上掌握使用定义判断抽象函数的对称性，10名错选的同学们基本上都是选了A，也反映了少数同学的思维局限于x轴上的对称中心.

三、易错分析

这道考查函数性质与导数的综合题是2022年新高考Ⅰ卷中选择题的压轴题，要求学生在抽象函数的背景下，理解函数的奇偶性、对称性、导数等概念以及它们之间的联系，对数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养都有较高的要求.方法一从函数对称性的定义出发，通过复合函数求导，找到导函数新的对称关系，双对称得到周期性，易错点主要是函数性质的概念不清晰及复合函数求导错误.方法二从图象变换出发，通过三种变换得到函数的对称关系，再根据原函数图象与导函数图象之间的关系寻找新的对称关系，重视数形结合的思想，易错点是图象变换关系混乱、原函数与导函数的对称关联性掌握不熟练，下面对易错点进行详细的叙述：

四、易错练习

1．(2021·新高考Ⅱ卷·8)设函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，且f(2x+1)为奇函数，则( )

C．f(2)=0 D．f(4)=0

【参考答案】B

【解题思路】由函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2-x)，f(x)关于x=2对称.由函数f(2x+1)为奇函数，则f(1-2x)=-f(2x+1)，所以f(1-x)=-f(x+1)，则f(x)关于(1,0)对称，故函数f(x)是以4为周期的周期函数.

(易错：忽视复合函数可看成一个新的函数)

因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，

(易错：忽视奇函数F(0)=0)

故f(-1)=-f(1)=0，其他三个选项未知，故选B.

【参考答案】D

【解题思路】因为f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)， ①

因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2).②

由两个对称性可知，函数f(x)的周期T=4．

(易错：不熟悉双对称的函数隐含着周期函数)

令x=1，由①得,f(0)=-f(2)=-(4a+b)，由②得,f(3)=f(1)=a+b，

因为f(0)+f(3)=6，所以-(4a+b)+a+b=6⟹a=-2，

令x=0，由①得,f(1)=-f(1)⟹f(1)=0⟹b=2，所以f(x)=-2x2+2．

(易错：漏掉隐含条件，若函数在对称中心处有定义，那么对称中心一定在函数图象上)

【参考答案】B

【解题思路】因为当x∈(0,1]时，f(x)=x(x-1)，f(x+1)=2f(x)，所以f(x)=2f(x-1)，即f(x)的函数图象向右平移1个单位长度，图象的纵坐标变为原来的2倍，如图所示.

当2

(易错：运用图象解析式求解的过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍)

五、函数与导数的教学建议

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》强调通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.相比较其他模块，新高考对函数、导数的“四基”和“四能”要求更高，考查力度也呈现加大的趋势，不仅题型在变化，难度、深度也在增加.因此，在这一知识模块的复习过程中，一定要脚踏实地，落到实处，具体来说：

1.重视数学概念的生成，引导学生抽象概括.高三的概念复习不是简单地复述，更应该是在新情境下再次升华，理解数学概念的本质.比如抽象函数的对称性，不只是记住f(a+x)=f(a-x)表示f(x)关于x=a对称，而要理解a+x与a-x表示数a向左或向右平移|x|个单位长度后，对应函数值相等，由x的任意性推出f(x)图象的对称性.数学概念的理解既是正确思维的前提，又是提高数学解题能力的必要条件.以下两个误区要避免，其一是认为概念的学习单调乏味,不去重视它,导致对概念的认识模糊；其二是对基本概念没有理解透彻,只是机械、零碎的认识，结果导致学生在无法形成能力的情况下匆忙去解题,只会模仿老师解决某些典型的题和掌握某类特定的解法,一旦遇到新情境的题目就束手无策.

2.细致梳理主干知识，归纳常见的数学模型.高三需要以课本为中心，充分发挥课本的主导作用，弄清每个章节的知识点和要求，弄清基本规律的来龙去脉，构建出清晰的知识体系.复习的过程可以使用思维导图，围绕一条主线，从点到面进行拓展梳理，再总结一般规律回归到通法.比如含参函数的单调性的分类讨论，从f′(x)=0是否有根、根是否在定义域内、比较根的大小、二次型函数开口方向等进行讨论，再借助图象(一次型或二次型函数)写出单调区间，学生需要熟练这条主线的每个细节.