研究不等关系 发展核心素养——以2022年不等式问题为例

广东 彭 红

《中国高考评价体系》将“引导教学”纳入核心功能，有利于理顺教考关系，增强“以考促教、以考促学”的主动意识，完善育人体系，着力扭转教育的功利化倾向.尤其是“双减”后，教学活动调整教育方法和手段，让学生主体功能得到充分发挥.高质量地认识问题、分析问题、解决问题的综合品质得以进一步培养，数学建模、逻辑推理、数学运算、数学抽象、直观想象、数据分析这六大核心素养得到全面发展.从2020年新高考Ⅰ卷(仅供山东使用)到2022年高考数学全国卷，高考数学充分发挥引导教学功能，同时又以创新性、综合性、应用性的题目考查了学生的关键能力和必备知识.本文归纳常用的不等关系处理策略，研究新高考后不等关系的高考试题，分析题目的命题角度、命题亮点、考查的思想和方法、解题思维与过程.

一、不等关系处理策略

不等关系的处理蕴含着丰富的数学思想，是高考数学的重点考查内容，高中数学也有多种处理方法，下面列举新教材常用的六种处理策略.

(一)作差法

a-b>0⟺a>b,a-b<0⟺a

(二)作商法

(三)函数法

1.判定f(a)与g(a)的大小关系时，可构造函数F(x)=f(x)-g(x)，F(x)的定义域为[m,n],a∈[m,n]；若F(x)在[m,n]上单调递增，且F(m)=0，则f(a)>g(a)；若F(x)在[m,n]上单调递增，且F(n)=0，则f(a)g(a).

2.判定f(a)与f(b)的大小关系时，可研究函数f(x)的单调性，设f(x)定义域为[m,n]，af(b).

(四)导函数比较法

判定f(a)与g(a)的大小关系时，若函数f(x)与g(x)在[m,n]有定义，当a∈[m,n]时，f(m)=g(m),则当f′(x)>g′(x)>0时，f(a)>g(a)；当f′(x)

(五)放缩法

判定f(a)与g(a)的大小关系时，若能找到函数h(x)使得f(a)>h(a)>g(a)，则f(a)>g(a)，反之则小于.放缩法对学生的基本功要求较高，属于《中国高考评价体系》中关键能力范畴，需要高中阶段对函数部分多研究、多总结，奠定扎实的函数基础.

(六)中间量法

判定a,b大小关系，若存在常数m，使得a

二、不等关系试题研究

A.a

C.c

【命题亮点】从判定大小关系的角度出发，判定三个看似毫无关系的数值，实则既考查了指数、对数函数的常规变形等必备知识，又考查了数学建模，数学抽象，逻辑推理等数学核心素养.这道题与旧高考的不等关系试题相比，最大的区别在于差值小，用常规的中间量法不易找到合适的中间量.所以这道题目充分体现了《中国高考评价体系》中的创新性、综合性和应用性.虽然这道题考生入手难，但分析试题后还是能联想到常用的构造函数法.故构造一个怎样的函数成为了解题的关键，这又对考生的数学建模核心素养提出了要求.

【解析】视角一：作差构造函数

综上所述，c

视角二：放缩法

故h(x)在(1,+∞)上单调递减，所以h(x)

再证当x>0时，ex>x+1；

综上所述，c

综上所述，c

视角三：导函数比较

视角四：近似值估算

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

【命题亮点】题目以三角函数为背景，比较三个数值的大小，考查了学生的必备知识——三角变换；若用函数法解题，则体现数学建模、数学抽象核心素养；若用放缩法解题，则体现关键能力.该题目是单选压轴题，四个大小关系的选项设置合理，使得该题目没有应试技巧，需要深入分析，找出联系，增加了试题的难度和试卷的区分度.这充分发挥高考“服务选才”的核心功能.题目中的三角属性使得解答题目可从多角度出发，又充分发挥高考“引导教学”的核心功能.引导教学重视知识的发生过程，设计数学建模活动，培养解决问题的思维和方法.教学活动要“扬长”而不是一味的“改短”，鼓励创新，既要关注结果，又要关注过程.不同解法所需时间必然不同，对整套试卷的解答都会有所影响，这也是高考服务选才功能的体现.

【解析】视角一：作差构造函数

综上所述，c>b>a，故选A.

视角二：放缩法

视角三：积分法

综上所述，c>b>a，故选A.

【例3】(2022·全国甲卷文·12)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

【命题亮点】9m=10考查了信息分析、整理能力和指、对数变换的必备知识，a=10m-11，b=8m-9考查了数学抽象核心素养.通过10m-11，8m-9的相似结构容易联想到函数f(x)=xm-x-1的值，从而找到构造函数的方法.基础性、创新性、应用性、综合性的题目既落实了《中国高考评价体系》，又降低了文科卷的试题难度.

【解析】由9m=10得m=log910>1，令f(x)=xm-x-1，x∈(1,+∞)，则f′(x)=mxm-1-1>0,故f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(10)>f(9)>f(8)，10m-11>0>8m-9,即a>0>b，故选A.

【评注】题目容易入手，并且m=log910>1降低了导函数的难度.值得注意的是，选项不仅要求比较a与b，还要和0比较，这又是对信息分析能力的考查.其实从题目中我们不难发现比较a与b，是比较f(10)和f(8)，10和8中间隔了一个9，将其带入函数发现f(9)=0，即得a>0>b.题目的设计与2005年全国卷Ⅲ理科第6题有异曲同工之妙.题目如下：

A.a

C.c

A.c

C.a

【命题亮点】题目以对数比较大小为背景，考查了信息分析和加工能力，对数的变形知识点，体现了考查要求的基础性，题目难度适中.

A.a

C.b

【命题亮点】该题是一道创新性、综合性强的题目，发散思维和逆向思维是其重要特征.解题视角多，可从构造函数、放缩、导函数、定积分等视角出发对其解答，通过合理的情境、新颖的试题引导学生在陌生中主动思考，又进一步引导高中数学教学要培养发现新问题、找到新方法、得出新结论的能力.

综上所述，a>c>b，故选B.

【评注】由于例6是2021年的题目，故文章只给出最常规的构造函数法.与2022年新高考Ⅰ卷第7题和2022年全国卷甲卷理科第12题相比，容易联想到构造函数法，但选择哪个常数转化为变量成为了难点.选择变量构造函数尽可能使用加法和乘法，有利于简化运算，降低错误率.a=2ln1.01中的1.01是关键信息，1.02=1+2×0.01，1.04=1+4×0.01，所以变量可定.作差后构造函数，其一阶导数不容易与0比较大小.一方面可求有效二阶导数，另一方面可缩小定义域的范围，这里取定义域为(0，0.1)，二者皆可降低试题难度.题目需要花一定时间思考和解答，整体难度中等偏上，放在单选压轴合适.

三、高考数学备考建议

1.注重回归教材，厘清概念原理

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课程标准》)强调回归教材，深刻地理解和认识课本的基本概念、定理，通过反思、总结、拓展等方式构建完善的知识机构体系，避免知识碎片化.注重知识的产生过程与方法的基本原理，培养学生的探究精神和创新精神，让学生成为过程的参与者，而不是结果的获得者.深化数学基础、提高教学效果、练习减量提质、加强教考连接.鼓励学生用数学眼光看世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界.厘清基本概念、基本知识、基本方法，让学生用自己所学去认识问题、发现问题、分析问题、解决问题，获得成就感，不断自我激励，形成良性循环.

2.巩固通性通法，落实核心素养

以往的应试技巧在新高考中并不再适用，也不利于人才的培养和选拔，要避免生搬硬套.《课程标准》对人才的培养提出了新要求，从2022年新高考Ⅰ卷的命题设置来看，新高考对学生的数学思维要求明显增高.教学活动要在数学运算、数学抽象、数学建模、数据分析、逻辑推理、直观想象这六大核心素养上下功夫.新教材，新课标，新高考是大趋势，六大核心素养的考查会在以后的高考数学中体现更多.从2020年到2022年新高考的试题变化趋势来看，高考数学明显降低了数学解法和技巧的难度，但增加了知识的广度.在教学活动中，应注重知识的学以致用和灵活变通，培养知识与情境联系能力，培养学生观察、分析、联想、归纳能力.注重一题多解和多题一解，总结方法，培养学生的应变能力.

3.创新设计试题，培养关键能力