链接新教材、新高考深化高三复习——以2022年全国甲卷理科第21题为例

四川 尹义杰

本文通过对2022年全国甲卷理科第21题的解法分析，以及其与新高考试卷、新教材的对比进行探源，找到高考试题与新教材之间的命题关联，发现命题人“重教材，求变新，强选拔”的高考命题意图，为2023年高考复习提供助力.

一、真题再现

(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；

(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.

本题考查学生对函数与导数知识的掌握，学生能否发挥导数在探索不等式、函数问题时的“工具性”作用，考查学生独立思考，综合运用数学思维、数学方法分析问题和解决问题的能力.虽然是压轴题，但是本题依然体现了“重教材，求变新，强选拔”的命题意图.

二、解法分析

解法二：构造函数，利用复合函数知识，化简所求函数后分离参数进行求解.将函数变形为f(x)=ex-lnx+x-lnx-a，令t=g(x)=x-lnx，容易求得g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以t≥1，此时已知的f(x)≥0即为f(t)=et+t-a≥0，分离参数a≤et+t，求得当t=1时不等号右侧函数值最小，即a≤e+1.

解法三：在解法二中可以轻松发现函数f(t)=et+t-a在[1,+∞)上单调递增，所以f(t)≥f(1)=e+1-a≥0，即a≤e+1.

从三种解法中都可以看出重基础、低起点、宽入口的命题意图，坚持让每位学生都能动笔，都有收获.重视通性通法的考查，通过“通性通法”使多题一解、一题多解，引导学生在复习中走出“题海”.

从解法三中还能发现求变求新的命题意图.在新函数f(t)=et+t-a的结构上可以发现其与重要不等式ex≥x+1非常相似，而这就成了本题的一个易错点，学生易忽略重要不等式对应函数f(x)=ex-x-1与f(t)的符号存在区别，从而易得出错误答案a≤1.而这个符号的区别就是求变求新的命题体现，考查了学生分析问题和解决问题的能力.

(2)极值点偏移问题的求解技巧有很多，但是求解技巧并不能考查出学生对导数的基本作用的理解和掌握情况.导数的核心作用是工具，它是帮助我们判断函数性质的一种有力工具，所以在函数与导数问题的求解中，我们首先要找到，应该用导数去研究什么样的函数，然后用导数指明这个函数的性质，最后完成解答即可.当然，即便学生清楚所要研究的函数，依然不能保证可以完全解答出本题，因为这中间还有若干步化简需要处理，学生不一定能全部找出，所以这就突显了高考题的选拔性作用.

解法一：因为f(x1)=f(x2)=0，不妨设0

三、试题探源

(一)与教材联系

2022年的全国甲卷理科无疑是一份链接新教材新高考的过渡试卷，今年下半年四川将开始学习新教材.在人教A版选择性必修第二册中有这样一道习题.

显然，此题和今年全国甲卷理科第21题的函数f(x)在结构上有相似性；而在例1第(1)问解法二和三中，通过构造t=g(x)=x-lnx和复合函数化简得到函数f(t)=et+t-a.很难说他们分别与人教A版选择性必修第二册第94页练习第2题和第87页练习第1(2)题没有相似关系，是不是这些问题重新变化、组合而成.

所以，我们虽然不肯定高考会考课本上的例题、习题等，但是教材给予高考复习一定的提示，要重视教材.那怎么重视教材呢？不仅要做，还要做透，做灵活，更要有改编课本习题的胆量.怎么改编呢？可以参考历年的高考试题改编，再以此为依托在高考复习时进行变式设计和训练，一定会有不错的效果.

(二)与近年高考题纵向联系

2.(2020·新高考Ι卷·21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

第(2)问通过构造函数进行解答，即由f(x)≥1得aex-1-lnx+lna≥1，即elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，构造函数g(x)=ex+x即可解答.与2022年全国甲卷理科第21题第(1)问解法二和三所得函数f(t)=et+t-a及其得到方法都基本一致.而函数g(x)=ex+x更不是一个陌生的函数，在人教A版选择性必修第二册第87页练习第1(2)中早已有它的一位变式“亲友”存在了.

当然，从极值点偏移问题的确定研究函数的这个思维角度去看，2021年新高考Ι卷第22题第(2)问也和2022年全国甲卷理科第21题第(2)问是相统一的.

(三)与2022年高考题横向联系

3.(2022·新高考Ι卷·22)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

由已知g(x)=ax-lnx=aelnx-lnx，令t=lnx，则g(t)=aet-t，因为f(x)与g(x)有相同的最小值，可推出f(x)与g(t)有相同的最小值，由两者的解析式可以明显观察得出a=1.

至此可以看出，本题第(1)问中所研究的函数f(x)=ex-x和g(t)=et-t，正好是人教A版选择性必修第二册第87页练习第1题(2)中的函数，也就是2022年全国甲卷理科第21题的那位好“亲友”了.

不仅是第(1)问，第(2)问更是和这道练习题紧密联系.设交点为x1，x0,x2,x1

即ex0-x0=x0-lnx0=b，

所以2x0=ex0+lnx0，

令f(x1)=ex1-x1=b=x0-lnx0=elnx0-lnx0，

所以x1=lnx0，

令g(x2)=x2-lnx2=b=ex0-x0=ex0-lnex0，

所以x2=ex0，

所以x1+x2=lnx0+ex0=2x0，问题得证.此过程始终围绕函数f(x)=ex-x进行构造，因此我们必须要重视教材，重视基础函数的研究、应用和改编.

四、变式举例

【方法变式】【例2】(2020·全国卷Ⅰ文·20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

【分析】第(1)问就是教材练习题f(x)=ex-x的简单应用；

五、高考复习策略

通过研究发现，在新高考的引领下，全国甲卷无论怎么变化求新，都是基于教材，变式提高，灵活应用的，这就提示一线教师们在高三复习时应注意以下几点：

(一)回归教材夯实基础

高三数学复习首先应回归课本，要指引学生从课本中的概念、定理、公式、法则的发生、发展、形成的过程去理解和掌握；指导学生总结、整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法；挖掘掌握教材中的通性通法，从而既使学生减缓了复习的坡度，又使学生的基础知识形成清晰的网络，更使学生应试答题速度大大加快.

(二)回归教材寻找题源

从本文上述内容可以发现，高考题植根课本，源于课本，再变式提高的特征非常明显，哪怕是参加全国甲卷、乙卷的省份，依然要参考新教材，这是高考命题的大势所趋.回归到教材中去，从平淡中练功力，使朴实无华的教材成为高三数学复习的最好范本，同时也是学生提高对高考试题的应对能力最好的秘籍.

(三)回归教材创新变式

既然高考题以课本原题进行变式、组合、创新而成，那么在高三复习时也应主动发挥教材原题的变式组合功能，并着重对这类问题通性通法的提炼，淡化应试技巧.同时变式组合不代表只有高难度问题，中低难度依然可组合，不同层次针对不同学生.再以这些问题为依托，训练学生的阅读理解能力和思维能力等关键能力.当然，如果能发挥学生自己的积极性，让他们也积极参加到变式组合命题中来，相信学生一定会对教材和高考题有更深刻的理解和提高.