抓住联系 组建结构 发展思维——以“角的度量”的教学为例

江苏省无锡市新洲小学 余晓华

基于数学学科的整体系统性、结构关联性等特点，教师在数学课堂上进行结构化教学，通过连续、关联、循环这三个结构化学习环节，引导学生从数学知识本身出发，对数学知识进行合理统整，打破孤立的“一节课”局限，实现自然而有意义的数学学习，让学科价值与学生学习力发展之间的逻辑纽带——结构发挥更大作用，从而提升学生数学观察、理解与应用的基础素养，最终形成结构性思维。下面，笔者以“角的度量”的教学为例，谈谈在教学中如何抓住知识内在的练习，组建知识本身的结构，发展学生的高阶思维。

一、横向联系——顺应知识发展的脉络，组建认知结构，让思维有宽广度

布鲁纳强调，不论我们教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构。学习结构，就是学习知识是怎样相互关联的。这就需要教师站在系统的高度，从整体的角度审视数学学习的发生、发展过程，从而科学地优化数学教学活动，推动学生在已有数学知识经验的基础上，经历个性化的认知转化，培养结构化思维，形成“带得走”的学习方法和能力。

（一）拨开知识“洋葱皮”，寻找知识内核，搭建思维支架

关于“角的度量”，追根溯源，就是寻找角的发生点。角是怎么产生的呢？学生刚认识角的时候是这么感受角的大小的；角的大小是由两条边的张开程度决定的，两条边张开得越大，角越大；张开得越小，角越小。到了中年级，学生认识的角是这么定义的：由一点引出两条射线组成一个角。随着学习的深入，学生之后会接触到角的引申含义，那就是一条射线由原来的位置绕着它的端点按逆时针方向旋转到另一位置，形成角。在不同的年级中，教材都提及了角的边在运动过程中产生角，两边张开的程度决定了角的大小。既然有大小，就有了量角的必要性，学生需要有知识上的自然理解和自然过渡。

学生的经验具有可迁移性，能够横向联系知识。按照以往的度量经验，对于一维空间里的长度，初接触时，我们用身体尺“拃”去量，用铅笔盒的长边去量，用数学书的宽边去量……我们都是用小长度去量大长度，但是结果不统一，从而让我们感受到了单位长度的重要性。自此有了厘米尺，在一维空间里度量长度时，我们就可以用厘米尺量出被测量物体的长度。这些追溯到的以往的旧知可以给新的度量活动提供基本的认知框架，由旧知猜测新知可能具有相同或相似的属性，为学生的自我建构知识意义提供保障。在顺应知识脉络的自然顺接下，有了前后贯通的缆索，学生准确地寻找到新知识的生长点。对于二维空间里的角，我们也让学生感受用小角去测量大角的过程。对于同一个大角，有的学生用三角尺上的不同角去测量，会形成思维的矛盾点和冲击点：同一个大角，由于单位小角的不同，导致了对角的大小的描述不同，所以，单位小角还需进一步完善，寻找一个单位小角的标准，那就是360°的角，平均分成360份，每一份所对应的就是标准的单位小角1°角。学生在这样一步步的思维行进过程中认识到，角也像长度一样，是可以通过单位小角去度量的，基本构成是可以和以前的知识形成共识的，只是单位基本元是一个个1°的小角。教师在顺应学生知识发展的脉络上，拨开了知识的“洋葱皮”，寻找到知识的内核，发掘和利用这些共同点或相似点，在新旧知识的类比推理中实现正向迁移，自然生长出对1°角的需求，为知识关联找到了认知通道，凸显整体关联与结构发展，组建了学生的认知结构，从而实现结构化教学，促进学生结构化思维的发展。

（二）合拢学生层层“思维壳”，汇通理解核心，拓宽思维广度

1.顺寻思维横坐标——1°角的“有限可加性”

张奠宙教授在谈长度测量问题时曾经指出，测量从表面上看是拿刻度尺去量一条线段的长短，其实，深层次的理解应该是给每条线段以合适的数；这个数的指定方法必须满足“有限可加性”“运动不变性”和“正则性”这三个条件。这就是现代数学中的测度理论。教师在教学中应该用合理的数学方式把这套思想方法呈现给学生，让学生去经历、去体验，从而把握“量”的数学本质。

在“量角”的教学中，有必要让学生去经历度量单位的产生，将一个圆平均分成360份，每1份所对应的圆心角的大小就是1°。这就是度量的正则性， 1°角即为度量单位。

量角器的本质是“单位小角”的集合，角的度量的本质是看被测对象中含有多少个“单位小角”，这是学生理解量角的逻辑基础，累加成10°角、20°角……让学生在这个过程中，感受到角的有限可加、可减性。累加的目的，不仅仅是认识更多度数，还要明白度量的对象里包含了多少个度量单位就是多少度。

2.巧织思维纵坐标——自制“半圆尺”

第一次使用全新的量角工具——量角器，它跟学生原来使用的直尺，在长相上完全不一样，量的起点也是不一样的，但是，学生能够理解量角器其实是由一个一个的1°角密铺而成的，总共180个1°角即180°。这个密铺的过程跟厘米尺的形成过程有着惊人的相似，厘米尺是1厘米、1厘米……依次叠加，而这个则是1°角、1°角……依次叠加。继而引发讨论：这些角都有什么共同的特点？学生在思考的过程中自然想到：所有这些角的顶点都重合在一个点上，而这个点就是量角器的中心点，同时也是角的顶点，这也为角的顶点与中心点重合找到了思维的根基。这个自制“半圆尺”，让学生的单边思维显现出了极佳的状态，使学生只关注量角器的一圈，去感受量角的方法和技能。整个量角工具的再创造的过程，织起了学生思维的纵坐标，非常好地建立起量角技能的脚手架。

3.妙联思维爆破点——组合“量角器”

学生技能的掌握需要一步步稳稳当当地修炼。在技能掌握的过程中，思维的爆破点需要寻找合适的点。在实际测量中，学生感受到了单边一圈量角器的不足和不完美，自然产生了完善量角器的需求，在外围再反向（从左往右）标一圈刻度，让内圈刻度和外圈刻度完美对应，这样，就成了一个完美的量角器了。在矛盾中，打破学生原有的思维认识，产生了新的需求，有需求就会有方法，水到渠成地完成了对量角器原理的体会，也为他们量角技能的形成添上了顺畅的一笔。

二、纵向联系——围绕知识本质的理解，联结认知结构，让思维有深刻度

（一）从知识冲突处实现思维深化

在长度单位的应用教学中，我们所强调的“一端要和直尺的0刻度对齐，另一端对着刻度几就是几厘米”，事实上只是度量的一般方法而已，与度量本质无关。基于“从非0刻度度量长度”的经验，所以，在回忆测量线段长度时，笔者用的尺子是从6厘米开始的，将学生度量长度的关注点聚焦到量的起点不是最重要的，关键点是度量的对象里究竟包含了多少个度量单位，这才是度量的本质。比如，这条线段长6厘米，其实质就是，这条线段的长度里，包含了6个1厘米这样的长度单位。那么，在二维空间里，我们可以将量角器和刻度尺进行“求同”对比，借助刻度尺去寻找度量的知识内核，出于对度量本质的强化，发现它们都有起点、标准刻度、终点等，让学生从知识最根本的位置去找到度量角的思维生长点。我们度量角，也需要寻找到这样的“单位角”，并用这个单位角去度量被测角里包含了多少个这样的单位小角，就是多少度。度量是将事物的属性量化，赋予一个数，从而可以在同一维度上比较事物。所以，角的度量就是让角在同一个度量体系中都能使任意一个角与一个数值相对应，强化了度量的本质。这也是符合测度论的基本要义的。

学生在量角时总是会遇到障碍，是因为他们对于量角器这个工具和角之间的联通出现了“沟通信号障碍”；不明白“角的顶点和量角器的中心重合，一条边和0度刻度线重合，看另一条边所对应的刻度”这一操作背后的道理。当学生明白了量角就是要看度量的对象里包含了多少个度量单位，他们就会清楚地理解，重合的目的就是要在量角器上找到和所要度量的这个角大小相等的角，这样就可以得出角的度数。这是度量的本质，也是度量的精华，只有清楚地理解知识本质，才能联结认知结构，让思维有深刻度。

（二）从知识延伸处促进思维内化

角是一条射线由原来的位置绕着它的端点按逆时针方向旋转到另一位置所形成的。那么，把课上的60°的角的一条射线绕着顶点继续旋转，它还是角吗？如果是，它的大小该怎么度量呢？如此，直击学生对角的认知，叩问学生对量角器的使用。这样的角确实还是符合角的概念的，所以也是可以度量出它的大小的。那么，它的大小怎么度量？还需要再设计一把量角器吗？将这个重量级的问题抛给学生后，学生的思维立刻被激活了，围绕对知识本质的理解，其思维不断内化。这个角可以从角的概念本身出发，比180°大，所以可以在180°的基础上加上多的，也可以用我们身边的两把量角器拼起来使用。既然可以拼，那么我们是否可以创造一把360°的量角器呢，直接一步到位，量角做到“两重一看”。但是，不管是哪种方法，我们都看到了角的度量的本质，那就是包含了多少个1°角，这个角就是多少度，水到渠成地完成了结构性思维的内化，达到了高阶思维的训练力度，甚至还可以将课堂再推向更高的思维深度，那就是：“如果这条边再继续转，转到比360°的角都大，你还能知道它的大小吗？”抛给学生的将是无穷无尽的思考……但是，归根结底，在角的运动过程中所形成的大小不一的角，都是建立在角的基本概念之上的，度量的本质同样也是没变的。在沟通、联系中组建学生的知识结构，促进学生思维结构层次提升，思维能力有效发展，也让学生的结构化思维更完善。

三、串联结网——着眼知识整体的形成，扩充认知结构，让思维有立体度

“角的度量”这个知识点如汪洋中的一滴水，只有汇入大海，才能体现它的价值。货币的度量中，2个橘子1元，8个橘子里有4个2，也就是4个1元是4元；面积的度量中，长方形中包含了6个1平方厘米，它的面积就是6平方厘米；还有长度的度量、时间的度量、质量的度量、容量的度量……将角的度量“嵌入”度量的整体结构中，让我们感受到在度量的知识体系中，度量最根本的灵魂，那就是被测物体中包含了多少个单位，它就是多少。它细细深润，节节延伸，由此衍生出相应的测量工具。用这个工具去测被测物体，遵循的也是测度理论。

在结构化的度量知识体系中，学生在拾级而上地学习，知识如砌砖式地往上叠加，有一维空间的长度，有二维空间的面积，有空间的，有时间的……学生对度量的认知结构越来越扩充，串联成了网，形成了度量的知识板块。这种动态衍生的过程让学生的思维更有立体感，达到了SOLO理论中所提及的关联结构。

同时，这个过程，也让学生对度量有了更系统、更立体的认识，原来角的度量和长度测量、面积测量等，有着共同的地方。度量，在数学上就是一个个单位量累积的过程，它们都是由单位标准来测量的。基于“测量”背景，将“测量”的本质属性作为知识结构的脉络根基，重组成一个高阶结构，由脉络根基将“量”相互牵引，形成一个统一的结构，正是这种结构的编织与显性化，让学生的数学技能有进阶的迁移。随着学习的推进，学生还要学会体积的测量，以及别的量的测量。当学生能感悟到测量本质时，那么，对于今后的任何测量，学生都会从这里寻找到知识的根，由根生花，更好地扩充认知结构，让思维更立体。

学习是为了更好地学习，学习了一个知识点，将新知纳入更为宽广的背景中，横向联系，多角度建构，通过这个知识点延伸出一类知识面的学习，在每次学习中的单个知识点的线性学习收获都是后续新知学习的脉络牵引，认清知识本质之间的内在联系，形成网状知识结构，让数学知识呈螺旋上升状，更是要触及学生思维深处，训练学生的高阶思维、深度思维。所以，学习知识按照点→线→面→体的方式，将数学学习中的知识、思维和策略进行正态关联和融通，让学生感受立体的结构化教学。结构化教学立足“类”的建构，把握数学知识之间的整体结构，要观照“联”的统整，体现数学教学中的元素关联和方法关联，要聚焦“变”的实施，在变与不变的辨析中理解知识的本质内涵，主动建构知识，形成结构，继而培育学生的结构性思维，让学生的学习力生根、发芽、生长，在不断积累、层级进阶的学习活动中感悟结构、理解结构、重建结构，经历从量变到质变的过程。