GeoGebra在高中数学教学中的应用——以棱柱、棱锥与棱台的表面积为例

田 琳

(哈尔滨师范大学教师教育学院，黑龙江哈尔滨，150000)

1 问题提出

《普通高中数学课程标准(2017)》特别提及教育信息化：“信息技术是学生学习与教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流、人机交流搭建了平台，为学习和教学提供了丰富的资源.因此，教师应重视信息技术的运用，优化课堂教学，转变教学与学习的方式.”高中数学因其抽象和晦涩，经常成为学生学习的弱点与痛点.其中，立体几何部分因为抽象化程度较高和对空间想象能力要求较高，更是成为了重要的失分点.GeoGebra作为一款兼具几何与代数功能的教学辅助软件，可以实现高中数学教学中所需的几何图形的动态变化、代数运算、随机模拟等功能.本文结合《棱柱、棱锥与棱台的表面积》的教学，谈谈如何借助GeoGebra的动态演示功能，帮助学生直观的感知立体几何的魅力，构建概念的认知体系.

2 教材的结构与内容安排

本节课是人教版必修第二册第八章第三节《简单几何体的表面积与体积》的第一课时.主要内容是棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其求法，以及一些简单组合体的表面积与体积求法.新课标指出立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科.立体几何教学中应运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等探索空间图形的性质，建立空间观念.

教材将侧面展开图作为简单几何体的表面积的切入点，通过分析侧面展开图得到了简单几何体的表面积公式，充分体现了立体问题平面化的解题策略，培养了学生直观想象和数学运算的核心素养.在简单几何体的体积教学的处理上，教材采取从特殊到一般的探究路径，从学生最熟悉的正方体与长方体的体积入手，得到了棱柱的体积公式，又通过棱柱、棱锥与棱台的关系进一步拓展延伸得到了棱锥与棱台的体积公式.采用由浅入深、由易到难的探究路径，按照直观感知—操作确认—推理论证—度量计算的逻辑展开，培养了学生逻辑推理和数学抽象的核心素养.

3 教学问题诊断

1.本节课教学的重点是棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积公式的推导，尽管在之前的学习中学生已经掌握了棱柱、棱锥以及棱台的结构特征，又从研究空间点、线、面之间的关系中掌握了“降维”与“转化”的思想方法，但是空间想象能力的不足和参差都将是学生学习本节课的阻碍.

2.以往的教学中，要么是教师直接灌输公式，要么是用几何画板来制作相对繁琐的课件，但在本节课中，借助Geogebra的3D功能只需要走几个指令就可以完成动画，并实现棱柱、棱锥和棱台的转换，直观的探究三者的关系，真正体会数与形的和谐统一.

4 教学策略

本节课主要分为两个模块，一是棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算、公式的探究以及应用.二是棱柱、棱锥、棱台的体积计算、公式的探究以及应用.教学方法上，以学生的自主探究为主，教师借助信息技术进行直观演示，对学生的探究过程及思路进行引导和补充.

5 教学过程

5.1 以旧拓新，引发悬念

用快递包装视频，创设问题情境，引导学生回忆表面积和展开图的定义，提出问题1.

问题1：在初中，我们已经学习过正方体和长方体的表面积和展开图，它们之间的关系是什么？

教师利用Geogebra展示正方体的展开图.引导学生发现正方体的展开图面积就是正方体的表面积.

探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，他们的平面展开图是什么？他们的表面积又应该如何计算呢？

设计意图：数学来源于生活，也将服务于生活.表面积的求解不是凭空产生的，而是为了解决实际需要而诞生的.让学生明白为什么学？引导学生通过复习回顾，发现展开图与表面积的关系，感受“空间问题平面化”的解题思维.

5.2 3D大片，凝聚精华

我们首先来研究一些特殊的多面体，侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，特别的，底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.

问题2：正棱柱的侧面展开图是什么样的？它的表面积应该如何求解？

教师用Geogebra演示正三棱柱的展开变化过程，发现正三棱柱的侧面展开图是矩形.

追问1：那么对于其他的正棱柱，他们的侧面展开图也是矩形吗？

追问2：直三棱柱的侧面展开图是什么形状，如何求解？

教师用Geogebra演示当边数变化时其他正棱柱的侧面展开图.发现正棱柱的侧面展开图均为矩形.矩形的长等于正棱柱底面周长c，矩形的宽等于正棱柱的高h.学生很容易得出直棱柱的侧面积S侧=ch.

师：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么这样的棱锥称为正棱锥.那么正棱锥的表面积如何求解？

问题3：正棱锥的侧面展开图是什么形状？如何求解它的侧面积？

教师借助Geogebra展示正六棱锥的侧面展开图.

问题4：正棱台的侧面展开图是什么样的，如何求解正棱台的侧面积.

设计意图：相比于棱锥、棱台，由于初中对长方体和正方体的研究，学生对于棱柱更为了解，接受起来也更加容易.再者，棱锥和棱台也可以由棱柱转化而来.学生在研究棱柱表面积的基础上，所以借助直观感受对棱锥和棱台进行合作探究以及自主探究，进一步应用降维和转化这两个研究立体几何的思维方法.

5.3 小试牛刀，学以致用

例1已知如图，四面体S-ABC的棱长均为a，求它的表面积.

例2已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积.

设计意图：通过两道题让学生明白求解棱柱、棱锥、棱台的侧面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题.在探究棱柱，棱锥，棱台的基础上，形成从空间问题到平面问题转化的思路，掌握求解表面积问题的一般方法.

5.4 总结归纳，有始有终

问题5：本节课我们学习了什么知识？在探究过程中我们应用了哪些数学思想？你能够从今天学习的知识中发现棱柱、棱锥与棱台之间的关系吗？

教师用Geogebra演示棱柱、棱锥与棱台的转化过程.学生通过直观感知，借助公式进行总结.在学生进行总结之后，教师借助Geogebra进行动画演示，加强学生对于公式的理解，同时为下节课棱柱、棱锥以及棱台的体积的探究进行铺垫.

6 教学反思

本节课的教学设计采用直观想象、操作确认的方式展开，借助类比归纳的思维方法,在GeoGebra的辅助下通过动态呈现侧面展开的过程，增强学生对展开图的面积即侧面积的认识，培养直观想象的核心素养，进一步感受“空间问题平面化”这种降维、转化的思想方法.利用GeoGebra的3D平台，通过滑动条的设置，为学生理解和掌握柱体、锥体和台体的侧面积公式的联系提供了便利，化“无形”为“有形”，从“数”与“形”的多重表征促进学生对知识的深度理解.