关于“相交线”教学的几点建议

骆建华

(江苏省如皋市白蒲镇初级中学，江苏如皋，226511)

“相交线”一节主要研究的是两条直线相交所形成的四个角的位置关系及数量关系.它是角的认知的进一步拓展，又是后面研究垂线、平行线、三角形、平行四边形等几何图形的基础，在教材中处于几何教学承上启下的重要节点上.因此，落实好这节课的教学，对学生的学段几何认知影响巨大.通过多年“相交线”教学过程的梳理，笔者发现，学生在认识“相交线”时，务必强化以下四方面的学习.

1 体会定义的双重性

我们知道，初中阶段的很多数学定义都具有“双重性”——既是概念的判定方法，也是新概念的性质.如“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，既可以依据“两组对边分别平行”来判定某个四边形是否为平行四边形，也可根据“某一四边形为平行四边形”得出“该四边形两组对边分别平行”的性质.对定义双重性的认识是学生进入初中后才开始的.而在“相交线”之前，教材少有涉及，“相交线”之后，则会大量涌现.所以这一节，我们应借助对顶角、邻补角的定义教学，使学生明白数学定义的“双重性”.

如教学对顶角时，我们应结合定义让学生明白，两边互为反向延长线的角叫做对顶角，还要让他们知道“对顶角的两边互为反向延线”.前者是用来判断两角是否为对顶角的(即对顶角的判定)，而后者则是对顶角所具有特征(也就是对顶角的性质).再如教学邻补角的定义时，我们不仅要让学生知道“具有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角”，还要让他们知道“两个邻补角的边一条是公共边，另一条互为反向延长线”.

这样的定义教学，不仅能让学生清晰地认识邻补角、对顶角，知道其所具有的位置特征，还能让他们积累数学定义学习的经验，对定义所具有的性质、判定的“双重性”有一个初步的认识，为以后其他数学定义的学习做铺垫.

2 明晰几何的研究内容

在人教版七年级上册《数学》中，第四章引言中明确：几何是研究图形的形状、大小和位置关系的一门学科.简而言之，我们几何学习要研究的是几何图形的位置关系和数量关系，这个“简而言之”是笔者在内的众多一线教师的理解.在第四章《几何图形初步》中，虽然对此学生已有所了解，但并没有完整的认知.教师应教的便是让学生明晰以下内容：线段的中点、角平分线等的认知，更多是从数量上的深度探索，而到了邻补角时，名称中就会有了位置和数量两种关系.邻，位置；补，数量.位置与数量较好地融到了“邻补角”的名称之中，而对顶角的教学，首先从形的角度给出了定义，定义中明确了两角的位置关系，随后利用“同角的补角相等”得到的“对顶角相等”，明确了对顶角的数量关系.在同一节课对两个相关数学概念的探求都是从几何研究的核心内容出发，这给予了我们让学生深刻认知几何学习内容的绝佳契机.课上，我们应抓住邻补角、对顶角的教学契机，在其定义与性质的深挖中，明晰几何研究的主要内容.

如，教学邻补角时，我们要引导学生从图1中发现∠AOC与∠AOD的位置特征：共OA边，∠AOC的边OC与∠AOD的边OD互为反向延长线.这就是两个角所具有的“邻”的位置关系.再通过平角的定义，使学生知道∠AOD+∠AOC=180°，这是两个角“补”的数量关系.对几何图形的位置关系和数量关系的明确还不能仅局限于邻补角.在接下来的对顶角学习中，得出对顶角定义后，我们应追问：从位置特征上，我们知道了∠AOC和∠BOD这对对顶角的关系，那么，根据研究邻补角的经验，我们还会研究这两个角的什么关系？在完成两个概念学习后，我们更要进一步明确：研究几何图形的位置关系和数量关系，是我们这一学段几何学习的核心内容.

图1

3 掌握概念(定理)的三种表示形式

初中阶段，学生获取的数学概念、定义定理及其它重要结论的呈现方式是多样的.其中，不少几何概念(定理)或几何问题会采取三种呈现形式：文字语言、图形语言和符号语言对于几何这个领域，这三种不同的呈现方式是学生理解几何图形，并用好几何图形的定义、性质和判定方法解决问题的重要抓手.所以，几何教学中，我们要特别重视用三种不同形式的语言描述同一几何图形及其相关结论的教学.

以“相交线”为例，呈现邻补角、对顶角不仅要给定图这样的图形语言，还要呈现诸如“一边为公共边，另一边互为反向延长线的两个角为邻补角”(文字语言)的邻补角定义描述，及“∠AOC与∠BOC互为邻补角，∠AOC+∠BOC=180°”(符号语言)的邻补角性质描述.类似地，关于对顶角，我们也应有与邻补角的这种类似表述方法：“两边互为反向延长线的角叫做对顶角”，“如图1，∠AOC与∠BOD互为对顶角，则∠AOC=∠BOD”(符号语言).如此教学，在这样几何开端课堂上，学生就学会用不同的方式表述同一几何图形的重要结论，为后续几何学习积累下宝贵的经验.

4 养成多角度认识几何图形的习惯

几何教学中，同一幅几何图形在不同的时段，学生会获得不同结论.因而，几何图形教学应因时因地而异.对一幅几何图形中可能蕴藏的结论的挖掘，会在不同的教学时点上从不同的角度挖掘出不同的深度.当一个新的图形出现时，我们应引导学生从不同的角度分析图形，为当下能得到的和未来可能生长出的结论埋下生长点，这样不仅保证几何图形认知的延续性，还培养了学生从多角度认识几何图形的习惯.

在“相交线”教学中，我们就应让学生逐步形成从不同角度认识同一几何图形的习惯，以图1为例，图中出现了“两线、四角”，除了常见的平角外，还出现了相“邻”的两角和相“对”的两角，一角两邻角、两角共两邻角等图形位置.这些角的新“格局”，给学生认识线的位置关系带来了很多可能.因而，认识图1所示的“两线四角”的角度也就要变成多维.这样我们既可以研究相邻或相对的两角的关系，也可以研究三个角甚至四个角之间的关系.另外在图形呈现出来后，绝不应直奔邻补角、对顶角而去，必要的提问“面对图1，你觉得我们会研究哪些角之间的关系”还是不可缺少的.学生给出∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠BOD等两角关系的作答固然可喜，但给出“∠AOC、∠BOC、∠COD三角关系”的作答则更为可贵.这是学生多角度认识同一几何图形的开始，是积累丰富的几何图形学习经验的开端，在后续学习中，只要我们持之以恒地多问几个“图中还有哪些数量关系和位置关系值得探索”“除了本节认知的性质或判定方法外，图形中还有其他的性质(判定方法)吗”之类的问题，让学生学会发散探索，同时也学会聚焦认知几何图形.

作为几何图形位置关系和数量关系深度探索的开端课堂，在知识教学的同时，培养学生认知几何图形的习惯，尽可能让学生体会到几何图形学习的基本套路应为最重要也是最核心的内容.“相交线”是学生认知从线到角的全面启动，我们有必要为学生今后的几何学习谋求一个有深度的开局.

本文呈现了“相交线”教学的几个重要方面，仅为个人的粗浅认识，权当引玉之砖，供各位同行专家参考.