让抽象的符号承载起数学思维的绽放

池红梅

［摘 要］符号意识是指能主动地去感知和理解符号，积极运用各类符号来帮助自己理解、表达、分析和解决问题，并且让这样一种能力内化为骨子里的意识。每一个数学符号都是人类智慧的结晶。让学生经历数学符号的再创造过程，让抽象的符号承载起意义的理解、规律的表达、文化的浸润，是培养学生符号意识的有效途径。

［关键词］符号意识；意义理解；规律表达；文化浸润

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2022）26-0004-04

数学符号具有准确性、抽象性、形式化等特征。常见的数学符号从作用上可分为元素符号、关系符号、运算符号、结合符号、性质符号、标识符号和单位符号七大类，每一个数学符号都经历了“萌芽创生—使用优化—推广应用”的发展过程。从某种程度上来讲，数学学习过程便是和数学符号打交道的过程。数学符号本身所具备的简洁性、代表性、准确性使其具有极大的推广性与实用性，但数学符号的高度抽象性与形式化的特征，也给学生的学习带来了困难。因此，只有让抽象的符号承载起数学思维的绽放，方能达到课程标准对学生符号意识的培养要求。

一、符号意识的内涵解读

符号，指代表事物的标记、记号，从广义上来看，声音、语言、文字、动作、图表、图画、图像等均属于符号的范畴。意识，即为觉察，如看见树枝发绿就意识到已经是春天了；又指人的头脑对客观物质世界的反映，是感觉、思维等各种心理过程的总和，其中的思维是人类特有的反映现实的高级形式。《义务教育数学课程标准（2011年版）》将符号意识解读为“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性”。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。由此可见，符号是一种静态的存在，记住符号本身并不是最重要的，最重要的是能主动地去感知和理解符号，积极运用各类符号来帮助理解、表达、分析和解决问题，并且让这样一种能力内化为骨子里的意识：不需要任何外界的提示，大脑便会主动运用符号去进行思维，就如人的潜意识一般。

生理学上有一个现象叫“肌肉记忆”，即人体的肌肉是具有记忆效应的，同一种动作重复多次之后，肌肉就会形成条件反射。由此说明，加强训练，不仅大脑，连肌肉也能形成记忆。当然，培养学生的符号意识并不是说要进行大量、机械的重复练习，相反，符号意识的形成并非一日之功，唯有持之以恒。

二、培养符号意识的教学实践

对于北师大版教材四年级上册第五单元“认识方程”中的“用字母表示数”，很多教师都认为这是培养学生符号意识的第一节课。其实不然，学生从学前教育开始，甚至从呱呱坠地开始，就已无意识地接受各种与数学符号有关的教育。因此，教师要从一年级开始强化学生符号意识的培养。

1.让符号承载起意义的理解

【案例1】从计数到记数，完成对抽象数字符号的意义建构

计数，即把数量数出来；记数，即把数出来的数表示出来。现在使用的阿拉伯数字0～9，便是将数出来的数表示出来，其数字符号本身并不具备相应的数量意义。比如数字3，和它所表示的数量3是没有任何关系的。在人类的记数发展中，先是采用刻痕、结绳等方式进行一一对应的实物记数，再用小棒、圆圈等进行半抽象记数，最后发展到用全抽象的符号记数。以教材图（如图1）为例，对于3个皮球，先是画3个圆圈表示，感受到自然数一个一个累加的属性，再约定俗成：凡是像这样具有3个属性的物体，都用符号“3”来表示，其他数字符号也是如此。也就是说，如果一开始，用符号“4”来记录数量3，那现在的数字3就是数字4的模样。抽象的数字符号，是人类在历史长河中通过优化而流传下来的约定俗成。

在教学这部分内容时，教师需要带领学生先深度理解一一对应的计数，再过渡到抽象的记数，最后形成符号意识：3个苹果、3筐苹果、3棵苹果树、3头牛、3座房子……不管物体的形状、大小、属性如何，均可以用符号“3”来表示，也就是它们的数量都是3。

【案例2】从数位到数值，完成对位值制的意义建构

学生经历了对0～9的数字符号的意义建构后，学习数字符号10，11……是一个记数意义的重要跨越，即位值制。北师大版教材一年级上册第七单元“加与减（二）”的第一课时为“古人计数”，教学内容为让学生认、读、写11～20各数。对此，部分教师理解不够，认为学生早就会认、读、写100以内的数，不明白为什么还要专门安排课时来学习。本课教学的核心目标是让学生认识到位值制的意义，像符号“10”，明明就是一个数字符号“1”和一个数字符号“0”的组合，怎么就能表示数量10的意义呢？同样的，11明明就是兩个数字符号“1”的组合，怎么就能表示数量11的意义呢？

“古人计数”（如图2）这一课是学生第一次正式学习个位、十位，也就是数位的相关知识。按照0～9的抽象记数法则，是不是每一个不同的数都要创造一个与之对应的抽象的数字符号呢？数的个数是无限多的，要创造无限多个数字符号来表示不同的数，只会极大地加重人类的记数与运算等负担，于是随着社会的发展，人类最终选择用位值制来作为通用的记数法则。本课的教学重点便是让学生认识到，不同的数字符号在不同的位置可以表示不同的意义及大小。“抽象的数字符号+不同的位置”是学生后续学习更大的数与更小的数（小数）的意义的根基。比如，在教学小数的意义时，为什么小数点的移动会改变小数的大小？其根本原因是小数点所处的位置不同，各个数字所在的数位便不同，其表示的大小与意义自然也就不同。

2.让符号承载起规律的表达

【案例3】“一下打一串”，促进代数思维的萌芽

在教学“20以内的加法”后，笔者团队设计了一节练习课“数学好玩之打地鼠——20以内的加法练习”，其中有这样一个情境（如图3）：

对于零星出现的几只地鼠，能说出地鼠所代表的算式和结果，便算作打地鼠成功。在学生熟悉游戏规则后，教师出示一串地鼠，问：“你能用一个算式，便打掉这一串地鼠吗？”学生通过观察，发现这一串地鼠对应的算式都是相同加数相加，于是给出了各种各样的答案：（）+（）、○+○、△+△、☆+☆……甚至有学生写出“A+A”的算式。在这里，教师当然不需要教学用字母表示数，但是学生已经能够初步意识到相同的符号可以代表相同的数，并且能用这样一个高度抽象的算式概括这一串算式，甚至还能超越表格，想到11+11、12+12、100+100……

教师出示一串地鼠（如图4-1），学生观察后发现地鼠所代表的算式的和都为12。哪如何用一个算式表示呢？学生能很快想到用符号来代替（如图4-2），找出这一组算式的算式之王——10+2与2+10，并发现其他算式看起来虽然不是10+2，但在计算的时候都能转化成10+2。最后，教师再给出几串有规律的地鼠，以对角线为对称轴形成对称图形（如图4-3）。这样，即使在一年级时不教学对称的含义，也可以让学生初步感受数学的对称之美。

本课用“怎样才能做到一下打一串”的任务驱动学生感受相同的符号可以代表相同的数，学生的代数思维由此萌芽了。本节课作为一节练习课，却通过这样游戏化的情境，达到了寓教于乐的教学目的。

3.让符号承载起文化的浸润

【案例4】除法竖式为什么与众不同？基于算理深化对运算符号的认识

“+、-、×、÷”作为现在常用的四种运算符号，也有着深厚的历史渊源：“+”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的；“-”号是从拉文“minus”（“减”的意思）演变而来的;“÷”的使用，可以追溯到1630年英国人约翰·比尔的著作，人们推测他是将阿拉伯人的除号“-”与比的记号“∶”合并转化而成的；18世纪，美国数学家欧德莱把“×”作为乘号，他认为“×”是“+”斜起来的另一种表示增加的符号。如此可见，每一个看似简单的数学符号都承载着深厚的数学文化。同理，对于加、减、乘、除的竖式计算，只有“÷”演变为了“[]”，这是为什么？对此，笔者团队设计了一节课——“除法竖式的变迁”，以帮助学生基于算理来认识与理解除法竖式里的符号变迁。

课前出示任务（如图5）：完成四道竖式计算，想一想，哪一道算式最特别，为什么？

绝大部分学生认为除法竖式最特别：一是书写格式不同，加、减、乘法都是从上往下计算并记录，而除法是先里后外，一会儿上一会儿下；二是除法的运算顺序不同，加、减、乘法都是从低位开始计算，而除法是从高位开始计算。正因为除法的与众不同，也因为除法的计算里还包括了乘法和减法的计算，因此在四种运算中，学生计算除法的出错率是最高的。如何更好地帮助学生基于算理的理解来提高除法运算的正确率？研究除法竖式里的符号变迁，是一条可行之路。

通过研究18世纪欧洲的除法竖式（如图6），学生就能感受到计算除法实际上就是在做减法，每次减去相同的减数；初步感知到，为了计算方便，就要先减去更多的部分，也就是为什么除法会从高位开始计算。正如我们在生活中进行估算时也是先从高位开始估。

如图7所示，通过观察“174÷6”的除法竖式的演变，学生感受到“÷”在竖式里演变成“[]”是为了更好地记录除法计算的过程；变的是记录的格式，不变的是除法就是减法的计算本质。而除法竖式与众不同之处，是除法竖式需要记录除法的5件事：分谁？怎么分？分了多少？分的结果是什么？還有剩吗？（如图8）

因为除法竖式需要记录5件事，所以才会有与众不同的记录方式。这节课面向四年级学生时就做到“除到有余数为止”；到了五年级的小数除法，就是将剩余的数细化计数单位后进行再分再减，基于算理的理解便将整数除法与小数除法打通了。

这样一节数学文化课，表面上是探究除法竖式中的符号变迁，实质却是基于算理的理解强化学生符号意识与运算能力的培养。

再看以上几个教学案例，每一个看似冰冷而抽象的数学符号，都经历了数学家与整个人类的火热思考。数学教学中，教师首先要了解每个数学符号的来龙去脉，再带领学生去经历数学符号的再创造，只有这样才能培养学生的符号意识。因为只有让每一个数学符号都绽放出数学思维的光芒，学生的符号意识才能根植于心。

（责编 金 铃）