“做”出来的数学有余声

王蒙

［摘 要］蝉鸣有余声，数学也有余声。数学的余声是用数学的经验去实现问题解决、探寻知识本源、追觅知识归宿。由扶到放，实现问题解决，这是做；由行到思，探寻知识本源，这是真做；从思生新，追觅知识归宿，这是产生新价值。

［关键词］做数学；数学实验；创新意识；数学余声

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2022）26-0093-03

笔者曾见过齐白石先生的《贝叶知了图》，一张纸上只在三分之一的部分画了一只抱叶而落的蝉，蝉的旁边写着“鸣蝉抱叶落，及地有余声”，整幅画有了声音一般。笔者仿佛看到一只蝉趴在高高的树梢上，一阵风过，蝉随叶落，叶随风飘，不仅有蝉的声音，还有落叶的声音，叶落后，蝉鸣仍在耳边回荡。

笔者一直思考：数学教学也应有余声，什么样的数学课能有余声呢？

陶行知先生说：“我们要在做上教，在做上学。拿做来教乃是真教，拿做来学方是实学。在劳力上劳心，一边做，一边想，必然产生新的价值。”数学课程标准也指出，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程。而数学实验恰恰是通过对素材进行数学化的操作（做数学）来教数学、学数学、用数学，帮助学生积累学习经验、提高实践能力、获得解决问题的方法、提升思维品质，说明“做”出来的数学确实有余声。

一、做：由扶到放，实现问题解决

由扶到放，是成长的途径。“扶”是指导，指导学生用最短的时间获得数学方法。“放”是模仿和尝试，让学生以数学方法为基础，积累活动经验，掌握知识技能。就如儿童学走路一样，需要由扶（家长耐心指导）到放（儿童模仿和尝试）。“做数学”也需要由扶到放，这与陶行知先生“把解决方法的手续程序安排停当，指导学生，使学生以最短的时间，经过相类的经验，发生相类的理想，自己将这个方法找出来，并解决其他问题”的思想不谋而合。

1.在指导中获得数学方法

正如陶行知先生说的“接知如接枝”，我们必须让从自己经验里生长出來的知识做根，这样别人相类的经验才能接上去。学生如果没有“做数学”的经验，不会动手实验，就无法获得数学方法，也不能解决其他问题，何谈数学的余声？所以教学中教师需要指导学生“做数学”。必须说明的是，这里的“指导”不是指教师完全的包办，而是指适时的演示与点拨。

例如，教学五年级上册“平行四边形的面积”时，教师用课件演示图形的转化过程，指出“借助平移将不规则的图形变成规则图形，这样的方法就是转化”。又如，教学苏教版教材三年级上册“轴对称图形”的折纸实验时，为了向学生说明“对折”，教师边折纸边讲解，指出“将一张纸的一半折过去，边对着边，就是对折”。

以上案例中，教师的指导不仅为学生动手实验提供了可能，还在演示和点拨中渗透了“转化”和“对称”的数学思想方法。

2.在模仿中积累活动经验

指导是“扶”，模仿就是“扶放结合”。指导为学生动手实践提供了标准和模板，照这种标准或模板学着做就是模仿。通过模仿，学生手脑协同参与数学实践活动，实现知识“再创造”。由此，学生会想问题，会做事情，在学习过程中实现教育目标，积累数学活动经验。

在教学“平行四边形的面积”相关的实验时，教师利用课件演示转化的思想方法，学生通过模仿进行动手实验，将平行四边形纸片转化为长方形，并通过交流总结平行四边形转化前后的共同点。

上述实验突出了两个层次的活动经验，一是每个学生都经历了将平行四边形转化为长方形的探索过程，积累了转化的经验；二是学生的交流总结为接下来的公式推导提供了经验和素材。

3.在尝试中掌握知识技能

“做数学”分为两种，一种是已经知晓数学知识，需要通过个体不断尝试实现自我构建，另一种更为开放，是不知晓数学知识，需要自身探索，在操作、观察、对比、推理等活动中不断尝试与调整。这两种“做”都以学生的尝试为重要基础，尝试的过程不需要教师过多指导，学生在动手实践、独立思考、合作交流的过程中掌握知识技能，解决实际问题。

在教学“三角形三边关系”时，学生先尝试从给出的4根小棒中任选3根，看能否围成一个三角形，并根据结果将小棒分类。接着，学生从小棒长度关系出发，尝试归纳不能围成三角形的原因及能围成三角形的规律。最后，学生重复实验，验证猜想。

学生在不断尝试中动手操作、观察、猜想、归纳、验证，经历知识生成、再创造和再发现的过程，掌握知识技能。

二、真做：由行到思，探寻知识本源

陶行知提出：“真正之做只是在劳力上劳心，用心以制力。在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，便可得事物之真理。”数学课程标准指出：“通过数学学习掌握基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。”学生获得的基础知识和基本技能对于世间无穷的真理来说，仍是有限的。要想有所提升，学生就需要学会思考，探寻知识的本源。数学学科是一棵枝繁叶茂的大树，数学的本源是数学学科生长的根本，能给予数学学科源源不断的养料。数学知识的本源在哪里？就在数学的基本原理、基本思想和基本结构中。抓住知识的本源，才能养好这棵大树。

1.在说理中明确数学原理

教育心理学家研究发现，低年级学生的有效学习往往从动作表征开始，通过操作积累感性认识。学生的言物表达可以有效促进自身的思考，通过说一说让学生的思考顺着正确的、积极的思维方向，能帮助学生从言物阶段逐渐过渡到言理阶段，培养学生用数学语言说数学的习惯，用语言进一步推动思维的发展。

教学算式“36-8”的计算原理，教师提问：“结果是不是28呢？你能用小棒来验证一下吗？”问题一出，学生思如泉涌，有的说：“先拿走6根，再从一捆10根中拿走2根，剩下2捆和8根，就是28根。”有的说：“从一捆里直接拿走8根，还剩2捆加2根与原来的6根，就是28根。”还有的说：“一捆是10根，与6根合起来有16根，从16根中拿走8根，还剩2捆和8根，最后也剩28根。”学生通过说理将新知转化为旧知，他们从数的本质上思考退位减并叙述退位减的算理，在算中说、说中悟、悟中明。

2.在提问中绽放数学思想

著名数学家弗利德曼说：“数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学学科就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的。”“好问题”驱动深度思维，精彩的问题都是学生真实的心声，是他们对问题强烈的思考。

教学习题“用6个5、6个0组成一个十二位数，最多读几个‘零’？”时，问题一出，学生眼睛盯着黑板，头脑在思考。有学生说：“最多读5个‘零’。”教师请这位学生到前面讲述自己的想法，只见他拿起粉笔在黑板上圈圈画画，写出505005050505，道：“0在5与5中间才读‘零’，连续两个0只读1个‘零’，因此，5与5之间尽量只放1个0，才能读出最多的‘零’。又因为最前面的数字不能为0，导致有连续两个0或0在亿级（万级、个级）末尾，而0在亿级（万级、个级）末尾不读，所以读5个‘零’。”随即，其他学生动手圈圈画画起来，得出“我发现用这个思路也可以解决4个6、4个0组成的八位数最多读几个‘零’”“4个0和其他4个非0的数组成八位数，最多读出3个‘零’”等发现。

课到此处，教师欣喜，这就是模型思想在圈圈画画中的悄然渗透。

3.在迁移中凸显数学结构

皮亚杰指出：“全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种结构始终是完全开放的。当数学实体从一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断改变，对这类实体进行的运演，反过来，又成为理论研究的对象。”结构是数学的基本特征，教数学结构这种“授之以渔”式的教学，抓住了数学知识的本源。

在“认识千米”一课的教学中，教师通过引导学生寻找数学结构，帮助学生理解知识间的联系。上课前5分钟，教师回顾学过的长度单位并归纳它们之间的进率，发现长度单位之间的进率都是10，随后引导学生想象：“如果继续下去，该是什么长度单位？”学生顺势迁移，提出十米、百米、千米等长度单位。教师板书并揭示：“这些长度单位在数学里都是存在的，只不过十米和百米用得不多，千米是国际通用长度单位。”

三、新价值：从思生新，追觅知识归宿

我们不仅要搞清楚“知识从哪儿来”，还要弄清楚“知识到哪儿去”，犹如修栈搭桥，确立了起点和终点，便可着手设计和规划，形成联系前后的知识研究路径。

笔者曾见过需要十人合抱的大树，它树叶繁茂，根茎发达。正如前文所述，数学学科就如一棵大树，要问对大树来说最重要的是什么，便是深扎泥土、不断生长。因此，笔者认为学习知识最重要的事是让知识成长得更好。如何才是成长得更好？枝繁叶茂式的举一反三、抽出新芽式的别出心裁、春风吹又生式的“新”益求“新”。

1.在自主中举一反三

孔子说：“举一隅不以三隅反，则不复也。”这里的“一”是自己的经验，知识从这里生长。当一个人的行为到达自主阶段，说明他已经获得需要的知识、技能，并能在劳力上劳心，能从这些经验中生长出其他知识，为创新做好准备。

在苏教版教材四年级下册“相遇问题”的例题教学中，教师没有直接评讲而是先让学生自主画线段图，通过展示学生的作品明确画线段图需要增加“时间”这个条件，并通过交流讨论得出线段图的正确画法。例题的学习基于学生的经验，成为那个“一”，而课本中设计的“试一试”“练一练”则是新知的“反三”，学生很快就厘清思路，确定了解题方法。一节课下来，学生动手的时间居多，教师只是在旁引导，学生通过举一反三弄懂一类问题，学生学得开心，教师教得也舒服。

2.在联想中别出心裁

数学学习中，学生的思维如果长期处于碎片化状态，学习负担就会加重，甚至会逐渐丧失学习的自信和自主发展的能力。教师需要适时的推想，从点状知识出发，联系相似的知识，打破思维定式，实现由点及线、由线到面的思维建构，为创新打开一扇窗。

如在用数对确定位置的练习教学中，学习了“数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行”后，学生联想：“第一个数字与第二个数字相同的数对具有怎样的特征？”于是教师给出数对（1，1）、（2，2）、（3，3）等，让这些位置的学生站起来。大家发现，这些学生都在一条斜线上。随即，又有学生联想：“数对中两个数字之和相同的一组数对又有怎样的特征？”教师抓住契机，让在（2，9）、（3，8）、（4，7）、（5，6）这些位置上的学生站起来。大家发现，这些学生也是在同一条斜线上。教师不由得在想：今后他们学习一次函数时会联想到今天的学习经验的。

在这一过程中，基于行与列分别相同的数对的特点进行联想，学生的思维得以发散，打开函数思想的新世界，为学生的创造学习打开了一扇窗。

3.在创造中“新”益求“新”

数学源于生活而又用于生活，要使学生在面对数学问题时能自觉运用数学知识，教师就要以课堂教学为契机，根据学生的能力水平，引导学生从参与者变为设计者。学生在自我设计中加深对数学的理解，这种设计的思维是生生不息的，能源源不断地产生新的东西，让学生实现自我超越和自我顿悟，培养创新能力。

如在“多边形内角和”的教学中，教师基于课题引导学生回忆学习过的图形，如三角形、四边形等，着眼于已经学习过的三角形内角和，提出问题：“要知道任意一个多边形的内角和，有什么好办法？”学生独立思考后，设计出研究思路：从特殊的图形开始研究，看看有什么规律，再用这一规律解决问题。从简单图形入手探索规律，是从特殊到一般的研究思路，是学生创造意识的体现。

“做数学”不但要做，还要做好。怎样做才叫好？一边行一边想就会越做越好，这样的做是真做。“真做”源源不断，思想就会生生不息。生生不息的“思”催生思维上的顿悟，必定产生新价值，这种新价值也是源源不断，生生不息的。“做”出来的数学不仅教会学生显性的基础知识和基本技能，还让学生获得“带得走”的数学思想和创新意识。做上行，行上思，思出新，做出来的数学有余声。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 周德藩.走近陶行知[M]. 北京：高等教育出版社， 2010.

[2] 林碧英.多层面说理：运算教学的新常态[J].小学数学教师，2020（06）：67-69.

[3] 周卫东.有“核仁”的数学课[J].小学数学教师，2020（06）：39-40.

[4] 吴静.数学实验：增强学生的創新意识[J].小学数学教育，2017（24）：37-38.

（责编 杨偲培）