经历数学抽象 发展数学眼光——以“三角形的分类”为例谈抽象思想教学

□陈璐

数学源于对现实世界的抽象，抽象思想是数学知识产生和发展所依赖的基本思想。从许多事物中舍弃个别的、非本质的属性，得到共同的、本质属性的思维过程，即为抽象，一般都表现为“分离—提纯—简略”的环节。在数学抽象的过程中，蕴含着分类思想、集合思想、符号表示思想、变中有不变思想、有限与无限思想等，它们都是由抽象思想演变、派生、发展出来的。“会用数学的眼光观察现实世界”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的义务教育阶段的数学核心素养之一，抽象思想所发展的核心素养即“数学眼光”。小学阶段所学习的数学内容是最基础、最本质的内容，小学生的思维方式以形象直观为主，通过抽象思想的教学，有利于学生逐步养成用数学的眼光观察现实世界的意识与习惯，从而“形成对数学的好奇心与想象力，主动参与数学探究活动，发展创新意识”。本文将以“三角形的分类”教学内容为例，探讨如何在教学中让学生经历数学抽象，发展数学眼光。

一、“慧眼”辨异同，由表及里

抽象必须关注研究对象的共性，还必须关注研究对象与其他事物的差异。共性和差异是抽象的结果，是抽象的具体体现。把握共性、明晰差异需要具备一双独到的“慧眼”，由此才能将所要研究的对象从总体中“分离”出来。因此，要达成学生对数学的逐步抽象，应在教学中融入分类思想，通过对研究对象的观察与分析，“分”出数学要素，“析”出数学意义，做到“分而治之、各个击破、综合归纳”。

（一）同中寻异，明确分类标准

分类的根本目的在于研究事物的属性，揭示事物之间的规律性和内在联系。对差异大的东西进行分类比较容易，而对差异小的东西进行分类则比较困难。如分辨三角形和四边形比较容易，只需根据边数的多少制订标准即可。比较而言，对三角形进行分类就不那么容易，因为被研究对象间具有较多共同特点，差异较小。“三角形是由三条线段围成的图形”是学生已有的知识经验，对于三角形边、角、顶点的属性，学生往往只关注它们数量的多少，忽略其本质的区别。教学中，可先出示一组三角形让学生明确分类的对象，再以问题“同样都是三角形，还能接着分吗”引发学生的认知冲突，从而排除图形间的共性，将眼光聚焦于“个”与“个”之间的差异——虽然都是三角形，但它们内角的大小和边的长短不同。学生通过同中寻异、由表及里的观察比较，可更好地确定分类的标准。

（二）异中求同，感知各类特征

当学生通过观察与操作对所提供的三角形按照“三个内角的特点”进行分类后，教师引导学生通过分析、比较，初步抽象出每一类的共同点。但此时若直接揭示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的概念，学生的认知是不完善的，获得的分类经验也是“残缺”的。因为现实中的三角形不计其数，仅是对其中几个进行分类，难免“以偏概全”，缺乏说服力。教师可启发学生进一步思考：三角形中除了“三个角都是锐角、一个直角和两个锐角、一个钝角和两个锐角”这三类以外，是否还有第四类、第五类、第六类……引导学生再次将眼光聚焦到分类对象上，通过组合列举、画图验证、推理排除等方法主动寻求解决问题的思路，解除心中的疑虑，进而对分出的“类”形成更深刻的感知。

通过上述教学，学生不但经历了分类的全过程，积累了分类时应注意“标准统一、不重复、不遗漏”的经验，还体会了数学知识的逻辑性和严谨性，产生了独立思考、敢于质疑的创新意识，发展了数学眼光。

二、“另眼”析本质，由浅入深

“与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质。”将所要研究的对象从诸多的事物中分离出来形成集合，对集合以及集合中的元素进行命名，这是对研究对象进行“提纯”的过程，也是抽象过程中最关键的一步。数学世界是一个符号化的世界，数学概念和数学符号都是重要的数学语言。教师应对数学语言“另眼相看”，深入追溯其背后的“根”与“源”，通过对研究对象及其关系的揭露，帮助学生由感性具体上升到理性本质，建立结构化的认知系统。

（一）以“命名”促理解，形成符号意识

“三角形的分类”的教学内容所涉及的概念较多，要达成对各个概念的真正理解较为不易。正如卡西尔所言：“命名行为是不可或缺的首要步骤和条件。”数学概念是一种抽象的概括，对于按角分得到的三类三角形，学生如果单从表面观察其内角特征的差异，所获得的感悟仅处于浅层。因此，在教学中可结合“为三角形取名字”的活动深入展开。如在揭示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的概念之后，应继续引导学生用联系的眼光比较三者的异同，从中发现：这三类三角形的共同点在于都有两个锐角，图形的名称与其最大的角有关，这也正是这三类三角形命名的依据。学生经历了三角形命名过程的分析与比较后思潮起伏，激动不已。原来数学家们是利用“特征命名法”为三角形命名的，让人一看到名称就能迅速联想起它的特征！这样的发现比单纯地告知更能触动学生的心灵。

同理，在揭示等腰三角形的概念之后，教师引导学生先将图形中的“腰”与生活中的“腰”建立联系，获得形象的体验；再结合图形动手比画出三角形的“腰”，直观感知等腰三角形的特征。而等边三角形作为等腰三角形中特殊的一类，在学生比较的过程中自然而然进行两者之间的沟通，明确两者之间的关系，在“思”与“动”中建立相应的表象。此时，再适时介绍等边三角形也叫作“正三角形”，学生主动将其与“正方形”的命名建立联系，感悟“正n边形”的命名特点，形成符号意识。

学生从“知其然”走向“知其所以然”，在对图形的命名中经历数学知识的抽象过程，达成对概念的深入理解，建立清晰的图形表象，在“辨”与“析”中感悟数学语言的“趣”与“妙”，发展了用联系的观点看问题的数学眼光。

（二）以“集合”建结构，发展几何直观

分类是使事物结构化的重要方式，事物的分类无时不渗透着集合思想。如把所有三角形看作一个集合，按角分得到的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形就是其中三个互不相交的子集；按边分得到的等腰三角形和等边三角形之间存在从属关系。用直观形象的集合语言表示概念与概念之间的关系，从对图形的研究深入到对图形之间关系的研究，有助于帮助学生厘清它们之间的逻辑关系，建立系统的知识结构，同时也发展了几何直观的意识与能力。教学时，可创设“给三角形找家”的情境开展以下活动。

1.观察与填充。教师出示空集合圈，让学生将三角形的名称写到相应的位置（如图1）。

图1

2.调换与辨析。教师调换集合圈中三角形的位置（如图2），让学生辨析是否可行。

图2

3.思考与交流。思考：“为什么第一个集合圈里的三类可以调换，第二个集合圈却不能调换？第二个集合圈中，最大的圈代表谁的‘家’？”

4.对比与感悟。两个集合圈所表示的其实就是两种不同的分类方式。第一种是比较常用的，分出的每一类都是并列关系。而第二种是包含关系，大圈里包含着小圈，突出了某一类的特殊性。借助分类，从不同的角度去分析，可以让学生对图形产生更深入、更全面的认识。

上述教学中，教师通过创设有趣的数学活动，将概念之间的内在关系借助集合图直观表示，结合集合图的填充与调换，启发学生进行思考，在观察与思考中把握问题的本质，明晰思维的路径，厘清各类三角形之间的逻辑关系。学生将二者进行直观对比，在辨析中进一步感悟三角形各子集之间的并列关系与包含关系，有助于提升学生从不同角度思考问题的意识，增进其思维的深刻性和灵活性。

三、“放眼”观万象，由繁到简

概念一般是从感性的经验中通过直观和抽象获得的，存在于我们的主观意识中，而不是看得见摸得着的客观存在。抽象的概念存在于具体的事物中，能够从众多纷繁复杂的个体中摆脱具体形象的约束，形成对研究结果的“简化表达”，以获得更高层次的抽象。因此，教学中要培养学生透过现象看本质的数学眼光，从千变万化中发现其中的不变，利用有限与无限的辩证思想解决问题，逐步“形成好奇心和想象力，提高学习数学的兴趣”。

（一）观察“变中有不变”，锤炼数学眼光

在学生建立各类三角形的表象后，教师将图形置于方格纸上（如图3），先让学生判断图中的三角形是什么三角形，再利用几何画板开展变式活动，将图中的A点沿着直线持续向右移动，思考所得到的是什么三角形。学生边用眼观察边动脑思考，随着A点向右移动，图形的形状在变，三个角的大小也随之发生变化：∠ACB越来越大，∠CAB和∠CBA越来越小。最大的角始终是钝角。学生自主经历“有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形”的概念的“简略”过程。将“变中有不变”的数学思想融入教学，能够增强学生辨析的能力，深化对概念本质的理解与应用。

图3

（二）想象“有限与无限”，开阔数学眼光

在开展上述活动之后，教师根据图3继续引导学生观察、想象、思考：将图中的A点沿着直线持续向左移动，所得到的是什么三角形？要想在图中得到等腰三角形和等边三角形，A点又该如何移动？

学生抛开具体的个例进行分析与判断，从有限的个体走向无限的可能，具备从现象中抓本质的眼光，聚焦图形要素的变与不变。综合分析各种情况可知，当A点向左移动还未到达B点的正上方时，得到的是锐角三角形；当A点在B点的正上方时，得到的是直角三角形；继续向左移动，得到的是钝角三角形。当A点在BC中点的正上方时，得到的是等腰三角形；此时再将A点继续从上往下移动，随着图形在变，等腰三角形的本质不变，当两腰的长度与底边相等时，就出现了等边三角形。

发展学生空间观念的核心在于想象。上述教学过程中，借助直观的观察与操作，从有限的信息展开无限的想象，图形的变化范围有限、形状无限，图形的个数无限、类别有限。学生立足于眼前所见，将抽象的概念构建于脑中自由转换，通过变中有不变锤炼数学眼力，在有限与无限中感悟数学的神奇与美妙。

小学阶段抽象思想的教学是引领学生从现实世界走向数学世界的重要途径。教师要合理把握抽象思想的实质，引导学生主动经历“分离、提纯、简略”等数学抽象的过程，由表及里、由浅入深、由繁到简，不断加深自身的感悟，让抽象思想在数学眼光中“熠熠生辉”，照亮学生核心素养的形成之路。