面积测量中值得重视的“知一求二”

□郜舒竹 吕港丽

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二学段的学段目标中新增加了“面积测量”的内容，指出学生的数学学习要“经历平面图形的周长和面积的测量过程”。什么是“测量过程”？按照德国哲学家、数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）的说法：“测量（Measurement）是与单位（Unit）的比较。”［1］如果确定了单位，也就是确定了“一”，那么测量过程就是“知一求几”的过程。小学数学第一学段课程内容中学生先接触长度测量，进入第二学段，长度测量“知一求二”的经验能否直接应用于面积测量？面积测量中的“知一求二”具有什么样的课程价值？

一、长度测量与面积测量的差异

“知一求几”实质是用数表达量的过程，数是抽象的，是与单位的比，任何数的意义都是由相应单位的意义决定的［2］。若要知道“2”的意义，首先要确定什么是“1”，如果“1”表示1厘米的长度，那么“2”就是这个长度的2倍，也就是2厘米的长度（如图1）。

图1 长度测量示意图

从直观上看，2厘米长度是1厘米长度“重复”2次得到的，这样的重复具有“重合（Superposition）”的意义，是以形状和长短都相同为前提的。任何1厘米长度的线段，形状和长短都是完全相同的，是可以通过运动实现空间意义的重合的，也就是说所有长度相等的直线段都是“全等”的［3］。因此长度测量的过程与“数（shǔ）数（shù）”过程类似，确定了“一”作为单位，重复几次“一”就可以得到“几”，长度测量中“知一求几”的过程就是对“一”重复“几”次的过程。

将这样的经验用于面积测量，如果确定“1平方厘米”为单位，那么“2平方厘米”自然应当是将“1平方厘米”重复2次。人教版三年级下册教科书对面积单位定义为：“边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米。”按照这一定义，“2平方厘米”就应当是“边长1厘米的正方形”重复2次（如图2）。

图2 “2平方厘米”示意图

这样“知一求二”的过程与长度测量的过程基本一致，沿着正方形一条边长的方向重复，得到面积为2平方厘米的图形是长方形，并非是正方形，与我国古时“迈步定亩”的面积测量过程是类似的［4］，沿用了一维线段长度的测量过程。

二维平面图形面积测量的一个基本问题是边的长度与面积的关系，对于正方形直觉上可以感知边长与面积“此起彼增”的协变关系［5］，即“如果边长增加或减少，那么面积随之增加或减少”；反过来同样有“如果面积增加或减少，那么边长随之增加或减少”。人们对这样“此起彼增”的协变关系，最为熟悉的应当是日常经验中经常出现的“线性”关系或“正比例”关系［6］，比如从“1瓶水售价1元”，自然推理出“2瓶水售价2元”，“瓶”与“元”之间自然地建立了数值的对等关系。如果将此类经验应用于正方形边长与面积的关系，会出现如下的误解。

误解1：因为边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，所以边长2厘米的正方形，面积是2平方厘米。

在北京一所小学，对已经学过“面积”的四年级学生进行测试，发现近一半的学生存在这样的误解。测试题目仿照教科书中1平方厘米的定义，如图3。

图3 学生误解示意图

全班32名学生中，有15名学生画出了边长为2厘米的正方形（如图3），显示出学生对于面积测量经验的不足，同时反映出教科书中有关面积测量活动的缺失。

更进一步，日常经验中还经常会出现“同倍增减”的线性关系，比如“如果1瓶牛奶4元，那么2瓶牛奶8元”“1双筷子2根，2双筷子4根”。两个量的协变关系符合“同倍增减”的规律。基于这样的经验，还会出现如下两个误解。

误解2：如果正方形边长扩大2倍，那么面积也扩大2倍。

误解3：如果正方形面积扩大2倍，那么边长也扩大2倍。

因此可以说，面积测量与长度测量的认知过程存在差异，长度测量过程中的“知一求二”是简单的重复，而面积测量相对复杂。仅从正方形来看，边长与面积之间的关系并非是“同倍增减”的线性关系，因此长度测量的经验不能够直接应用于面积测量。关于此内容早在古希腊时期伟大的哲学家柏拉图（Plato，前427—前347）所著的《美诺篇》（Meno）中就有记载。

二、《美诺篇》中的对话

《美诺篇》记载的是柏拉图的老师苏格拉底（Socrates，约前470—前399）与美诺及其小童奴的对话，主要探讨“美德（Virtue）”是否可教的问题。苏格拉底认为人的知识是与生俱来的，是潜藏在人的灵魂之中的，学习的过程实质是“唤回（Recollection）”的过程，因此教的过程不是告知和解释，而是询问，通过问题唤起回忆的发生［7］，这样的回忆未必是正确的，也包括错误以及对错误的更正过程。为了证明这一观点，苏格拉底与美诺的小童奴进行了关于正方形边长与面积关系的对话。小童奴并没有学习数学的经历，整个对话过程的核心问题是面积测量过程中的“知一求二”［8］。

●如果已知一个正方形面积，如何画出一个新的正方形，面积是原正方形面积的2倍？

苏格拉底最初出示的是边长2厘米的正方形，可以知道这个正方形的面积是2厘米与2厘米的乘积等于4平方厘米。当问及如果将4平方厘米加倍，得到面积为8平方厘米的正方形边长是多少时，小童奴脱口而出的答案是对边长2厘米加倍等于4厘米。这时苏格拉底并不给予否定，而是画出边长为4厘米的正方形，小童奴立刻发现边长加倍后得到的面积不是8平方厘米，而是16平方厘米（如图4）。

图4 边长加倍示意图

此时小童奴进入更正错误的思考，想到需要将边长适当减少，从4厘米调整为3厘米，苏格拉底随即画出边长为3厘米的正方形。

小童奴观察后发现，边长3厘米的正方形面积仍然不是8平方厘米，而是9平方厘米（如图5），此时就处于束手无策的窘态，无奈地说：“我真的不知道了。”

图5 边长减少示意图

以上对话实际是通过询问，唤起小童奴自身的经验，同时让他经历自我否定的过程。如果要将面积4平方厘米的正方形扩大2倍，变为面积为8平方厘米的正方形，将边长扩大2倍变为4厘米，就会使面积远远超过了预期的8平方厘米；适当减少边长，从4厘米减少为3厘米，仍然不能得到预期的8平方厘米。此时苏格拉底仍然坚持不告知答案，继续进行一系列的询问，小童奴运用自身的经验最终解决了问题。接下来的询问，是启发小童奴将眼光从正方形边长转向对角线。

画出正方形ABCD的一条对角线AC，将正方形ABCD等分为两个面积相等的三角形ABC和ADC（图6左）。而后以这条对角线为边长画出一个新的正方形（虚线），发现这个虚线正方形包含4个同样的三角形（图6右），因此小童奴立刻得到结论：

图6 正方形面积“知一求二”示意图

●以一个正方形对角线为边长的新正方形，面积为原正方形的2倍。

如果原正方形ABCD面积为1平方厘米，新正方形（虚线）面积就是2平方厘米。前面对话中原正方形面积为4平方厘米，这个以对角线为边长的新正方形的面积就是8平方厘米。

这里已经蕴含了勾股定理的知识：一个以等腰直角三角形斜边为边长的正方形，其面积是两个以直角边为边长的正方形的面积之和。这样的结论实际就是初中数学课程中部分勾股定理内容（等腰直角三角形两条直角边长度相等的特例，如图7）。

图7 勾股定理特例示意图

以上是从1倍到2倍“知一求二”的构造过程，也可以从大到小地构造两个正方形的2倍关系，即从2倍得到1倍的构造过程。首先画出一个正方形（实线），将每边上的“中点”连接起来得到一个小正方形（虚线），同样可以通过比较看出实线正方形面积是虚线正方形面积的2倍。如果实线正方形面积是2平方厘米，那么虚线正方形面积就是1平方厘米（如图8）。

图8 正方形面积“知二求一”示意图

苏格拉底之所以选择这样一个正方形面积与边长关系的问题，一个可能的原因是当时人们认为这是一个难以理解的问题，两个正方形面积是2倍关系，但边长并不是2倍关系，违背同倍增减的直觉认识。用现在的语言说，面积为2倍关系的两个正方形，其边长之比是介于1和2之间的一个无理数（），约等于1.414。

综上所述，面积测量与长度测量不同，长度测量的经验并不能直接迁移到面积测量的过程中。面积不同于长度，作为长度的“1厘米”与“2厘米”之间的关系具有确定性，从直观上容易感知。但作为面积的1平方厘米与2平方厘米的关系具有复杂性，仅依赖直观难以感知，具有“反直觉”的特征［9］，正是这样的复杂性和反直觉特征，使得这一内容具有了使学生思维发生“概念转变（Conceptual Change）”的课程价值。

三、概念转变

正方形的边长与面积是非线性的协变关系，对这种非线性关系的认识是对长度测量经验的改变、拓展与提升，对学生来说可以实现思维中的“概念转变”［10］。瑞士心理学家皮亚杰（Jane Piaget，1896—1980）在对儿童面积概念认知规律研究中发现，当正方形的边长扩大2倍时，儿童会对面积变为4倍感到惊讶，但他们无法解释为什么，原因是他们还停留在“线性测量（Linear Measurement）”的认知水平［11］。

学生的认知应当始于经验，但不能停留在已有经验的水平，对已有经验的改变、拓展与提升应当成为课程与教学的目标。概念转变是以课程内容进化为基础的，面积测量至少在数的意义、运算的意义以及数形结合三个方面体现出数学课程内容的进化。

从数的意义看，探究1平方厘米与2平方厘米的关系，牵涉到正方形的边长与对角线长度的关系（比），这样的探究可以成为从有理数衍生出无理数（）的过程，正如从圆的周长与直径关系的探究，衍生出了无理数（π）。因此，可以说1平方厘米与2平方厘米的关系，是从有理数的认识拓展出无理数，使数的系统进化为实数的认知起点，同时也为勾股定理的发现奠定了基础，成为中学、小学数学课程内容的一个衔接点。在面积测量过程中，学生是从熟悉的同倍增减线性关系的认知，发展为非线性关系的认知，是认知能力的提升过程。用函数符号的语言说，线性关系可以用形如“y=ɑx”的一次函数表达，而正方形面积与边长的关系则要用形如“y=x2”的二次函数表达。这些都体现出学生数学眼光、数学思维和数学语言的改变、拓展与提升。

从运算的意义看，面积测量蕴含着代数运算的思维过程。用代数的眼光看，把面积单位分别记为：1平方米=1m2、1平方分米=1dm2、1平方厘米=1cm2。这时的“平方”具有代数运算的意义，可以用于面积单位之间的转化。比如“1m2”与“100dm2”可以通过运算进行相互转化：

1m2=1×（10dm）2

=1×102×dm2

=100dm2

类似于此的运算，也可以在面积计算中使用。如果长方形的长以厘米为单位，宽以毫米为单位（如图9），这时并不需要算术运算中的统一单位，可以直接应用“长×宽”进行面积计算。

图9 单位相异长方形示意图

长方形的长为3厘米，宽为8毫米，二者长度单位不同。算术运算的做法是先统一长度单位，比如将3cm变为30mm，而后计算出长方形面积等于240mm2。运用代数的眼光可以直接计算长方形面积，将3cm与8mm分别看作3×1cm与8×1mm，同时应用乘法运算的交换律与结合律。

3cm×8mm

=（3×1cm）×（8×1mm）

=（3×8）×（1cm×1mm）

=24×（10mm×1mm）

=24×10×（1mm×1mm）

=240mm2

有关代数运算的内容已经超出了小学数学课程内容的范围，无须在小学数学课程内容中呈现，但“平方”概念的多义特征应当给予适当的渗透，让学生体会“平方”一词所具有的多重意义［12］，为今后学习代数奠定基础。

从数形结合的角度看，算术或代数中算式之间的关系，可以通过图形面积之间的关系直观地显现出来。比如两个乘法算式“5×3”和“4×4”，前者可看作两条边长分别为“4+1”和“4-1”长方形的面积，后者可看作边长为4的正方形面积，二者相差1的关系“42-1=5×3”可以从图10明显看出。

图10 “5×3”与“4×4=42”关系示意图

这样的关系具有一般性，如果把其中的“4”改为具有一般意义的字母“ɑ”，这样的关系就成为代数中的恒等式：ɑ2-1=（ɑ+1）×（ɑ-1）。

小学数学中的计算教学重视算理和算法，追求结果的准确和计算的熟练，但对于算式之间关系的认知相对忽视。用数形结合的视角看，算式之间的关系往往表现为图形之间的关系。将图形认识与测量应用于探索算式之间的关系，对于沟通“数与代数”与“图形与几何”两个领域之间多角度的联系十分有益，是实现课程内容结构化的具体体现。

面积测量作为《义务教育数学课程标准（2022年版）》的新增内容，蕴含着丰富的课程价值。从课程内容的角度看，蕴含着二次函数、无理数、代数运算以及数形结合的内容；从学生概念转变的角度看，是学生从线性思维转变为非线性思维、从有理数进化为实数、从算术运算拓展为代数运算的过程。

面积测量中学生经历了发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，同时又经历“为什么不”这样证伪的思维过程。《美诺篇》中苏格拉底与小童奴的对话，表明让学生经历这样面积测量的过程是可行的。因此在教科书编修以及教学中，应当关注面积测量与长度测量的差异，对面积测量中“知一求二”探究活动设计给予足够的重视。