跳跃数列探究

华东师范大学第二附属中学(201203) 戴中元

单调性和周期性是数列的两个重要性质,但也有很多数列既不单调,也不是周期的,但它们也具有很好的规律,例如本文所要研究的“跳跃数列”,这种数列既具有一定的“单调性”,如我们可以知道连续三项之间的大小关系,又具有一定的“周期性”,如数列中的项可能在两个数附近来回跳跃.

定义数列{an}从第三项开始,每一项都位于前两项之间,我们称它为跳跃数列.

根据定义可知,若数列{an}是跳跃数列,那么对任意连续三项ai,ai+1,ai+2,均有(ai-ai+2)(ai+2-ai+1)＞0.

下面就以笔者于2020年上海市浦东新区第二次模拟考中所命的压轴题为蓝本来探讨各种“跳跃数列”所具有的有趣性质.

问题1判断下列两个数列是否是跳跃数列:

①等差数列: 1,2,3,4,5,···;

根据定义易知①等差数列: 1,2,3,4,5,···不是跳跃数列; 由于等差数列的公差d ＞0 时, 它是单调递增数列;d ＜0 时, 它是单调递减数列;d=0 时, 它是常数列, 所以等差数列不可能是跳跃数列.根据定义可知②等比数列:,···是跳跃数列.如果等比数列{an}是跳跃数列,那么

所以我们可以得到

命题1等比数列是跳跃数列的充要条件是公比q ∈(-1,0).

为更加直观地理解跳跃数列的变化情况, 我们利用蛛网图来表示{an}, 设an+1=f(an), 作函数f(x)和y=x的图像.先在y=x上取点A1(a1,a1), 过A1作平行于y轴的直线交f(x)的图像于B1(a1,a2), 再过B1作平行于x轴的直线交y=x于A2(a2,a2), 依次类推可得A2,B2,A3,B3,···,这样就可以得到数列{an}的蛛网图,这里An的横坐标和纵坐标即为an.通过蛛网图我们可以研究数列{an}的各种性质,例如单调性和周期性.

图1

图2

如图3 中f(x)=1-|2x-1|(x ∈[0,1],称为帐篷函数),可以看到A4与A1重合,所以{an}是周期为3的周期数列.

图3

从蛛网图可知,{an}是跳跃数列等价于An+2始终在An,An+1这两点间.如图4 中可知符合跳跃数列的等价条件.

图4

命题2已知{an}满足: 对任何正整数n, 均有an+1=(a1＞0).则数列{an}是跳跃数列的充分必要条件是0＜a1＜1.

证明(1)必要性: 若a1＞1,则{an}是单调递增数列,不是跳跃数列;若a1=1,{an}是常数列,不是跳跃数列.

(2)充分性: 下面用数学归纳法证明: 若0＜a1＜1,则对任何正整数n,均有a2n-1＜a2n+1＜a2n,a2n ＞a2n+2＞a2n+1成立.

(2.1)当n=1 时,a2==a1,a3==a2, 因为a2=1,所以a3==a1,所以a2＞a3＞a1,因为a2＞a3＞a1,所以3＜a4＜a2,所以n=1 命题成立.

(2.2)若n=k时,a2k-1＜a2k+1＜a2k,a2k ＞a2k+2＞a2k+1, 则aa2k ＜aa2k+2＜aa2k+1,所以a2k+1＜a2k+3＜a2k+2,aa2k+1＞aa2k+3＞aa2k+2,所以a2k+2＞a2k+4＞a2k+3,所以当n=k+1 时命题也成立.

根据数学归纳法, 可知命题成立, 数列满足(ai-ai+2)(ai+2-ai+1)＞0,故{an}是跳跃数列.

例如当a1=0.5 时,an+1=f(an),其中f(x)=0.5x,图5 表示的即为迭代过程A1(a1,a1)→B1(a1,a2)→A2(a2,a2)→B2(a2,a3)→A3(a3,a3)→B3(a3,a4)→···,其中A3在A1,A2之间,A4在A2,A3之间,A5在A3,A4之间,符合{an}是跳跃数列的等价条件.bn+1∈(-∞,-1)∪(2,+∞),若bn ∈(-∞,-1)∪(2,+∞),则bn+1∈(-1,2).

图5

图6

综上,b1∈(-∞,-1)∪(-1,1).其他分式线性递推数列也可类似讨论.

问题3跳跃数列{cn}满足对任意正整数n均有,求首项c1的取值范围.

解本题难点在于如何化简(cn+2-cn+1)(cn+2-cn),这里给出两种思路.

思路1(利用平方差公式)

在上例中如令c1=如图7 可见{cn}是跳跃数列, 并且始终在两个区间之间来回跳跃, 其中奇数项单调递减趋近于3, 而偶数项单调递增趋近于2,所以这里蛛网图不断地趋向于以(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)为顶点的正方形.这里2 和3 是f(x)的周期为2 的点, 即满足f(f(x))=x,也可把它称为f(x)的稳定点(不动点可以视作周期为1 的点),所以在这里这个跳跃数列的性质和周期性是紧密相连的.

图7