突出学科特征 重视理解应用 引导数学教学*——2022年新高考I卷数学试题评价

华南师范大学数学科学学院(510631) 苏洪雨 冯伟贞

1 试卷总体评价

2022年新高考数学I卷是第3 次文理不分科命题(2020年山东、海南省首先使用新高考I、II卷),试题在命题结构、题型、形式等方面逐步完善,无论是使用新教材的山东省,还是使用过渡教材的广东、福建、湖北、湖南等省市,也渐渐适应了新高考的考查方式.2022年的新高考数学I卷在《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(简称《课标2017》)和《深化新时代教育评价改革总体方案》的指导下,降低了在试题结构、题型、题设、表达等形式的复杂性,提高了对学生数学思维的考查,回归了数学简洁、抽象、严谨的本质,从教考衔接的角度,为基础教育的数学教学指明了方向.试题加强了对学生代数运算能力的考查,蕴含了丰富的数学分析思想,特别是微分思想、化归思想、符号与变元思想、对应思想、构造思想等.试题重视对学生直观想象素养的考查,多个题目利用图形描述、分析问题,建立形与数的联系,构建直观模型,探索解决问题的思路,尤其是在圆锥曲线、函数、立体几何等领域,凸显了解析几何的价值.试题强化了对推理证明的考查,让学生感受数学的理性精神,考查学生重视论据、有条理、合乎规则证明的思维品质.

1.1 淡化试题结构形式,注重数学思维本质

初看2022年新高考数学I卷试题,似有相识的感觉,试题的结构清晰,以单项选择、多项选择、填空和解答题构成,题型都是学生日常训练的形式;试题的题设和问题简洁明了,表达形式明确,学生能够快速理解题意,减少了数学阅读和理解的困难.从文字的数量来看,明显低于2020年的新高考I卷,并且在题型方面没有出现一题多空和结构不良的解答题.试题重视对学生数学思维的考查,增强了对思维的深刻性、灵活性、敏捷性等品质的考查,试题在考查基础知识、基本技能的同时,更加强调对于数学思想方法的理解与运用的考查.

试题主要从数学概念原理的理解、数学方法的使用、重要的数学思想、数学知识的关联、数学应用与创新等方面体现了数学本质考查.

首先,强调概念和原理的内涵,揭示数学知识形成的过程.例如,第5 题是古典概型,需要对试验的有限性和等可能性进行判断,即要回到古典概型的定义,进而进行计算;第17题,求等差数列的通项公式,即要回归等差数列的定义进行求解;再例如,第20 题第二小问证明等式成立,题目以学生比较不熟悉的证明题的形式出现,实质上考查的仍为条件概率的定义及计算.其次,数学方法的应用,例如第7 题可以使用构造的方法,通过求导分析函数的单调性进而求解;而向量法在立体几何中发挥着重要的作用;转化的方法在解三角形中也起着重要作用.第三,试题考查了多种数学思想,例如,数形结合的思想(第3、4、8、9、14、16、21 题)、函数与方程的思想(第10、22 题)、不等式思想(第18 题)、分类与整合的思想(第22 题)、转化与化归思想(第18、21 题)、或然与必然的思想(第20 题)等.数学知识的关联也是数学本质的重要体现,例如第8 题将四棱锥体积与导数相结合,第18 题将解三角形与不等式相结合,第22 题将函数与数列相关联.在应用问题和创新问题方面,是基于数学知识的应用,考查了学生对相关数学的本质理解和应用能力,例如第4 题和第20 题,学生需要从问题情境中识别出数学模型,应用相关数学知识解答.

特别地, 试题从数学本质的角度考查学生对于数学概念、原理和方法使用情况.例如第5 题考查古典概型的相关知识;第17 题考查学生等差数列的概念和裂项相消法求数列前项和的方法;第18 题考查学生三角函数诱导公式的使用能力及利用正弦定理进行边角互化的能力;第20 题考查概率统计中独立性检验与条件概率的核心概念等等.这些内容都属于比较基础性的问题,试题并不是简单的重复相关的知识,考查学生使用基本的数学技能的水平,二是从数学的本质出发,多层次、多角度考查学生对数学概念与原理的掌握情况,以考查数学本质为目标,考查学生对概念、原理的理解和方法的使用.

1.2 强调代数运算能力,体现数学分析思想

数学运算是是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.在2022年高考I卷中,函数、向量、复数、立体几何、解析几何、数列、概率统计等问题都蕴含着丰富的代数运算,充分考查了学生的数学运算素养.试题不仅对学生的运算提出了更高要求,而且蕴含了丰富的数学分析思想,例如微分思想、符号与变元思想、构造思想等,这些思想渗透于高中数学课程,例如微分思想在函数、导数、立体几何体积、概率统计等知识领域都有所体现与应用,而变元在方程、函数、数列、三角、解析几何等中更是常见,构造思想在解决函数、方程、解析几何、立体几何等问题中,也是重要的思想方法.

在多道试题中都要应用微分思想.例如单选题第7 题,是将初等数学中的函数性质与求导判断大小关系相结合;第8 题先得到正四棱锥体积的函数表达式,然后使用微分判断函数的单调性,再求最值;多选题的第10 题直接应用微分思想方法解决极值、零点、切线等问题;第12 题考查导函数与原函数的关系,也是微分思想的应用;填空题中的第15 题也也要进行求导,求出切线方程再讨论参数a的值;第22 题是导数应用的综合问题,知识点主要有导数、极值、最值、零点存在性定理.

符号与变元思想、对应思想、构造思想等也在试题中多处应用,这是从高观点思想方法的角度探讨初等数学问题解决,使学生对初等数学的本质,以及与高等数学之间的内在联系,有了更深刻的认识.

1.3 重视直观想象素养,突显几何解析价值

直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.

2022年的新高考I卷中,强调对学生直观想象素养的考查,例如在数学情境问题,第4 题南水北调水库体积问题,这就要需要学生能够想象出棱台的形状,研究其位置、形态中的数量关系,利用棱台的体积公式求解答案,这是将形和数结合的方法;在第8 题中,也是构建四棱锥的体积表达式,通过数的运算求解得到答案;在解答题的19 题中,学生既要能够从空间的角度理解三棱柱中各个几何元素的关系,同时也要从数量的角度对于体积、距离、二面角等进行分析,通过构建空间直角坐标系,通过向量运算,使用解析几何方法解决问题.

对于抛物线(第11 题)、直线与圆(第14 题)、椭圆(第16 题)、直线与双曲线(第21 题)四个问题更加体现了直观想象素养的考查,突显了解析几何的价值,这也是学生未来学习必备的数学基础.

实际上,在函数、三角、导数应用等问题解决中,也体现了数形结合的思想方法,考查学生的直观想象素养.

1.4 明确推理证明规则,感受数学理性精神

数学的特征之一就是严谨性,在具体内容方面就是按照一定的推理规则进行论证.这种推理论证既有合情推理的一面,例如归纳、猜想、类比;同时,数学的推理证明更多的是根据规则得到结论,符合逻辑演绎推理.2022年的试题在推理证明方面有所加强,体现了数学的严谨性特征,让学生领悟到数学理性精神.

在答题中,比以往增加了更多的证明题,注重对推理证明核心素养的考查.比如在第17 题数列问题中,从以往求解数列前项和变为证明一个关于前项和的不等式;在高考立体几何问题中,学生一般可以通过给出的简单垂直关系直接建系求解二面角的正弦值,而2022年新高考I卷第19 题需要学生结合边的关系、面面垂直、线面垂直、直三棱柱的性质证明三线两两垂直,才能建系;此外,第20 题概率统计问题的第(2)问需要学生证明一个关于条件概率的恒等式,对逻辑推理素养的要求较高; 最后, 在第22 题导数的应用问题中,待证结论包含了两个命题: (1)存在直线与曲线有三个交点;(2)横坐标成等差数列.而前者从图象直观上是比较明显的,但需要研究的代数运算进行严谨证明需要学生具有较高的逻辑推理素养.

2 试卷的设计

2022年新高考数学I卷在设计方面基本保持了适应性考试命题的方式,增加了一道开放性问题(第14 题);与2021年及以前的高考试题相比较,在试题的题型和结构方面都发生了一些改变,充分体现了新高考的命题思想和新课程的理念.在题型方面,保留多选题,删减了一题两空的填空题,而主观题考查的知识领域顺序不确定.在考查的主干知识点分布方面,也适当进行了调整,知识点的考查难度和关键能力的考查也有所变化.

2.1 题型变化

2.1.1 填空题

在此次考试的试题中,删减了一题两空的填空题.一题两空考生答对一个空便可以得到相应的分数,若为相关型多空填空题, 前一个空的设置还能为后一个空提供解答思路,在一定程度上提高考生的得分率;而删减该题型则要求考生完整解答题目,这说明新高考对考生的数学知识储备和数学能力的熟练运用提出了更高的要求.

2.1.2 解答题顺序有所调整

在2021年新高考I卷中, 六道解答题的顺序依次为数列、概率统计、三角、立体几何、解析几何、函数与导数; 在2022年适应性考试中,则是三角、立体几何、数列、概率统计、解析几何、函数与导数,即数列、概率统计、三角、立体几何四道大题的顺序有所调整.2022年新高考I卷六道大题的顺序也发生了较大的调整,顺序依次为数列、三角、立体几何、概率统计、解析几何、函数与导数.即三角、立体几何、概率统计这三道大题的顺序有所变动,而数列、解析几何、函数与导数的顺序相对固定.这说明新高考解答题顺序没有一个固定的顺次,相对灵活,旨在提醒考生不必过于关注解答题次序,而应该关注知识点和数学能力本身.

2.2 试卷结构

今年高考数学试题考查了高中数学的主干知识,函数与导数、数列、三角、立体几何、解析几何和概率统计等6 大知识板块的分值为135 分,占比90.0

从表1 可以看出,函数与导数、几何、三角、概率统计是此次考查的主干内容,分值在125 分左右.尤其在几何方面,解析几何和立体几何各占27 分,如果将解三角形也归入几何领域, 那么分值达到了66 分, 占比接近全卷的十分之三.与2021年高考试题相比较,函数与导数、立体几何的分量都有所增加,函数与导数在单项选择题、多项选择题、填空题以及简答题四种类型的题目都有所考查,题量分别为1、2、1、1,考查的内容包括比较函数值大小、函数的零点、极值与最值、切线方程、抽象函数的奇偶性及对称性等;立体几何在单项选择题、多项选择题以及解答题三种类型的题目中考查的数量分别为2、1、1,考查的内容包括几何体体积计算、多面体与球体内切外接问题、异面直线所成角、线面所成角、二面角、点到平面的距离,其中两道单项选择题都涉及到几何体体积的计算,第4 题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为素材,融合考查考生的空间想象能力、数学阅读理解能力,对数学运算、数学抽象等数学核心素养也提出了相应的要求,引导考生关注社会主义建设的伟大成果,增加社会责任感.

表1 2022年新高考数学I卷试卷考查内容与分值分布

3 学生答题情况分析

2022年的试题整体难度较大,填空和解答题的得分率不高,相比往年,填空题只有4.47 分,得分率只有0.22,难度超过近三年; 在解答题方面, 得分最高的是第18 题概率问题,但是比2021年的低了一半左右,高于2019、2020年的理科概率统计题;数列和三角的得分都比2021年的低,尤其是第17 题数列问题,比去年低了接近1 分;立体几何得分比2021年低了一半以上,仅有2 分左右;解析几何和导数的应用得分率都在0.13 左右,相对往年偏低,难度偏大.

单项选择题整体难度不大,前5 题比较简单,但是第4 题是一个情境问题,蕴含了数学文化和社会背景,考查了棱台的体积公式,对学生有一定挑战,第5 题中的“互质”概念常常出现在小学阶段,有的学生可能遗忘,总的来看,这5 道题相对比较基础,属于常规问题;第6 题也是常规的三角函数问题,但是运算量偏大;而第7 题的常规方法要进行构造函数、多次求导才能解答,对普通学生要求较高;第8 题则是立体几何的综合问题,并且考查函数、微分思想,或者使用基本不等式解答.

多项选择题难度与2021年的I卷类似, 但是在考查内容方面,倾向于几何和函数问题,对学生的直观想象、逻辑推理、数学运算素养等要求较高.

填空题的得分率仅有0.22 左右,难度偏大,标准差达到了4.31,说明学生在解答填空题的差异较大.其中0 分卷达到了40%,5 分卷35%左右,10 分的在22%左右;15 分的学生在3.22%左右;满分的学生仅仅0.11%.第13 题考查二项展开式,增加了一个分式,提高了计算难度;第14 题题干给出两个圆的方程,写出一条公切线方程.求两圆的公切线方程,需要先判断两圆的位置关系,需要一定的几何直观,是一道有限制范围的开放性试题;第15 题曲线方程含有参数,已知曲线存在两条过原点的切线,求参数,复杂程度较高.第16题是一道关于椭圆的综合问题,考查学生的直观想象和数学运算素养,先发现等边三角形,据此进行转化后,得到所求三角形周长为;再利用弦长、离心率和椭圆方程,得到的值.

解答题一共6 道,是学生熟悉的数列、三角、概率等问题,并没有出现看似“新颖”的问题,除了概率问题之外,其他题目的得分率都不算高,但是标准差都不大,说明学生没有太多差异.

第17 题考查数列通项公式和证明不等式,涉及到等差数列的定义、通项公式、通项与前n项和的关系、数列递推公式求通项等重要知识点.考查了函数与方程、分类讨论、特殊到一般的数学思想.题目条件等差数列,考查学生对等差数列这一数学概念理解能力,由于为等差数列,形式相对复杂, 学生不知道如何求{an}的通项公式.接近28%的学生得了0 分,30%左右的学生得分只有1-2 分,得到5 分的只有8%左右,但是得到6、7、8 分的都是0.5%左右,相反的得到9 分的人数反而达到1.5%,而满分的则有8.8%.这说明,许多学生由于第(1)问不能顺利解答,影响了第(2)问,但是如果学生能够解答第(1)问,就可以完整解答出该题.

第18 题是解三角形问题,不同于2021年的试题,这个题目完全不用借助图形,只是正弦定理的应用和三角恒等变换,综合考查了倍角公式,正弦定理,诱导公式,正弦和差化积公式,余弦和差化积公式,半角公式,基本不等式,简单函数的单调性等重要知识;也考查了等量代换,构造函数,化归思想,方程与函数思想.接近28%的学生得了0 分,20%左右的学生得了5 分,不到9%的学生得到6 分,得到10 分以上的人数仅有4%左右.

第19 题是以直三棱柱为载体,考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等位置关系,二面角,体积等基础知识.此题的得分率也仅有1.7%左右,是近几年得分率较低的立体几何问题.46.6%的学生得到了0 分,18.7%的学生仅得到1 分,2-7 分的各有3%到6%左右,得到10 分的有3%左右,满分的仅有1.4%.

第20 题基于现实生活情境,以图表文字题的方式呈现,文字较多,是解答题中阅读量最大的题目.考查了分类变量独立性检验的步骤及检验规则、条件概率公式(贝叶斯公式)、频率估计概率等知识点.概率统计试题第一次出现证明题,说明试题命题方式不拘一格.总体而言,此题难度不是很大,但是证明步骤繁琐,数据比较繁杂.25%的学生得到了4 分,0 分的有近18%,8%的学生得到5 分,6%的学生得到6 分,7-12 分比较均匀,在1%-3%之间.

第21 题考查了直线的斜率、直线与双曲线的位置关系、斜率和夹角的关系、正切的二倍角公式和三角形面积等知识点.考查了数形结合、转化与化归、方程(组)、整体和分类讨论等思想.第(2)问是直线和圆锥曲线位置关系中较常见的一个结论.此题的得分率也仅有1.2%,其中33%的学生得了0 分,得1 分得有20%,2 分的有23%左右,3 分的占14%左右,4 分占比是8%左右,5-12 分的逐步减少,人数都不是很多,满分的学生仅有不到10 人.

第22 题也是常见题目,查的知识点主要有导数、极值、最值、零点存在性定理,考查了理性思维以及运用定义和定理构造数学模型进行说理论证的关键能力.此题的得分率和第21 题类似,零分卷也在33%左右,得1 分的学生最多,达到了38%,2 分的占有6%,3 分的有4%,4 分的有8%,5 分的占到了10%左右,6 分以上的人数不到1%,其中满分的不超过5 人.

4 考生答卷典型错误分析

4.1 填空题典型错误及分析

第13 题错误: 28,84,-280,-56,56,,-28x2y6.

原因: 符号搞错,如28,84;组合数计算错误,如-280;只关注(x+y)8,如-56,56;结果不是数字,如;结果不是系数,如-28x2y6.

第14 题典型错误:y=-1, 4x+3y -5=0,24x-7y-25=0;x=1,3x+4y+5=0,3x-4y-5=0.

原因: 搞错x,y的位置, 如y=-1, 4x+3y -5=0,24x -7y -25=0; 方程的符号有错误, 如x=1,3x+4y+5=0, 3x -4y -5=0, 7x+24y -25=0,7x-24y+25=0.

第15 题典型错误: (-∞,-4]∪[0,+∞);x ＜-4 或x ＞0,(-∞,-4)∩(0,+∞);(-∞,0)∪(4,+∞),(-∞,4)∪(0,+∞),(-4,0),(0,+∞),(0,e).

原因: 开区间写成闭区间,如(-∞,-4]∪[0,+∞);表示错误,如x ＜-4 或x ＞0,(-∞,-4)∩(0,+∞);错误答案,如(-∞,0)∪(4,+∞),(-∞,4)∪(0,+∞),(-4,0),(0,+∞),(0,e).

第16 题典型错误: 12,14,16,18.

原因: 大致估个答案,如12,14,16,18.

4.2 数列问题典型错误及分析

第一类错误: 等差数列定义理解错误.

原因: 审题错误、概念理解错误或惯性思维,以为{an}是等差数列.

原因: 运算能力不足出错.

原因: 数列的书写规范表达不准确.

第二类错误: 通项与前n项和的关系.

错误1: 无法或表达错误an+1=Sn+1- an;an=Sn-a1.

原因: 不懂通项与前n项和的关系,凭记忆乱写.

原因: 正确运用关系,但运算能力不足或计算方法不对导致出错

第三类错误: 递推公式累乘法.

原因: 搞不清楚数列是特殊的函数,自变量与对应的项搞错.

第四类错误: 归纳猜想.

错误1: 计算a2=3,a3=6 错误;计算正确无法归纳或归纳错误.

原因: 累乘法出错,进行特殊计算猜想的结果.

第五类错误: 裂项相消.

原因: 分数变形错误.

第六类: 数列的项数.

原因: 书写不规范,数列的项数或形式出错.

第七类: 证明错误.

错误1: 把要证明的结论当做条件来使用.

原因: 逻辑严重错误,不懂分析法的原理与书写规范.

错误2: 当n →+∞,所以

原因: 逻辑推理错误,两者没有关联.

4.3 三角函数问题典型错误及分析

错误1: 不能正确写出倍角公式.

比如cos 2B=cos2B-1;cos 2B=2sin2B-1;cos 2B=1-2cos2B; 1+cos 2B=cos2B; 1+cos 2B=cos2B;sin 2B=2 sinB.

原因: 倍角公式记忆不牢,熟练度不够,尤其是cos 2B错误最多.

错误2: 不能正确运用诱导公式.比如cos(A+B)=

cosC;sin(A+B)=-sinC.

原因: 知识不熟练,尤其是cos(A+B)=cosC.

原因: 知识不熟练,理解不清晰.

错误4: 化简过程跳步严重, 比如没体现倍角公式和余弦和差化积公式, 直接化简出最简式.cosAcosB=sinB-sinAsinB ⇒sin

原因: 书写过程规范性问题,不能辨析关键步骤.

错误5: 第2 问不会运用正弦定理,实现边化角.比如只写了

原因: 看到边长的平方第1 意识是余弦定理,在正弦定理的训练中, 就重心都在或者这类化简上, 对于二次齐次式如或者这类的化简上较少.缺少多变量问题转变为单一变量问题的数学思想方法, 导致看到直接毫无头绪.

错误6: 书写格式错误较多,比如cos 2B=2 cosB2-1,cos 2B=C2-S2.

原因: 学生平时书写不够规范.

4.4 立体几何问题典型错误及分析

原因: 考生记错柱体和锥体的体积公式,导致错误.

错误2: 取BD的中点F, 连 结AF,CF, 则AF⊥BD,CF⊥BD.

原因: 空间想象能力欠缺, 忽略了AD≠BD, 导致错误.

错误3: 平面A1BC⊥平面ABB1A1,BC ⊂平面A1BC,所以BC⊥平面ABB1A1.

原因: 定理理解不够,乱用定理.

错误4: 以AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系.

原因: 空间想象能力欠缺,AB和AC并不垂直.

错误5: ∠ABA1是平面角A-BD-C的平面角的补角.

原因: 对二面角的概念不熟悉.

错误6: 设θ是二面角A - BD - C的平面角, 则

原因: 对二面角的概念不熟悉.

4.5 概率问题典型错误及分析

错误1:=0.008＞0.001.

原因: 抄错或记错公式, 不理解公式中符号a,b,c,d与2×2 列联表数据的对应关系,数字计算错误,不理解统计量与临界值比较的意义.

错误2: 独立性检验中无零假设,无结论或结论表达不完整,如: 只写出“有99%的把握”,而没有后续差异性判断文字.

原因: 不掌握独立性检验的基本步骤,部分学生只有结论.

错误3: 证明过程用列联表数据计算出等式左右两边的概率值等于同一个数6.

原因: 证明逻辑错误.用特殊证明一般,从证明等式出发推出恒等式.

原因: 不理解条件概率的定义,记错条件概率公式.

原因: 缺少关键步骤.如证明过程中无写出关于定义指标R的等式,证明过程缺少这一核心“桥梁”表达式.

错误6:

原因: 题意或对符号表达的事件理解偏差.题目明确要求“利用(i)的结果给出R的估计值”,但部分同学用定义或中间过程等式求出R的值,虽然结果相同,但这明显表现出学生并未理解题意,或未认真读题而产生过程的偏差.

错误7:

原因: 解答结果正确,但无过程或过程错误.计算概率可以用频率估计概率,但不能用频数估计概率,甚至部分学生认为P(A)=40+10=50.

错误8: 表达不够规范, 例如:PAB,nAB,

原因: 过程书写规范性不足,包括不将数据代入公式,或代入数据不计算出结果直接比较临界值,计算概率没有过程,符号书写不够规范,正确解答过程划“×”以后又用文字描述划“×”无效,等.

4.6 解析几何问题典型错误及分析

错误1: 不知道代入点A坐标,或不列方程,写一堆无用的东西.

原因: 曲线和方程关系理解不到位,不会表达自己已知或已会的知识.

错误2: 代入点A坐标,求不解或解错,等,或计算正确但最后曲线方程写错,

原因: 解分式方程的计算能力不足.

错误3: 直线方程与双曲线方程联立,整理后符号和系数错.

原因: 运算不仔细.

错误4: 斜率公式写错,1 写成2,2 写成1,x和y写错位置.

原因: 公式记忆出错,审题不仔细,时间紧.

错误5: 斜率相加后,通分(去分母)、消元、化简、整理等都有可能错.

原因: 运算能力不足,时间不够.

错误6: 错误: 角的正切值不会转化.

原因: 直观想象能力不够,夹角公式超出课本内容.

4.7 导数的应用问题典型错误及分析

第(1)问典型错误.

错误1: 规范性不足.

原因: 求极值时, 缺少单调性的论述.如: 直接令f′(x)=0 得x=lna, 接着默认f(x)的最小值为f(x)min=f(lna).又如: 当a ＜ex时,f(x)在(-∞,ex)单调递减.

错误2: 极值与极值点的概念混淆.

原因: 本题实际上要求f(x)min=g(x)min,即f(lna)=而学生求得两函数的极小值点分别为于是直接令,并试图从中解出a的值.

错误3: 论证不够严密.

原因: 由a-alna=1+lna,直接得到a=1,但缺乏对方程解的唯一性进行论述.

错误4: 不会解指数方程.

原因: 令f′(x)=ex -a=0 得x=x1,后续运算带着x1,最终无法解决问题.

错误6: 逻辑错误.

原因: 令a=1,直接展开做题.

第(2)问典型错误.

错误1: 依赖几何直观,缺乏代数运算.

原因: 学生直观得到f(x)与g(x)有交点x0,缺乏对x0的存在唯一性从代数运算的角度严格论证.

错误2: 缺乏解题目标,做无用的代数变形.

原因: 由b=ex1- x1=ex0- x0=x0-lnx0=x2-lnx2,反复移项最后得到x1+x2=2x0.事实上,若没得到x1=lnx0,x2=ex0是无法推出结论的,也就是说这些学生省略了不可或缺的推理步骤.

错误3: 逻辑欠严密.

原因: 由f(x1)=f(lnx0)直接得到x1=lnx0,缺乏对f(x)的单调性进行论述或讨论方程f(x)=b解的情况.

6 对中学教学的启示

6.1 加强代数思维,提高运算素养

根据2022年新高考I卷试题分析和学生答题情况分析可以发现,学生的数学运算能力是比较薄弱的,尤其是在代数运算方面,表现不够理想.这反映出学生的代数思维水平不高,需要进一步加强.代数思维不仅仅是使用字母表示数或者使用字母进行运算, 代数思维的运算过程是结构性的,侧重的是关系的符号化及其运算.代数思维是一种基于规则的符号运作的数学建模活动,其核心是一般化思想,工具是代数.代数是一种语言,它的内核、主线不是数字而是字母、符号,字母、符号充当媒介,参与运算、变换.并且,字母、符号的运算和变换所使用的是具有结构性、一般性的运算法则.在高中阶段,和代数思维相关的内容包括: 函数、三角函数、向量、数列、不等式.数学新课程更加注重模式、关系、函数,使用代数符号和数学模型表征数学问题情境,分析各种变化关系等.高中的代数内容依然是处在具体与抽象的过渡期,到了大学数学专业学习,高等代数和抽象代数研究的对象是代数系统的结构及相互间的关系和法则,对这些对象的研究抛开了其具体模型,以严密的逻辑推理形式考察各种代数系统,并逐层抽象.例如,在研究两个系统之间的同构关系时,常撇开具体的元素是什么,只要两个系统同构,就认为它们实质上是一个代数系统的两种不同表现形式,它们的对应元素是同一的,只不过是同一对象的两种表示法而已.这当然增加了数学学习的难度,尤其是运算的难度.因此,高中阶段,发展学生良好的代数思维,有助于学生的数学素养的提升.

高中的主要运算是在代数学习中发生的,代数的大概念包括: 数、运算方法和关系、性质、比例、等价、比较、变量、模式、关系和函数、方程和不等式.它们被界定为学习代数的核心思想,将对多种代数形式的理解、整合为互相关联的整体.代数思想和理解可以通过代数推理(技能方面)得到发展,它们的对应关系为: 等价——符号推理、数字推理;运算方法和性质——数量推理;性质、模式、关系和函数、变量、关系和函数——概括;方程和不等式——符号推理;比例——比例推理.

很多函数、几何问题都通过符号化转化为代数问题,最终依赖多项式(方程)的展开和整合的技术进行求解.由于代数符号的抽象运算是形式化的过程,其思考的过程完全脱离了几何意义,造成使用代数思维解决几何问题的一个重大缺陷: 产生的结论不直观.当然代数概念的形成是一个符号化且不断“压缩”的过程,这种逐级抽象的形式化、结构化、操作化过程使得代数方法在提炼抽象的一般规律上有着先天的优势.

提高学生的数学运算素养就需要发展学生的代数思维.通过揭示代数知识的基本理论和知识,让学生通过独立思考或者与他人讨论,养成思维的习惯.在课堂上,教师注意特殊与一般的关系,举例说明解读抽象的代数概念,让学生数学代数运算的过程;揭示代数思想的本质,让学生能够将知识前后联系,建立网络结构,促进代数思维发展.

6.2 注重动静结合,促进直观想象

初等数学研究以研究常量问题为主,但是向着变量思想进行演进.常量数学以算术、初等代数、初等几何和三角为主.它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象.运用常量数学可以有效地描述事物和现象相对稳定的状态.可是,对于描述运动和变化常量数学有一定的局限性.变量数学描述事物的运动和变化规律,以解析几何、微积分思想为主要的思想表现,研究的问题包括: 描述非匀速运动物体的轨迹;求变速运动物体的速度或路程;求曲线在任一点的切线;求变量的极值或最值;计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力等.这些问题通常使用高等数学、现代数学解决,但是其思想方法却逐步渗透到初等数学.

纵观近几年的高考数学问题,动点、动直线、几何变换等都成了考试的热点,切点、切线、极值、最值更是屡见不鲜.而2022年6 套高考数学试题,更加体现了对动态问题的考查,例如新高考I卷的第6、7、8、11、12、14、15、22 等,II卷的第8、9、14、15、16、21、22 等,全国甲卷理科的第11、14、16、20、21 等.这些动点动直线等问题需要学生从数学概念、定理、性质等本质出发,理解研究对象是运动变化、互相联系的,运动变化的观点与视角思考、把握事物的运动变化规律,寻求事物之间的联系.应将静止的图形看作是运动过程的瞬间或运动的结果,将常量看作是变量的特定情形.这也是直观想象素养的一种表现,建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.

注重数形结合,加强动静互助,从变量数学的角度研究初等数学,促进学生直观想象素养的发展,这是未来教学的重点.

6.3 熟悉论证规则,发展逻辑推理

数学的学习是一个思维的活动,其重要的特征之一就是逐步形成理性思维,理性思维的发展离不开规则学习,也就是学生要熟悉论证规则,发展逻辑推理素养.无论是数学运算还是几何论证,其实都蕴含着推理论证的过程,只不过运算的法则简洁易记,而函数、方程或者解析的问题涉及的逻辑论证更为复杂.当前,学生对于基本的推理论证能够较好的掌握,但是在复杂的代数运算和几何证明方面,反映出逻辑的混乱,规则的滥用.

学生在论证中出现的问题,主要是对推理论证规则不够熟练或者出现混淆,甚至遇到问题不知所措.这就要求学生养成良好的论证推理习惯,在概念的获得、定理的论证、代数运算的规则等方面,让学生能够从根本上理解知识发生发展的过程,在知识中建立逻辑结构,使得学生逐步形成逻辑推理素养.在问题解决中,能够依据推理规则进行论证,注重条件和结论之间的逻辑关系,不断提高理性思维的水平,形成前后连贯、有理有据的推理习惯,发展逻辑推理素养.

6.4 辨析随机现象,选择合适模型

从新课程的角度进行分析,概率统计的内容比以往有所增加,可见课程研制者对于概率统计的重视.概率统计主要是探索随机现象问题,研究随机现象的统计规律,构造相应的概率或统计模型.在探索研究具体随机现象的思路和方法、应用概率知识解决实际问题的过程中发展学生认识不确定现象的思维模式.新课程加强了概率与统计这两部分知识之间的联系,对于概率与统计有整体教学的倾向.

在以往的高考试题中,概率内容考查比重超过统计;新高考不再拘泥于固定的形式,并不总是考查数学期望,也不再侧重考查计算,对于结果进行判断、决策等考查也越来越丰富.试题的情境选择相对比较自然、合理,具有一定的代表性.

加强对概率统计的考查是时代发展的结果.在大数据时代,对于随机现象的定量分析,可以探索数据的规律,根据数据的概率或统计模型可以探索事物发展的趋势.因此,数据的运算固然是概率统计中必不可少的环节,但是根据结果进行判断、决策更加重要.这对于概率统计教学提出更高的要求,也就是要求学生能够理解随机思想和统计思想,并且能做出合理的判断和决策,这也就形成了数据分析素养.

6.5 掌握思想方法,增强数学理解

数学思想方法是培养学生数学核心素养的基础,无论是数学抽象、逻辑推理或者数据分析,都要达到较高层次的能力,这就是要掌握“换元、配方、待定系数、构造等”数学方法,从思维的层次理解数学.思维是人们对客观事物本质和规律的概括的反映,而实现对事物本质和规律的认识,从数学抽象的角度来分析,需要几何直观进行代数解析,这就是数形结合的思想;从数学思维的形式来看,包括演绎推理、归纳、类比等多种思想方法.

知识是学习的土壤,思想方法是数学的精髓,在数学教学中,通过讲授数学概念、定理、公式、解决问题等方式,让学生感受数学思想方法的魅力,体验思想方法的应用过程.在学生理解概念、定理、公式的基础上,领悟思想方法的本质,应用数学思想方法进行数学探究.在高中数学教学,要特别重视化归、数形结合、归纳、模型、构造、换元等重要的数学思想方法的教学,通过具体问题的研究,加强对学生解决问题的指导,引导学生探索常见的思想方法.教学要有渗透数学思想方法的意识,设计合理的数学思想方法教学目标,在教学实施的过程中使学生潜移默化地掌握思想方法,促进对数学的理解.

6.6 重视数学探究,拓宽解题视野

高考试题的解题方法策略多种多样,但是其数学本质不变,蕴含的数学思想方法也是常见的.对于学生来说,重要的是熟练掌握数学知识和技能, 运用数学思想方法解决问题,具备一定的数学素养.这就要求学生不仅要重复训练基础的知识和技能,或者记住定义、定理及性质,甚至二级结论,更要开展数学探究,经历数学的过程,理解数学本质,拓宽解题视野.

在高中课堂开展数学探究可以从四个方面加强.第一,注重问题情境的选择与设计.选择合适的情境,在设计过程中,考虑问题的类型: 封闭的还是开放的? 问题情境是数学的、个体的、生活的或是科学的.第二,探究方式的选择与组织.对于探究方式在课前要做好准备,课上要合理组织学生开展探究.第三, 探究过程中的启发引导.在问题探究过程中,主要活动对象是学生,教师是课堂的组织者和管理者,启发引导的形式可以灵活多变,但是不能喧宾夺主,不能将相关的结果或者探究方向告知学生,使学生失去了探究的欲望.第四, 探究总结评价的指导性.教师的归纳总结与评价, 对于学生的数学学习有着重要的指导作用,是带领学生梳理知识、提高技能,指引学生正确的数学思维,掌握数学思想方法的关键.

数学探究的目的是让学生体验数学过程,提高数学问题解决的能力,更重要的是理解数学本质,形成数学核心素养.同时,在探究中也要拓展学生的解题视野,在题目的形式方面可以更加开放,例如一题多解、一题多问、多题归一等,多一些条件、结论开放的问题,甚至可以是专题式的问题;在内容方面不要仅仅盯着高中的内容,从小学的基本问题到高中的拓展知识都要熟悉,尤其重视高观点的数学思想,例如分析、变元、解析等思想;在解题方法方面,注重化归、构造、换元、同构等方法的应用,善于联想,加强运算的优化,提高推理论证的能力.