对一道高考圆锥曲线试题的推广及证明

付宏祥

(甘肃省定西市安定区东方红中学 743000)

1 问题的提出

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点．

笔者在对该题探究中发现，问题可推广到圆锥曲线的椭圆与双曲线的一般情形，有如下结论：

2 结论的证明

2.1 结论1的证明

证明依题意有A(-a,0)，B(a,0)．

如图1，设直线x=ka与x轴交于点M．

图1

①当点P为点M时，点C，D分别与点B，A重合，此时，直线CD为x轴；

[(k+1)2m2b2+1]y2-2(k+1)mb2y=0．

所以点C的坐标为

同理，直线PB的方程为x=(k-1)may+a.

[(k-1)2m2b2+1]y2+2(k-1)mb2y=0．

所以点D的坐标为

(1)若直线CD的斜率不存在，则yC=-yD.

化简整理,得(k2-1)m2b2=1.

(2)若直线CD的斜率存在，则

故直线CD的方程为

化简整理,得

注(1)圆锥曲线中的椭圆为封闭曲线，直线PA,PB与椭圆一定存在两个交点，结合图象可知，当01时，存在条件(k2-1)m2b2=1，使得直线CD垂直于x轴；

(2)根据椭圆具有的对称性质，该结论在k<0且k≠-1时仍然成立，故将结论1可推广到k≠0，k≠±1的任意常数结论都成立；

(3)上述2020年全国Ⅰ卷理科21题为结论1在a=3，b=1，k=2的特殊情形．

2.2 结论2的证明

证明依题意有A(-a,0)，B(a,0)．

如图2，设直线x=ka与x轴交于点M．

图2

①当点P为点M时，点C，D分别与点B，A重合，此时，直线CD为x轴；

[(k+1)2m2b2-1]y2-2(k+1)mb2y=0．

所以点C的坐标为

同理，直线PB的方程为

x=(k-1)may+a.

[(k-1)2m2b2-1]y2+2(k-1)mb2y=0．

当(k-1)2m2b2-1=0时，直线PB与双曲线E仅有一个交点，不合题意；

当(k-1)2m2b2-1≠0时，解得

所以点D的坐标为

(1)若直线CD的斜率不存在，则yC=-yD.

化简整理,得(1-k2)m2b2=1.

(2)若直线CD的斜率存在，则

故直线CD的方程为

注(1)圆锥曲线中的双曲线为非封闭曲线，当(k-1)2m2b2-1=0时，直线PA，PB与双曲线的两条渐近线平行，除A，B外无另一交点，不符合题意；当(k-1)2m2b2-1≠0时，直线PA，PB与双曲线一定存在两个交点，结合图象可知，若01时，直线CD不可能垂直于x轴；

(2)根据双曲线具有的对称性质，该结论在k<0且k≠-1时，仍然成立，故亦可将结论2推广到k≠0，k≠±1的任意常数结论都成立．

3 结论的拓展

结论3，4与结论1，2的条件与结论对调，易于证明结论3，4，本文不再赘述．