挖掘真题背景 把握命题方向——对2011年浙江理数第21题和2021年全国甲卷第20题的一般性推广

沈海全

(浙江省绍兴市越州中学 312000)

2021年全国甲卷第20题解析几何中三切线问题的出现感觉耳目一新但又似曾相识，与2011年浙江理数第21题有类似的背景和解法，笔者对这两个问题进行了深度挖掘并作了一般性推广，为读者在教学研究中提供一种思路.

1 真题呈现

真题1(2011年浙江理数第21题)如图1所示，已知抛物线C1:x2=y，圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.

图1

(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；

(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A,B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.

真题2(2021年全国甲卷第20题)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l:x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切.

(1)求C，⊙M的方程；

(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.

2 试题解法

限于篇幅仅对真题2给出解法.

所以抛物线C的方程为y2=x.

因为⊙M与l相切，所以⊙M:(x-2)2+y2=1.

(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3).

(2)当A1，A2，A3都不是坐标原点时，直线A1A2的方程为x-(y1+y2)y+y1y2=0，

所以直线A2A3的方程为

令M(2,0)到直线A2A3的距离为d，则有

所以此时直线A2A3与⊙M相切.

综上，直线A2A3与⊙M相切.

3 一般性推广

两题均以抛物线上的任一动点向定圆作切线为背景，都可采用同构的思想来解决问题，但2021年全国甲卷第20题显得更为特殊，第三条交点弦仍与圆相切，引起了笔者的思考，现将结论推广到一般的抛物线和椭圆.

推广1已知A1为抛物线C:y2=2px(p>0)上的动点，过点A1作⊙M:(x-4p)2+y2=4p2的两条切线分别交抛物线C于A2，A3两点，证明：直线A2A3与⊙M相切.

联立直线A1A2与抛物线方程可得x=6p.

所以此时直线A2A3与⊙M相切.

(2)当A1，A2，A3都不是坐标原点时，设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，即x1≠x2≠x3，此时直线A1A2的方程为2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

由直线A1A2与圆相切可得

所以直线A2A3的方程为

令M(4p,0)到直线A2A3的距离为d，则有

此时直线A2A3与⊙M相切.

综上，直线A2A3与⊙M相切.

波利亚说：“要充分利用一般化、特殊化与类比在变更问题方面中的功能.通过对问题的观察、猜测、推广，体会数学发现的过程，提高创造性思维能力.”因此笔者并不满足于得到上述的推广，而是继续深入探索，利用类比的思想将结论进一步推广到椭圆，通过研究，发现椭圆也有如下完全类似的结论.

联立直线A1A2与椭圆方程,得

所以此时直线A2A3与⊙M相切.

(2)当A1，A2，A3都不是椭圆左、右顶点时，设A1(acosα,bsinα)，A2(acosβ,bsinβ)，A3(acosγ,bsinγ)，

整理,得

整理,得

(a+b)cosα(acosβ)+(a+b)sinα(bsinβ)+ab=0.

同理可得

(a+b)cosα(acosγ)+(a+b)sinα(bsinγ)+ab=0.

即A2(acosβ,bsinβ)，A3(acosγ,bsinγ)在直线(a+b)cosαx+(a+b)sinαy+ab=0上.

所以直线A2A3方程为

(a+b)cosαx+(a+b)sinαy+ab=0.

令O(0,0)到直线A2A3的距离为d，则有

此时直线A2A3与⊙M相切.

综上，直线A2A3与⊙M相切.

证明同推广2，限于篇幅不再赘述.

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：“数学教育承载着立德树人的根本任务，发展素质教育的功能，数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必须的数学知识、技能、思想和方法，提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展.”这对我们一线教师的专业水平提出了更高的要求，而深度研究高考真题，挖掘真题背景是提升教师专业素养、提高教学站位、准确把握教学方向的重要途径.