一类线性函数方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)的求解补注*
2022-10-31石勇国宋西泠罗小宇
中学数学 2022年9期
石勇国 宋西泠 罗小宇
(内江师范学院数学与信息科学学院 641100) (四川省资中县球溪高级中学 641208) (内江师范学院数学与信息科学学院 641100)
在各类高中数学竞赛中，常见的一类线性函数方程形如：
Af
(x
)+Bf
(φ
(x
))=g
(x
)，(1)
其中A
,B
为给定实数，f
是未知函数，g
为已知函数，φ
是迭代周期为n
的函数，这里的迭代周期是指存在最小的正整数n
，使得φ
自身复合n
次等于本身，即对于在定义域内任意的x
，有φ
(x
)≠x
(m
=1,2,…,n
-1)，φ
(x
)=x.
对于具有迭代周期性质的线性函数方程，在上世纪60年代左右，已有初步研究，代换法是求解该类函数方程的基本方法.
1987年，革燕芳讨论了迭代周期为2、用代换法求解方程(1)的过程.
1990年，李光芹利用归纳法对于φ
是迭代周期为n
的函数，得到了方程(1)的求解公式.
最近，周德春探究了A
=2且B
=1，φ
是迭代周期为2，3，4，5的线性分式函数(另外可参见文[6]与[7])时，方程(1)的求解公式以及相关例子.
上述研究都满足非奇异条件A
-B
≠0，而对于奇异情形A
-B
=0的方程(1)如何求解没有涉及.
本文重点探讨线性函数方程(1)在奇异情形A
-B
=0下的求解方法，并且给出实例，完整讨论了迭代周期为2的线性函数方程(1)的所有解.
1 非奇异情形下的解
例1
已知函数f
(x
)满足其中x
≠0，求f
(x
).
解
用代换x
，则有φ
(φ
(x
))=x
，且联立解得那么，对于更一般的函数方程(1)，是否存在f
(x
)的求解公式？下面，就求解线性函数方程的方法展开说明.
定理1
假设A
-B
≠0，φ
是迭代周期为2的函数，则方程(1)的解为(2)
证
由φ
(x
)=φ
(φ
(x
))=x
，以φ
(x
)代换x
，代入Af
(x
)+Bf
(φ
(x
))=g
(x
)，即Af
(φ
(x
))+Bf
(x
)=g
(φ
(x
)).
与方程(1)联立并化简得
A
f
(x
)-B
f
(x
)=Ag
(x
)-Bg
(φ
(x
)).
由于A
-B
≠0，因此在定理1中，若φ
(x
)是一个迭代周期为2的分式线性函数，则φ
必定具有如下形式证明从略，详见文[5]和文[7].
于是，方程(2)可以改写为一般地，当φ
(x
)为一个迭代周期为n
的函数，且A
+(-1)-1B
≠0时，归纳可得求解方法详见文[4].
以上所有求解方法都基于非奇异的必要条件A
-B
≠0.
然而，在奇异情形A
-B
=0下，以上定理都不再适用.
那么，又如何求奇异情形下方程(1)的解呢？2 奇异情形下的解
在方程(1)中，当A
-B
=0时，不妨假设A
=B
=1，或A
=1且B
=-1，并考虑最简单情形g
(x
)=0时方程(1)的解.
引理1
设φ
(x
)是迭代周期为2的函数，A
=B
=1，则线性函数方程f
(x
)+f
(φ
(x
))=0的解形如f
(x
)=h
(x
)-h
(φ
(x
))，其中h
为任意函数.
证明
因为f
(x
)=-f
(φ
(x
))，那么f
(φ
(x
))=-f
(x
)，由2f
(x
)=f
(x
)+f
(x
)=f
(x
)-f
(φ
(x
))，得令为任意函数，则有
f
(x
)=h
(x
)-h
(φ
(x
)).
引理2
设φ
(x
)是迭代周期为2的函数，A
=1且B
=-1，则线性函数方程f
(x
)-f
(φ
(x
))=0的解形如f
(x
)=h
(x
)+h
(φ
(x
))，h
为任意函数.
证明
因为f
(x
)=f
(φ
(x
))，那么f
(φ
(x
))=f
(x
)，由2f
(x
)=f
(x
)+f
(x
)=f
(x
)+f
(φ
(x
))，得令为任意函数，则有
f
(x
)=h
(x
)+h
(φ
(x
)).
例2
已知求该方程的解.
解
根据引理1，设h
(x
)为任意函数，则形如的函数均是解.
例3
已知求该方程的一般解.
解
根据引理2，设h
(x
)为任意函数，则形如的函数是一般解.
进一步地，讨论g
(x
)≠0时，方程(1)有解的必要条件，以及求解方法.
引理3
设φ
(x
)是迭代周期为2的函数，A
=B
=1，则f
(x
)+f
(φ
(x
))=g
(x
)有解的必要条件为g
(x
)=g
(φ
(x
))，且存在一个特解为证明
用φ
(x
)代换x
，得到新方程f
(φ
(x
))+f
(x
)=g
(φ
(x
))，而由原式f
(x
)+f
(φ
(x
))=g
(x
)，故g
(x
)=g
(φ
(x
)).
将代入原式，得
左边右边，故其是特解.
引理4
设φ
(x
)是迭代周期为2的函数，A
=1且B
=-1，则f
(x
)-f
(φ
(x
))=g
(x
)有解的必要条件为g
(x
)=-g
(φ
(x
))，且存在一个特解为证明
用φ
(x
)代换x
，得到新方程f
(φ
(x
))-f
(x
)=g
(φ
(x
))，又由原式f
(x
)-f
(φ
(x
))=g
(φ
(x
))，则g
(x
)=-g
(x
).
将代入原式，得
左边右边，故其是特解.
定理2
设φ
(x
)是迭代周期为2的函数，则函数方程f
(x
)+f
(φ
(x
))=g
(x
)的解形如为任意函数.
证明
因为f
(x
)=g
(x
)-f
(φ
(x
))，则有2f
(x
)=f
(x
)+f
(x
)=f
(x
)+g
(x
)-f
(φ
(x
))，即令为任意函数，则有
类似地，可以证明：
定理3
设φ
(x
)是迭代周期为2的函数，则函数方程f
(x
)-f
(φ
(x
))=g
(x
)的解形如为任意函数.
证明
因为f
(x
)=g
(x
)+f
(φ
(x
))，则有2f
(x
)=f
(x
)+f
(x
)=f
(x
)+g
(x
)+f
(φ
(x
))，即令为任意函数，则有
例4
已知求该方程的特解和一般解.
解
用代换x
，有φ
(φ
(x
))=x
，验证满足g
(x
)=g
(φ
(x
)).
由引理3，得到特解为再由定理2，方程的一般解形如：
其中h
为任意函数.
例5
已知求该方程的特解和一般解.
解
首先，利用换元法将方程变形，令sinx
则原式为令则有φ
(φ
(t
))=t.
可以验证且满足g
(t
)= -g
(φ
(t
))，由引理4和定理3得到特解为一般解则形如：其中h
为任意函数.
例6
已知求该方程的特解和一般解.
解
用代换x
，则有φ
(φ
(x
))=x
，可以验证满足g
(x
)=g
(φ
(x
))，由引理3得到特解为再由定理2得一般解形如：其中h
为任意函数.
3 总结
本文针对一类线性函数方程Af
(x
)+Bf
(φ
(x
))=g
(x
)，其中φ
(x
)是迭代周期为2的函数，提供了通用的求解方法，补充探讨了这类线性函数方程在奇异情形A
-B
=0时解的性质以及求解的方法，并设计了实际例子以作参考.
类似本文方法，可以继续研究φ
(x
)的迭代周期为3，4，5，…，n
时该线性函数方程的解.
