巧妙利用统计与概率的关系提升学生数学核心素养——以一堂“超几何分布”课程设计为例

200231 上海市上海中学 刘 琴 刘 姗

学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力

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《普通高中数学课程标准》指出，数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析

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面对最基础的数学课堂教学，教师一直在探索如何在课程设计中体现数学核心素养，让学生通过课程的学习学会在情境中抽象出数学概念,学会利用现代科技模拟数学问题，提升对数学问题的理解,积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验,形成规范化思考问题的品质,养成严谨求实的科学精神

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笔者以一节超几何分布课的课程设计为例，探讨数学核心素养在课堂中的体现

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一、 情境问题

用熟悉的情境引入超几何分布这个学生相识却不相知的分布

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某商场为了吸引更多顾客，特在“双11”时举行抽奖活动，顾客从装有10只球(4只黄球、6只白球)的箱子里随机抽取2只球，若都是白球，则不中奖；若有1只黄球，则中二等奖，奖励购物券100元；若有2只黄球，则中一等奖，奖励购物券200元

.

每位顾客只能参与一次抽奖，商场向顾客提供以下两种选择

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1

.

采用放回抽样的方式，即每次取球后放回，充分混合后再抽取第二次

.

2

.

采用不放回抽样的方式，即每次取球后不放回，从剩余的球中再抽取第二次

.

问题1

如果你当天恰好在现场，你会采用哪种抽样方式？为什么？

问题2

如果你是商场总经理，你希望顾客采用哪种抽样方式？为什么？

设计意图：

从实际情境出发，引导学生用数学语言表达实际问题，并以单元的视角提出研究超几何分布的必要性，激发学生探索的兴趣

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简化问题

已知箱中有10只球(4只黄球、6只白球),从中随机抽取2只

.

1

.

若每次抽取后放回，设抽到黄球的个数为

X

，求

X

的分布列

.

X012P(X)0.360.480.16

E

(

X

)=0·0

.

36+1·0

.

48+2·0

.

16=0

.

8

.

2

.

若每次抽取后不放回，设抽到的黄球个数为

Y

,求

Y

的分布列

.

Y012P(Y)0.33·0.53·0.13·

思考1

从顾客的角度来看，为什么选择放回抽样？为什么选择不放回抽样？(从决策论的角度探讨)

引导

对比获得不同奖励的概率，如获得奖励的概率或获得大奖的概率

.

思考2

两个分布的期望是一样的，这是巧合还是存在某种内在的联系？

引导

放回抽样是学生已经熟悉的二项分布，带领学生回忆二项分布的条件

.

提问

不放回抽样的分布是不是也有一定的规律？

变式1

若袋中有10只球(4只黄球、6只白球)，从中随机抽取5次,都不放回,设抽到的黄球个数为

Y

,求

Y

的分布列

.

设计意图：

在不放回抽样的情形下，黄球个数

Y

的取值会受到取球个数和袋中原有黄球个数的限制，故设计此变式，引导学生讨论

Y

的取值，为进一步抽象概括做准备

.

引导学生讨论如下

.

1

.

抽到的黄球个数

Y

可能的取值是多少？(引导学生讨论

Y

的最大可能取值是在原有黄球个数和抽取球个数中取大)2

.

对应不同取值的概率是多少？(引导学生在数字改变的情况下进一步探索超几何分布的分布列)

所以

二、 抽象概括

问题3

如果将实际问题中的具体数据变成字母，是否可以抽象出超几何分布的分布列？

变式2

若袋中有

N

只球[

M

只黄球、(

N

—

M

)只白球]，从中随机抽取

n

次,都不放回,设抽到的黄球个数为

Y

,求

Y

的分布列

.

设计意图：

从具体的数字到抽象的表达是形成理性思维的过程，利用熟悉的情境进行抽象概括，为更一般情境下的抽象定义奠定基础

.

问题4

如果不以球作为背景，能否进一步抽象出超几何分布的定义？

引导

讨论并提出超几何分布的定义

.

超几何分布

设

N

个元素分为两类，其中

M

个属于第一类，(

N

-

M

)个属于第二类

.

从中按不重复抽样取

n

个，令

Y

表示这

n

个样品中第一类的元素个数，则

Y

的分布称为超几何分布(Hypergeometric Distribution)

.

记作

Y

～

H

(

n

,

M

,

N

)，且为正整数

.

Y

的分布列如表1所示

.

三、 归纳猜想

问题5

我们在情境问题中讨论过，顾客会根据自己对获得奖励与否或奖励金额的偏好进行选择，但从商场经理的角度而言，两种选择所需发放的购物券金额是一样的，这一结论由两种分布的期望所支持

.

如果有放回地抽样，

X

表示抽到的黄球个数，则

X

服从二项分布

B

(

n

,

p

),期望是

E

(

X

)=

np.

如果不放回地抽样，

Y

表示抽到的黄球个数，则

Y

服从超几何分布，超几何分布的期望是什么？

设计意图：

鼓励学生大胆猜想，试图找到超几何分布与二项分布的期望的相关性

.

四、 模拟实验

问题6

为了验证我们的猜想是否可行，在试图证明之前，我们还可以用什么样的方式进行探究？

设计意图：

鼓励学生用不同方式进行探究，验证猜想成立的可能性

.

可以是实物模拟(从袋中取球)，也可以是用图形计算器生成随机数进行模拟(具体操作如图1所示)，更鼓励学生使用大数据模拟的方式(学生编写了R语言程序，具体操作如图2所示，具体链接为https://charlieji-r.shinyapps.io/HypergeometricSimulationAPPCharlieJi/).

表1

Y012…m-1mP(Y)C0M·CnN-MCnNC1M·Cn-1N-MCnNC2M·Cn-2N-MCnN…Cm-1M·Cn-m+1N-MCnNCmM·Cn-mN-MCnN

图1 图形计算器生成随机数模拟抽样

图2 R语言程序生成随机数模拟抽样

五、 推理证明

问题7

经过模拟探究后，应该进行严格的推理证明

.

设计意图：

对猜想的严格证明可通过组合数的展开进行，但计算比较繁琐，若利用组合数的性质，一方面可以使证明过程更加简洁，另一方面可以加深学生对组合数性质的理解

.

引理

引理

第一步:探究引理1

严格证明：

概率的思想理解如图3所示

.

第二步： 证明

因为如表1所示,由期望的定义得

由引理将所有分子的前半部分乘法简化如下:

①

.

进一步提出共同项，得到①式

提问

此时括号中的和是多少？

引导

学生从分布列的性质讨论，得到引理

思考

如表1，分布列中所有概率的和是多少？

学生已经了解分布列的性质，能够回答和为1，即

将分母移到右边，得到

思考

证明过程中，括号中的和是多少？通过如图4所示的过程，学生能够快速了解要求的和等价于从(

N

-1)个元素中取出(

n

-1)个第一类元素的所有情况，故可以得到：

括号中的和

图3 图4

②

.

利用组合数的定义，学生能够快速完成余下的证明,过程如下:

②式

六、 总结归纳

(一)超几何分布与二项分布的关系

超几何分布与二项分布的关系如图5-1所示

.

1

.

当

N

足够大时，放回和不放回对概率的影响很小，超几何分布逼近二项分布

.

图5-1 二项分布与超几何分布的知识点总结

2

.

利用R语言探究二者关系(如图5-2所示,具体链接为https://charlieji-r.shinyapps.io/HypergeometricSimulationAPPCharlieJi/).

图5-2 随着N的不同，超几何分布与二项分布的取值比较

(二)探索方法总结

本节课的探索方法为“观察—猜想—模拟—大数据模拟—严格证明”，这一探索方法(过程)非常重要

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七、 结语

本节课是一节“双新”展示公开课，可以在“研直播”观看(研直播—教研活动—数学学科教学展示课及专家点评)，本节课的设计突出以下方面

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首先，从单元的角度来看，从实际情境出发，结合二项分布提出超几何分布的概念及其均值的探索与研究，培养学生从情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系的能力

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其次，本节课大胆利用统计与概率的密切联系，从统计的角度鼓励学生进行超几何分布的研究，并利用统计的思想“一两拨千金”地完成规范化的证明，学生形成规范化思考问题的品质，养成严谨求实的科学精神

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从教学过程来看，本节课非常注重数字化学习的引导，利用图形计算器、R语言等工具模拟随机过程，帮助学生探索；注重统计课程的完整性，引导学生完整地经历了观察、猜想、模拟、证明的过程

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