提炼共性，体现特征，促进知识结构整体化——“单元”视角下的“乘法公式”教学设计

200127 上海市浦东教育发展研究院 徐 颖

对于“乘法公式”这一部分的内容，在实际教学中，许多教师会产生比较一致的感受，即在新课教学的过程中，学生的学习情况较为良好，一旦进入综合运用阶段，有些学生就会出现公式混用或者用错的现象

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究其原因，可能是这些学生对于“乘法公式”的整体理解还不够，尤其是对两个公式之间差异性的感受不够明显

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在人教版、北师大版、浙教版以及沪教版的教材中，“乘法公式”这一知识内容的呈现有着较高的一致性，基本都分为“平方差公式”和“完全平方公式”两个主题内容，并且它们的先后顺序、所用课时基本一致

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因此，可以从发掘教学内容、教学过程等一致性的角度出发，采用共性特征设计教学，着重在知识整体探究的过程中不断呈现差异比较

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一、 分析教材，提炼共性

笔者对教材进行研读，主要对多个版本教材中的“乘法公式”内容从年级、课时、内容的关键环节(问题)等角度进行比较

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(如表1所示)

表1

教材内容所处年级和课时内容关键环节(问题)人教版八年级上4课时☆计算下列多项式的积,你能发现什么规律吗?☆你能根据图形的面积说明平方差(完全平方)公式吗?☆阅读与思考:杨辉三角(不在正式课时内)北师大版七年级下4课时☆观察以上算式及其运算结果,你有什么发现?再举两例验证你的发现☆①分别求图形面积,比较结果,你能验证平方差公式吗?②你能用图解释完全平方(和)公式吗?③请你设计一个图形解释这一公式(完全平方公式、平方差公式)☆想一想,在算式运算的过程中,发现了什么规律?请用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?☆读一读:杨辉三角(不在正式课时内)浙教版七年级下4课时☆平方差公式计算:a+b a-b =比较等号两边的代数式,它们在系数和字母方面各有什么特点?你能根据两个阴影的面积关系直观地说明平方差公式吗?☆完全平方公式大正方形的边长为a+b.请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积,你发现了什么代数公式?你能否用多项式与多项式相乘的法则推导出这一代数公式?请试一试如果把a-b 2写成a+(-b) 2,就可以由两数和的完全平方公式写出两数差的完全平方公式☆杨辉三角与两数和的乘方(不在正式课时内)沪教版七年级上4课时☆通过计算你发现了什么规律?☆你能根据图中图形的面积关系来说明平方差(完全平方)公式吗?☆探究活动一:一组平方数规律的探究(字母表示数)☆阅读材料:贾宪三角(不在正式课时内)

通过比较可以得到以下发现

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首先，相关知识的内容与顺序都一致，即平方差公式、完全平方公式、应用以及贾宪(杨辉)三角

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其次，“平方差公式”和“完全平方公式”这两个教学内容之间的关系是并列的，也就是没有严格的先后逻辑关系

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最后，“平方差公式”和“完全平方公式”在教材中的呈现形式及顺序有比较明显的一致性，它们都是两个两项一次多项式相乘的特殊情况，一个是在公式的呈现形式上表现为两个特殊的多项式相乘，另一个是用图形解释(说明)公式时利用特殊四边形的面积

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同时，这两个公式在呈现的过程上基本一致，也就是说，相关教学过程中的基本流程几乎一致，人教版与沪教版的教材中，基本都呈现了如图1所示的教学流程

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北师大版与浙教版教材在完全平方公式部分呈现了不同的流程，但其关键环节是与图1一致的

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图1

二、 适当整合，制定方案

基于内容之间的逻辑关系以及教学流程的一致性，可以对一致性进行提炼，重新规划单元

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在各个版本教材的相关学习内容中，关于乘法公式的内容涉及四个课时，而“贾宪三角(杨辉三角)”基本不在这四个课时的教学中，需要另外安排时间教学，有些教师可能不安排教学这一内容

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综合各版本教材的分析，需要在单元规划过程中通过构建主线与逻辑将教材进行重组，并相应地进行整合，制定方案，同时确定教学目标，设计问题与活动

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学生学习存在着一个较大的问题，即不会选择解决问题的方法，例如，在学习时死记硬背、生搬硬套各种乘法公式，经常出现张冠李戴的现象

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针对这一问题，教师要在这些公式的引入环节做好设计，让学生明白公式是怎么得到的，会分辨公式各有什么样的特点，而不是教师教一个、练一个，学生学一个、扔一个

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基于这样的考虑，笔者将完全平方公式与平方差公式的导出部分合并

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完成整体规划后，四个课时的教学可以这样安排：平方差公式、完全平方公式的探究(1课时)；公式的基础应用(含简便运算，2课时)；拓展与提高(应用问题、换元、杨辉三角，1课时)

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单元规划的重点在于公式的引入部分，因此，先重点分析乘法公式的引入，随后再进行后续教学与学习环节的设计

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一般地，将公式研究过程的主要环节归纳为“发现”、举例、说明(解释)、式子、文字表述、验证

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北师大版教材重点呈现的是除了验证之外的五个环节

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(如图2所示)

图2

方案1

利用特殊四边形的面积，将“发现”与说明(解释)环节整合

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(如图3所示)

图3

制定目标如下

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(1)经历平方差公式、完全平方公式的探求过程，理解这两个公式的意义，知道平方差公式、完全平方公式与多项式乘法法则的关系

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(2)熟悉平方差公式、完全平方公式的特征，会初步选择、运用平方差公式与完全平方公式进行简单计算

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(3)以折纸、拼图为载体，搭建创新实践平台，产生对问题研究的好奇心与探究欲望

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(4)通过借助图形面积进行说明的过程，体会“从一般到特殊”的研究问题方法和数形结合、化归的数学思想．

方案2

利用两个两项一次多项式相乘的特殊性，将“发现”与验证环节整合

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(如图4所示)

图4

制定目标如下

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(1)理解平方差公式、完全平方公式的意义以及它们与多项式乘法的关系，会初步选择、运用平方差公式与完全平方公式进行简单计算

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(2)经历对公式的推导进行说明的过程，体会“从一般到特殊”的研究问题方法和化归的数学思想

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(3)通过参与课堂活动，感受探索与合作的乐趣，并从中获得成功的体验

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三、 问题引领，细化活动

在教学设计中，首先打破“数”和“形”在同一个公式教学中同步出现的情况，通过“数”和“形”两个特殊性探究角度串联起几个乘法公式

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方案1

利用特殊四边形的面积，将“发现”与说明(解释)环节整合

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本案例由华东师范大学张江实验中学的教师完成，在教学设计中，将原先两课时的内容进行合并与调整：两个公式的导出与辨析作为第一课时，练习与巩固作为第二课时

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学生数学基础相对比较薄弱，在导出部分主要采用教师设计活动、学生同桌合作交流完成的形式，探究的主要成果以填空的形式出现，具体的导入设计如下

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1

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操作与填空(同桌合作交流完成)(1)把一张正方形纸片的一边任意分成两段，它们的长度分别设为

a

和

b

(且

a

>

b

)，用同样的方法把纸片的另一边也分成

a

和

b

两段，然后按照如图5-1所示折出虚线部分，沿着折痕剪下图形，并在剪下的每块图形上写出它所表示的面积．

请问：大正方形的边长是________；大正方形的面积可以表示为________；还可以表示为________；它们的数量关系是________．

图5-1

(2)按照图5-2所示，把两张边长为

a

和

b

的长方形纸片以白色部分为正面覆盖在边长为

a

的正方形纸片上．

请问：图5-2中阴影部分的边长是________；它的面积可以表示为________；还可以表示为________；它们的数量关系是________．

(3)按照图5-3所示，在边长为

a

的正方形纸片的角上剪去边长为

b

的正方形，请你再剪一刀，把这个不规则的图形拼接成一个我们熟悉的四边形．

请问：拼接成四边形后的面积可以表示为________；图5-3阴影部分的面积表示为________；它们的数量关系是________．

图5-2图5-3

2．思考(学生个人完成)

(

a

+

b

)=

a

+2

ab

+

b

;(

a

-

b

)=

a

-2

ab

+

b

;(

a

+

b

)(

a

-

b

)=

a

-

b

.

你能运用我们所学过的知识来解释上述式子从左到右的变化过程吗？

以上的教学实践设计基于整式教学中关于乘法公式的两个要点：用图形的面积说明(理解)乘法公式、用整式乘法法则推导乘法公式

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同时，将教学重点及难点的突破口定位在先学会分辨差异，再巩固提高正确率

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通过折纸，图形面积“算两次”，学生直观感知平方差、完全平方公式的形式

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在此基础上，师生一起运用多项式乘法的运算法则探求平方差公式与完全平方公式

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通过课堂的引入以及配套的辨析练习，学生普遍对于这两个公式能够做出较好的区分与辨别，并且基本采用先观察、再计算的方法进行乘法计算，教学效果较好

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方案2

利用两个两项一次多项式相乘的特殊性，将“发现”与验证环节整合

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以北师大版教材为例，在乘法公式的前一节课“整式的乘法”中，有如下随堂练习

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计算：(1)(

m

+2

n

)(

m

-2

n

)；(2)(2

n

+5)(

n

-3)；(3)；(4)(

ax

+

b

)(

cx

+

d

)．这四道题目蕴含了很大的信息量，从人教版教材对于两个项数为2的多项式相乘的一般式看，如果(

a

+

b

)(

p

+

q

)中的

p

，

q

有一些特殊的特征，那么相乘所得多项式的项数可能出现特殊的情况，可以直接顺着这样的练习，在乘法公式的教学中，用以下的问题引入

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两个项数为2的多项式相乘所得多项式的项数可能是________

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具有一些特征的两个项数为2的多项式相乘会得到一些较特殊的结论

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你能举出一些例子并进行说明吗？这样的引入可能对于一些学生显得过于开放，那么可以适当地对问题进行分解，通过多项式的一些特殊性引入

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问题1

你能用数学符号语言来叙述两个多项式相乘的法则吗？

问题2

如果两个多项式中的项有特殊的形式，其计算结果有何特征？

问题2

.

1

如果两个多项式中的项完全相同，其计算结果有何特征？

问题2

.

2

如果两个多项式中的项完全相反，其计算结果有何特征？

问题2

.

3

如果两个多项式中一项相同，一项相反，其计算结果有何特征？以上教学设计中，问题2

.

1至问题2

.

3是对问题2的补充，如果在课堂中有比较充足的时间，学生会较自然地生成问题2

.

1至问题2

.

3三个问题

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因此，在上海市陆行中学南校进行的课堂实践过程中，教师根据不同班级学生的课堂反馈情况，由统领性问题生成后续的分解小问题，且提出小问题的先后顺序也会有所差异

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通过以上问题，学生能比较快地找出=

a

+2

ab

+

b

以及(

a

+

b

)(

a

-

b

)=

a

-

b

，此时就可以参考浙教版教材“如果把写成，就可以由两数和的完全平方公式写出两数差的完全平方公式”，将=

a

+2

ab

+

b

与=

a

-2

ab

+

b

两个公式进行比较

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这样的引领性问题体现了如图6所示的乘法公式的引出过程，更多地体现出学生的自主探究

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图6

以上两个方案在探究过程中，都关注到乘法公式的特殊性，从数和形两个角度进行研究，在保持研究角度一致的情况下，需要从数的角度对从形的角度观察得到的结果进行验证，也可以从形的角度对从数的角度探究归纳得到的结果进行说明与表示

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因此，这两种方案设计都可以在一个课时的学生探究过程中得出三个特殊的乘法公式，同时也达成了分开推导所不能达到的目标：分辨各个公式各有什么样的特点，以及进行各个公式差异的比较

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知识结构化不仅体现在单元或章节的复习环节中，而且应该体现在新课的教学中

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找到知识的生长点，从结构生成的角度进行合理、有效的设计，并且设计好问题与活动，重点体现学生对于新问题的研究思路与探究过程，这就是单元教学的魅力与价值所在

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