关于非齐次线性微分方程的一个证明

彭兴媛

摘  要：n阶线性微分方程是常微分教材中非常重要的一個部分，因其理论已被深入研究，且应用也非常广泛，故在第四章中重点学习了线性微分方程的基本理论和常系数微分方程的解法。但关于n阶非齐次线性微分方程存在且最多存在n+1个线性无关的解的证明却并未详细给出，故本文先给出该证明所涉及到的重要概念，然后再给出该结论的详细证明过程，为学习该门课程的学生提供一个参考。

关键词：非齐次线性微分方程  线性无关  解

中图分类号：G644.5         文献标识码：A            文章编号：1672-1578（2019）09-0015-01

1   引言

在第四章里已经学习了n阶线性微分方程的概念、解的存在唯一性定理、n阶齐次线性微分方程的解的性质与结构，知道了n阶齐次线性微分方程一定存在且最多存在n个线性无关的解，以及其中的一个非常重要的定理——通解的结构定理。所以，关于n阶齐次线性微分方程的内容基本掌握了，但是在实际情况下，碰到n阶非齐次线性微分方程的情况较多，且关于n阶非齐次线性微分方程存在且最多存在n+1个线性无关的解这一结论，书上并没有给出详细的证明过程，所以本文先给出n阶非齐次线性微分方程的定义及性质，然后再给出证明过程。

2   相关概念及性质

2.1 n阶非线性微分方程

（dnx/dtn）+a1（t）（dn-1x/dtn-1）+ …+an-1（t）（dx/dt）+an（t）x

=f（t）       （1）

其中所有的系数ai（t）（i=1，2，…，n）及f（t）都是区间a≤t≤b上的连续函数。

当f（t）=0时，（1）式就变成n阶齐次线性微分方程，所以n阶齐次线性微分方程是n阶非齐次线性微分方程的特殊形式，这里为书写方便，将n阶齐次线性微分方程记为（2）。

2.2 性质1

如果x1（t）是方程（1）的解，而x2（t）是方程（2）的解，则

x1（t）+x2（t）也是（1）的解。

2.3 性质2

方程（1）的任意两个解之差必为方程（2）的解。

3   证明过程

对于n阶非齐次线性微分方程（1）存在且最多存在n+1个线性无关的解这一结论，本文分两步进行证明，首先证明方程（1）存在n+1个线性无关的解，其次再证明线性无关的解最多为n+1个。

证明：（1） 设x1（t），x2（t），…， xn（t）是方程（1）对应的齐次线性微分方程（2）的一个基本解组，X（t）是（1）的一个解，则根据性质1有：x1（t）+X（t），x2（t）+X（t），…，xn（t）+X（t）， X（t）均为方程（1）的解。现证明它们是线性无关的，假设存在常数c1，c2，…，cn+1，使得：

c1[x1（t）+X（t）] + c2[x2（t）+X（t）]+ … + cn[xn（t）+X（t）]+cn+1 X（t）=0，

整理后可得：

[c1x1（t）+c2x2（t）+…+cnxn（t）]+X（t）（c1+c2+…+cn+1）=0。

若c1+c2+…+cn+1≠0，则：

X（t）=–[c1x1（t）+c2x2（t）+…+cnxn（t）]/（c1+c2+…+cn+1），

即X（t）是x1（t），x2（t），…，xn（t）的线性组合，由方程（2）的解的叠加原理可知X（t）也是方程（2）的解，故与假设矛盾！

所以c1+c2+…+cn+1=0，即得c1x1（t）+c2x2（t）+…+cnxn（t）=0。

又因为x1（t），x2（t），…， xn（t）是基本解组，所以线性无关。

故有：c1=c2=…=cn=0，进而得出cn+1=0。

所以方程（1）有n+1个线性无关的解。

（2） 设方程（1）的任意n+2个解为： x1（t），x2（t），…，xn（t），xn+1（t），xn+2（t），则根据性质2可得：

x1（t）–xn+2（t），x2（t）–xn+2（t），…，xn（t）–xn+2（t），xn+1（t） –xn+2（t）就是n阶齐次线性微分方程（2）的n+1个解，故它们线性相关。即存在一组不全为零的一组数：c1，c2，…，cn+1使得：

c1[x1（t）–xn+2（t）]+ c2[x2（t）–xn+2（t）]+ … + cn[xn（t）–xn+2（t）]+ cn+1[xn+1（t）–xn+2（t）]=0，

整理后可得：

[c1x1（t）+c2x2（t）+…+cn+1xn+1（t）]–xn+2（t）（c1+c2+…+cn+1）=0。

故对于x1（t），x2（t），…， xn（t），xn+1（t），xn+2（t）而言，一组不全为零的数c1，c2，…， cn+1，–（ c1+c2+…+ cn+1）是存在的，所以x1（t），x2（t），…， xn（t），xn+1（t），xn+2（t）线性相关。可推知方程（1）的任意m（m>n+1）个解都线性相关。故线性无关的解最多为n+1个。

4   结语

相对于n阶齐次线性微分方程一定存在且最多存在n个线性无关的解而言，非齐次方程的线性无关的解的个数多了一个，所以在求解时，一定要区分是齐次线性方程还是非齐次线性方程。

参考文献：

[1] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 叶严谦.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1982.

[3] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4] 东北师范大学数学系.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1982.