从“充分与必要”视角辨析一道三角题的解法
2022-10-31兰诗全
中学数学 2022年9期
兰诗全
(福建省古田县第一中学 352200)
“问题是数学的心脏”，找到答案只是数学解题的前一半，更重要的是解题后的反思．“不思故无惑，不惑故无问，不问故无得．”为什么是正确的、为什么是错误的、错在哪里呢，对这些“为什么”的追问一定可以大大提升分析、解决数学问题的能力．反思才能悟出其中的方法与思想，反思才能悟出问题的真本质、真规律、真道理．
以下从充分与必要视角对一道题目的多种解法进行正误辨析，以示解题中要对充分与必要条件加以高度重视，理清思路、认识到位、理解深刻，要发现规律，要揭示本质，才能真正掌握知识，提高解题能力，提升数学素养．
题目
在锐角三角形ABC
中，角A
,B
,C
所对的边为a
,b
,c
，若b
=ac
，求cosB
的取值范围．错解当且仅当a
=c
时取等号．又在锐角三角形ABC
中，故cosB
<1，所以cosB
的取值范围为辨析
以上解法对吗？为什么？锐角三角形ABC
与等价吗？显然不等价，解题中条件的相互转化一定要等价！锐角三角形ABC
等价于角A
,B
,C
都是锐角，以上解法只考虑到锐角三角形ABC
的一个必要条件就得答案，一般会扩大所求的取值范围．错解2 由b
=ac
，得b
不是最长边也不是最小边，不妨设a
≤b
≤c
，则A
≤B
≤C
．又由△ABC
为锐角三角形，且A
+B
+C
=π，得2B
+C
≥π，所以2B
≥π-C
，由C
为锐角，得即得又当且仅当a
=c
时取等号，所以cosB
的取值范围为辨析
很多学生认为以上解法是正确的，但事实上是错误的．这又是为什么？细想b
=ac
这个条件用到位了吗？没有用到位，没有用充分！由b
=ac
⟹b
不是最长边也不是最小边(不妨设a
≤b
≤c
)⟹A
≤B
≤C
，但反过来由A
≤B
≤C
推不出b
=ac
，即b
=ac
内在的本质关系未充分利用，错解2也是条件不等价变形造成的！利用已知条件的必要条件A
≤B
≤C
来解答就得出问题的解，这与解法1类似，往往会扩大所求的取值范围．错解3 由b
=ac
，得b
不是最长边也不是最小边，不妨设a
≤b
≤c
，则A
≤B
≤C
．由△ABC
为锐角三角形且b
=ac
⟺C
为锐角且b
=ac
⟺0b
=ac
设则所以
辨析
cosB
的最大范围为[-1,1]，所以cosB
的范围不可能是不是利用了b
=ac
的准确数量关系了吗？不是关注了条件的转化要等价吗？又错在哪里？不断追问，问个水落石出！原来a
≤b
≤c
这个条件还没用到位，由a
≤b
≤c
应有所以解法3中应得故有以下正确解法．正解1 由b
=ac
，得b
不是最长边也不是最小边，不妨设a
≤b
≤c
，则A
≤B
≤C
．由△ABC
为锐角三角形且b
=ac
及a
≤b
≤c
⟺C
为锐角且b
=ac
且设则∈
所以
辨析
以上解法正确吗？“水本无华，相荡乃成涟漪；石本无火，相击而发灵光．”经过广泛讨论，积极思考后又有学生认为不对，理由是因为首先要构成三角形，从而在上述解法的基础上还应满足条件a
+b
>c
，故有以下正解2．正解2 在正解1的基础上还应满足a
+b
>c
，即再由正解1得后同正解1．辨析
正解1与正解2的最后答案是一样的，这是偶然还是必然？要想找出内在本质规律，要想打破砂锅问到底，此问题还应从以下命题说起．命题
已知三个正实数a
,b
,c
，且a
≤b
≤c
，角C
∈(0,π)，若满足则a
+b
>c
．证明 因为0<C
<π，所以因为a
,b
,c
>0，所以故从而a
+b
>c
．这说明，满足余弦定理形式的三边a
,b
,c
一定能构成三角形．本题中，C
为锐角故正解2中考虑a
+b
>c
是多余的，正解1的解答为最佳．经常性地像这样进行数学问题辨析，错中求正、败中求胜，数学问题将越辨越清，认识将越来越深刻．数学学习若不能揭示问题的本质，则对知识方法认识依然“云里雾里”，不能从错误的阴影中真正走出来，不能从正确中掌握规律，这是数学学习的大忌．以上辨析说明，对充要条件是否准确应用直接关系到解题的成败，许多时候解题出错都是因为充要关系没用对，对充要条件的应用要特别注意，已知条件的相互转化要注意充要性，一定要利用已知条件或与已知等价的条件来解题，这是本质，这是关键．
