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从“充分与必要”视角辨析一道三角题的解法

2022-10-31兰诗全

中学数学 2022年9期
关键词:等价锐角三角锐角

兰诗全

(福建省古田县第一中学 352200)

“问题是数学的心脏”,找到答案只是数学解题的前一半,更重要的是解题后的反思.“不思故无惑,不惑故无问,不问故无得.”为什么是正确的、为什么是错误的、错在哪里呢,对这些“为什么”的追问一定可以大大提升分析、解决数学问题的能力.反思才能悟出其中的方法与思想,反思才能悟出问题的真本质、真规律、真道理.

以下从充分与必要视角对一道题目的多种解法进行正误辨析,以示解题中要对充分与必要条件加以高度重视,理清思路、认识到位、理解深刻,要发现规律,要揭示本质,才能真正掌握知识,提高解题能力,提升数学素养.

题目

在锐角三角形

ABC

中,角

A

,

B

,

C

所对的边为

a

,

b

,

c

,若

b

=

ac

,求cos

B

的取值范围.错解当且仅当

a

=

c

时取等号.又在锐角三角形

ABC

中,故cos

B

<1,所以cos

B

的取值范围为

辨析

以上解法对吗?为什么?锐角三角形

ABC

与等价吗?显然不等价,解题中条件的相互转化一定要等价!锐角三角形

ABC

等价于角

A

,

B

,

C

都是锐角,以上解法只考虑到锐角三角形

ABC

的一个必要条件就得答案,一般会扩大所求的取值范围.错解2 由

b

=

ac

,得

b

不是最长边也不是最小边,不妨设

a

b

c

,则

A

B

C

.又由△

ABC

为锐角三角形,且

A

+

B

+

C

=π,得2

B

+

C

≥π,所以2

B

≥π-

C

,由

C

为锐角,得即得又当且仅当

a

=

c

时取等号,所以cos

B

的取值范围为

辨析

很多学生认为以上解法是正确的,但事实上是错误的.这又是为什么?细想

b

=

ac

这个条件用到位了吗?没有用到位,没有用充分!由

b

=

ac

b

不是最长边也不是最小边(不妨设

a

b

c

)⟹

A

B

C

,但反过来由

A

B

C

推不出

b

=

ac

,即

b

=

ac

内在的本质关系未充分利用,错解2也是条件不等价变形造成的!利用已知条件的必要条件

A

B

C

来解答就得出问题的解,这与解法1类似,往往会扩大所求的取值范围.错解3 由

b

=

ac

,得

b

不是最长边也不是最小边,不妨设

a

b

c

,则

A

B

C

.由△

ABC

为锐角三角形且

b

=

ac

C

为锐角且

b

=

ac

⟺0C

<1且且

b

=

ac

设则所以

辨析

cos

B

的最大范围为[-1,1],所以cos

B

的范围不可能是不是利用了

b

=

ac

的准确数量关系了吗?不是关注了条件的转化要等价吗?又错在哪里?不断追问,问个水落石出!原来

a

b

c

这个条件还没用到位,由

a

b

c

应有所以解法3中应得故有以下正确解法.正解1 由

b

=

ac

,得

b

不是最长边也不是最小边,不妨设

a

b

c

,则

A

B

C

.由△

ABC

为锐角三角形且

b

=

ac

a

b

c

C

为锐角且

b

=

ac

设则∈

所以

辨析

以上解法正确吗?“水本无华,相荡乃成涟漪;石本无火,相击而发灵光.”经过广泛讨论,积极思考后又有学生认为不对,理由是因为首先要构成三角形,从而在上述解法的基础上还应满足条件

a

+

b

>

c

,故有以下正解2.正解2 在正解1的基础上还应满足

a

+

b

>

c

,即再由正解1得后同正解1.

辨析

正解1与正解2的最后答案是一样的,这是偶然还是必然?要想找出内在本质规律,要想打破砂锅问到底,此问题还应从以下命题说起.

命题

已知三个正实数

a

,

b

,

c

,且

a

b

c

,角

C

∈(0,π),若满足则

a

+

b

>

c

.证明 因为0<

C

<π,所以因为

a

,

b

,

c

>0,所以故从而

a

+

b

>

c

.这说明,满足余弦定理形式的三边

a

,

b

,

c

一定能构成三角形.本题中,

C

为锐角故正解2中考虑

a

+

b

>

c

是多余的,正解1的解答为最佳.

经常性地像这样进行数学问题辨析,错中求正、败中求胜,数学问题将越辨越清,认识将越来越深刻.数学学习若不能揭示问题的本质,则对知识方法认识依然“云里雾里”,不能从错误的阴影中真正走出来,不能从正确中掌握规律,这是数学学习的大忌.以上辨析说明,对充要条件是否准确应用直接关系到解题的成败,许多时候解题出错都是因为充要关系没用对,对充要条件的应用要特别注意,已知条件的相互转化要注意充要性,一定要利用已知条件或与已知等价的条件来解题,这是本质,这是关键.

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