求解一道复数竞赛试题的第三视角

王银祥

(江苏省沭阳县建陵高级中学,223699)

试题已知复数z满足|z|=1,则|z3+3z+2i|的最大值为( )

解注意到当z=-i时,z3+3z+2i=0,从而z3+3z+2i可因式分解为z3+3z+2i=(z+i)2(z-2i).于是有|z3+3z+2i|=|z+i|2|z-2i|.联想到复数的几何意义,问题转化为:如图1,已知点A(0,-1),B(0,2),点P为圆O:x2+y2=1上一动点, 求乘积|PA|2· |PB|的最大值.

故选B.

评注通过观察发现目标式可以因式分解,这是解决本问题的关键.此后先利用复数模的运算性质、几何意义将问题转化为距离的乘积,再通过设辅助角为变量,运用余弦定理转化为三角函数模型.这种方法区别于文[1]所示的两种求解方法,最后的函数模型可以运用三元基本不等式求出最值,从而解决问题.