固体物理教学的若干思考Ⅲ：弛豫时间近似

刘 翌，袁 喆

(北京师范大学 物理学系，北京 100875)

固体物理的核心内容包含周期性晶格中电子态的性质以及在外场下的响应特征，后者往往会体现出材料的宏观物理和化学性质.输运现象描述了电子态在电磁场、温度梯度等驱动力作用下的动力学行为，是固体物理学教学的核心内容之一[3-7].这部分知识也是凝聚态物理前沿研究中重要的理论工具[8,9].输运问题的理论描述通常从玻耳兹曼方程开始，建立一套形式理论，其中电子在位置和动量相空间的漂移运动由布洛赫电子的半经典动力学方程给出，而碰撞项较难处理，可以引入弛豫时间近似来得到简化的形式[10].

大部分固体物理教材中有关弛豫时间近似的内容存在两个重要的不足.一是忽略了该近似的物理内涵和理论分析，仅给出其数学表达式，这样不容易让同学们理解其背后深刻的物理基础.并且为了避免数学推导，直接将弛豫时间假定为一个常量，忽略了其能带、动量、位置的依赖关系，会影响同学对弛豫时间近似的理解.二是引入弛豫时间后，立即转向导致布洛赫电子发生弛豫的散射机制，最有代表性的是有限温度声子对电子的散射，很多教材都花了较多篇幅来推导电声子相互作用导致的弛豫时间的表达式，反而忽视了弛豫时间近似处理物理问题的强大能力.事实上弛豫时间近似的最大优势就是避免了具体的散射机制，使用简单的参数即可普适地描述输运问题.因此在课程中有必要在弛豫时间近似范围内，直接通过简单的数学推导，描述金属电导率、热电效应等一系列输运现象.

本文首先讨论弛豫时间近似的物理图像，并通过概念性的分析得到弛豫时间近似的数学表达式，再使用简单的微积分求解出非平衡分布函数的形式解.为这部分内容的教学提供参考，让学生全方位深入理解弛豫时间近似，并有能力应用该方法解决凝聚态物理研究中的问题.

1 弛豫时间近似

1.1 弛豫时间概念的引入

弛豫时间的概念可以追溯到Drude的自由电子气模型[11,12]，其中电子作为经典粒子在运动过程中会与原子核发生碰撞，电子的碰撞是瞬时发生的事件，且在dt时间间隔内发生的概率是dt/τ.这个时间常量τ后来被称为碰撞时间、散射时间或弛豫时间.在Drude之后的理论中，碰撞不再局限于电子被原子核散射情形，可以被拓展到杂质、声子甚至表面和界面散射等，而弛豫时间的关键是用来衡量碰撞的概率.

完美晶格中的布洛赫函数是电子的本征态，尽管它具有一定的速度，但是不会与晶格发生碰撞或散射而耗散能量，因此布洛赫函数的弛豫时间应当为无穷大.电子在晶格中的动力学可以用半经典的波包运动方程来描述，对应玻耳兹曼方程中的漂移项.另一方面，完美晶格是不存在的，材料中的杂质以及晶格振动都会破坏晶格的周期性，从而改变局域的电子本征态，所以通常情况下电子在输运过程中会发生碰撞导致有限的电阻率.电子发生碰撞时的相空间分布函数的改变在玻耳兹曼方程中用碰撞项来表示.但是由于碰撞项的描述较为困难，严格求解需要考虑具体的电子散射机制，并求解相应的振子强度或者散射截面，因此弛豫时间近似就提供了一种非常简便的碰撞项形式，从而得到较完整的物理描述.

1.2 碰撞项的表达式

弛豫时间近似有两条基本假设：(ⅰ) 电子因碰撞而导致的分布在任何时间都不依赖碰撞前的非平衡分布函数；(ⅱ) 如果电子处在局域的平衡态,则

(1)

碰撞不会改变电子分布，其中μ(r)和T(r)是局域化学势和温度.利用上述两个假设分析相空间中电子分布函数，可以得到碰撞项的数学表达式.考虑在位置r、动量k的相空间，其体积为d3rd3k/4π3，假定在t时刻能带n上电子在该相空间的电子分布为fn(r,k,t).应用碰撞概率与弛豫时间的关系，每个电子在dt间隔内发生碰撞的概率是dt/τn(r,k)，因此发生碰撞从而离开该相空间的电子数为fn(r,k,t)dt/τn(r,k).这里弛豫时间可以依赖于能带n和电子的位置r与动量k.

(2)

值得指出的是弛豫时间近似是满足碰撞使电子系统趋近于平衡态的最简单的形式，它保证了处于局域平衡的体系不会因为电子碰撞而偏离平衡态.在一个均匀系统，弛豫时间一般不依赖于位置r，而对动量的依赖关系通常是因为能带色散，由于k是时间的函数，弛豫时间也是时间函数，即τn[k(t)]=τn{En[k(t)]}.

2 分布函数的形式解

2.1 求解弛豫时间近似下的非平衡分布函数

很多固体物理学教材在给出碰撞项表达式(2)后即转向讨论弛豫时间的微观机制，计算出弛豫时间与杂质浓度或者声子温度的关系．严格来说这些内容已经超越了弛豫时间近似本身，反而忽视了该近似的优势，即在不必知道具体微观机制的情况下，以简单的参数形式描述电子输运过程.这需要在式(2)的基础上求解非平衡分布函数的具体形式.Ashcroft和Mermin的固体物理教材[11]中使用了大量篇幅从电子碰撞的物理过程分析出非平衡分布函数形式.这里利用微积分中常用的常数变易法严格求解非平衡分布函数.

弛豫时间近似式(2)可以写成一个非齐次常微分方程：

(3)

其中r和k都是时间的函数.为了求解上述非齐次常微分方程，首先求出齐次方程：

(4)

(5)

将式(5)代入式(3)得到

(6)

直接积分即可得到

(7)

因此得到式(3)的严格解，即非平衡分布函数:

(8)

其中式(6)和式(7)中的参数t0在积分上下限中消去了.式(8)中唯一的待定系数是t′的积分下限t1，可以通过初始条件fn(t=-∞)=0确定t1=-∞.这个边界条件本质上意味着在经历了足够长的时间后，电子的分布函数已经不携带有任何过去的信息了，最终得到式(3)的解析解：

(9)

为了看到更加物理的图像，式(9)的形式可以稍作变化.利用数学形式：

(10)

式(9)可以改写成

(11)

式(11)就是弛豫时间近似下非平衡分布函数的严格解，它的形式与Ashcroft和Mermin固体物理教材中(13.17)的形式完全相同，但并不是通过分析电子碰撞的物理过程得出的，而是采取了直接求解非平衡分布函数的非齐次常微分方程得到.这两种求解的方法并没有优劣之分，只是侧重不同，Ashcroft和Mermin侧重清晰的物理过程，本文中的推导具有严格的数学形式，可以在教学中相互补充.

2.2 关于非平衡分布函数的一些讨论

(12)

这说明叠加的扰动本质上源于电子的动力学，即外场(包括温度梯度、化学势梯度)作用下电子在相空间中的漂移.将其代入式(11)得到

(13)

最后我们讨论式(13)积分中的指数项.这一项决定了不同时刻的电子运动对非平衡分布函数贡献并不是均等的，而是随时间的推迟逐渐减小，在距离t时刻很远的过去，电子的动力学的贡献已经可以忽略不计.换句话说，电子运动对分布函数有显著贡献的时间尺度是由弛豫时间决定的.当能量变化非常缓慢以至于弛豫时间近似可以看做常量时，即τn{En[k(t)]}≈τn，并且在这个时间尺度内r和k的变化很小，则所有对时间的积分仅作用在指数项上，从而得到

(14)

在弛豫时间为常量的情况下，非平衡分布函数可以简化为

上式右侧平衡态分布对能量的求导决定了非平衡分布函数只在费米面附近才会发生改变，费米海中较深的电子态的分布函数始终是不变的，这是电子作为费米子的特性所决定的.

3 小结

本文讨论了弛豫时间近似下，用于描述输运过程中电子碰撞项的非平衡分布函数表达式的物理基础．应用常数变易法严格求解了非平衡分布函数，并探究了非平衡分布函数形式解中对平衡态分布扰动的物理根源和时间尺度.