面向空天类专业的“计算方法”实践教学改革

张 进，陈青全，朱阅，杨 震

（国防科技大学空天科学学院 湖南 长沙 410073）

1 课程概况与改革需求

随着信息科学与计算机技术的高速发展，数值计算及分析软件的研制和应用已经遍及工程和科学计算的各个领域。计算机是20 世纪最伟大的科学技术发明之一，但没有软件的有效支持，超级计算机的能力也得不到充分发挥，而软件的核心是算法。数值计算方法常简称计算方法，是工科院校本科学生的学科基础课，是科学计算的重要基础之一。

各高校，特别是工科院校，都非常重视计算方法的教学，并进行了大量教学改革研究，对计算方法教学的一些难点也有共识。国防科技大学空天科学学院开设该课程已超过20 年，主要面向航空航天（简称空天）类专业大二本科生开设，每年约5－6 个班次。虽然教学团队积累了丰富的经验，基于课程本身的特点及空天类专业的培养需求，计算方法教学实践中仍然存在几大问题没有得到很好解决。

1.1 课程内容之间缺乏连贯性

课程主要讲授的内容包括：解线性方程组的直接法、插值法与最小二乘法、数值积分与微分、常微分方程数值解法、逐次逼近法（线性方程组的迭代法、非线性方程与方程组的迭代法、特征值计算的幂法）等。虽然逼近、迭代两大思想贯穿多个内容，且部分内容应用于多章（如插值法应用于数值积分、常微分方程数值解法公式的构造等），但由于每章针对的问题不同，问题之间的支撑关系没有明确交代，学生仍然难以形成贯穿全课程的体系思路，特别在方法如何使用、如何配合的问题上比较迷茫。

1.2 学时相对较少，重理论轻实践

计算方法既有数学课程的理论抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性和实践性。教师们在教学中很早便意识到实践锻炼的重要性，需要强调编程实验。然而，由于该课程内容丰富，安排课时却相对较少，造成教师教学时为了强调理论的完整性与公式推导，对实践部分分配课时不足，上机实验内容及形式相对呆板，缺少应用问题的兴趣激发和算法设计的训练，造成学生完成课程学习后运用计算方法解决实际问题的能力仍然较弱。

1.3 重公式推导，轻直观引导

数值计算公式大多冗长烦琐，课堂上直接推导费时费力，且学生也很难跟上老师公式推导的节奏，更难长久记忆。当整节的课程都是大量公式推导时，学生上课疲于听讲，没有主动思考，容易产生烦躁和厌学的情绪，教学效果欠佳。

1.4 空天专业联系弱

目前，计算方法课程内容紧密结合了高等数学、线性代数等数学知识以及计算机程序设计等计算机知识，但没有针对空天专业特点进行内容个性化定制，也未将后续专业课程中的科学计算问题融入计算方法课程，使得学生应用数值计算解决专业问题的能力较弱。

计算方法作为空天类本科专业的学科基础必修课，对后续专业课的学习具有重要支撑作用。如何在计算方法课程中融入有专业背景的科学计算问题，对学生科学计算思维与能力的培养，专业实践启蒙，以及达到学以致用的效果等都至关重要。

2 实践教学改革

2.1 改革思路

针对当前课程内容缺乏连贯性、学时相对较少而重理论轻实践、重公式推导而轻直观引导、与空天专业联系弱等不足，建设空天案例体系以加强课程与空天类专业联系的同时串联计算方法知识点，建设图形动画集以直观引导理论学习并提高教学效率，进行线上线下混合式教学缩减课内讲授学时，设计竞赛性上机实验和开发自动化验证平台以激发学生兴趣并锻炼动手能力；开展课程思政建设，培养空天精神。

2.2 改革措施

2.2.1 贯穿全课程的空天案例体系建设

以神舟飞船交会对接任务设计、控制中的数值计算需求为牵引，结合计算方法课程知识点，对实际问题进行适当简化，并用课程中的方法进行求解，进而建立了贯穿课程各章的空天案例体系。飞船从发射入轨到交会对接涉及多个阶段，对应的设计控制问题均需要计算方法的支持。例如：在发射入轨阶段，火箭上升过程中需要在线计算大气阻力，而阻力的计算需要大气密度这一随高度变化的参数，实际任务中往往通过高度-大气密度表，基于高度插值的方式计算大气密度；为了预测后续任务的准确时刻、航天器的状态，需要进行轨道预报，实际任务中往往基于位置速度的常微分方程组，采用Runge-Kutta 法进行求解；在地面控制部分轨道机动的计算需求解非线性方程组，在自主控制部分轨道机动计算需求解线性方程组等。通过将围绕一个航天任务的数值计算案例引入计算方法课程，激发了学生学习的兴趣，加强了课程与空天专业的联系，学以致用；同时，用任务需求贯穿各知识点，在学生知识结构中形成网络，相互关联，更有利于学生后续对方法的应用与拓展。

2.2.2 直观易懂的计算方法演示图形动画集建设

计算方法课程一些关键概念、方法的公式推导过程较冗长，仅直接讲解公式，效率低，学生易疲劳且方法思想掌握效果不好。通过剖析关键概念与算法公式的特点，以几何曲线、形状的动态组合进行展现，并将不同方法、计算迭代/步进过程以动态曲线等形式进行比较，使复杂的公式、概念更易于理解接受，提升教学效果与效率。例如：常微分方程求解的Euler 公式步进过程可以用动画的方式逐渐展现过点与斜率做直线，进而通过多组直线构成的折线来近似原曲线的过程，帮助学生直观形象地理解Euler 公式的实质；Runge-Kutta 公式的构造可用多个斜率构成的图形帮助学生直观形象地理解其使用加权平均斜率的实质。

通过几何图形帮助理解公式几何意义的教学方法，已在计算方法的部分内容中使用，教学改革中尽可能让这种方法覆盖大部分重点、难点的概念与公式，并通过图形动画的精心设计与制作以提高展示效果。另一方面，增强了计算方法中各方法的步进过程、不同方法求解过程的动态比较等以加深理解。

2.2.3 线上线下混合式教学

在学时不能增加的情况下，要增加编程实践内容，则必然要挤压理论部分教学的学时。基于东北大学的国家精品MOOC“数值分析”，构建了SPOC 线上课堂，给学生分配部分易学或拓展理论知识点作为自学内容，学生基于MOOC视频、课件、在线习题开展自主学习，部分缓解了课内学时有限的问题。

2.2.4 竞赛性上机实验设计与自动化验证平台开发

通过上机实验来锻炼学生应用计算方法的能力，在不少计算方法课程教改论文中有关注，也在一些课程教学中得到贯彻执行。然而，已有的计算方法上机实验中，学生只需输入程序、调试，然后获得期望的正确结果，撰写实验报告，即满足要求。这种方式关注算法设计与正确实现，忽视了我们需要培养的数值计算思维的其他重要方面，如算法的精度、稳定性、效率等，而且学生主观能动性也未得到充分调动。通过结合计算方法课程主要算法及空天案例设计竞赛性的实验内容，开发了自动化验证平台，让学生在有限的时间里在线提交解决实验问题的计算程序，并以程序提交时间、结果正确性、计算精度、稳定性、运行效率等作为指标进行竞争性实时排名，而排名又作为得分重要依据。在线自动化验证平台的开发，缩短了学生熟悉程序的时间，提高了实验效率、锻炼了动手能力，也激发了学生主动学习的兴趣。同时，自动化验证平台也大大减少了老师批改程序作业的工作量。另外，课程大作业分组开展，不限制具体题目，但要求必须用到课内讲授的特别是实验过的算法，以进一步锻炼学生动手能力，并充分发挥各自的聪明才智；大作业采用课件的形式进行展示汇报，并互相提问回答，锻炼了学生的交流表达能力。

2.2.5 课程思政建设

课程思政方面，从数学家的贡献、计算方法中各算法的科学家的故事等入手，帮助学生培养民族自豪感、刻苦学习、不畏艰难的精神。同时，特别注意挖掘航天历史上与数值计算相关的关键问题与事迹。例如，Gauss 对轨道边值问题求解中的贡献帮助天文学家再次跟上谷神星，也帮助其一战成名，而这与常微分方程边值问题求解及非线性方程求解紧密相关；航天领域的轨道初值问题本质是Kepler 方程这一非线性方程的求解问题，通过介绍Kepler 虽然视力不佳但通过对老师观测数据的分析与数学推导提出行星运动三大定律的故事，引导学生志在空天、追求卓越。

3 改革效果

3 年多来，课程教学团队将教学改革逐步推行至学院航空航天类专业全部教学班次，参与学生近400 人，取得了显著成效。对2021 年秋季学期4 个教学班105 名学生的调查问卷结果中，大部分认为对知识点的关系有较好理解并对专业课有所期待，说明案例体系起到了搭建基础与专业桥梁的作用；91%的学生认为启发了用数值计算的思想来解决其他课程部分问题的思路，说明有效地培养了数值思维；75%的学生认为在线实验自动化验证平台帮助其提高了实验效率；75%的学生认为开放式大作业题目有利于各展所长；36%的学生自信可以用计算方法来解决其他实际问题，而50%的学生认为有效入了门但还有很长的路要走，说明编程实践锻炼取得了良好的效果。

改革后的课程为学生学习后续专业课程提供了更好的实践基础，架设了基础课与专业课的桥梁，助力学生在各类竞赛中获得了丰硕的成果。“计算方法”课程也被评为2021 年湖南省线上线下混合式一流课程。

4 结论

针对“计算方法”课程内容缺乏连贯性、学时相对较少而重理论轻实践、重公式推导而轻直观引导、与空天专业联系弱等不足，建设了空天案例体系、图形动画集，构建了线上线下混合式教学环境，开发了在线实验自动化验证平台，进行了课程思政建设。教学效果表明，改革后的课程有效培养了学生数值计算的思想，学生的理论与实践结合的能力得到显著提高，真正架设了基础课与专业课的桥梁。研究成果可作为其他数值计算相关课程教学的参考。