基于tracker的非铁磁性陀螺仪影响因素实验研究

邓浩仪，范紫萍

(华南师范大学 物理与电信工程学院，广东 广州 510006)

陀螺仪是高速回转体的动量矩敏感壳体相对惯性空间绕正交于自转轴的一个或两个轴的叫运动检测装置[1]。而利用非铁磁性材料制成的陀螺仪成为非铁磁性陀螺仪。根据楞次定律可以知道，非铁磁性陀螺仪会在磁铁的作用下减速。利用这一特点，可以间接测量出磁感应强度。

为此，本文自制一个铝制圆盘的陀螺仪，利用手机拍摄和Tracker软件追踪和数据拟合，首先测量出陀螺仪的摩擦力矩进行公式修正，然后探究圆柱形磁铁与铝制陀螺仪的径向距离对陀螺仪的影响及其规律，测量出衰减系数，根据此规律反向来得出制作成特斯拉计的原理。该方法成本低，数据容易获取，适合学生在课后进行探究。

1 实验原理与装置

1.1 实验原理

当没有外磁场的时候，陀螺仪因为受到空气摩擦力矩和轴承摩擦产生的力矩M1(下面简称为摩擦力矩)，会在平面上逐渐减速，满足

(1)

其中J为陀螺仪圆盘的转动惯量，满足

(2)

由于摩擦力矩M1随时间变化较小，故简化模型，将其视为常数。对式(1)进行分离变量积分可得

(3)

铝是非铁磁性导电材料之一。当铝制导体圆盘放置在磁场中，对其进行分析时，可以将圆盘看作是由无数根沿半径方向的金属棒组成。当圆盘导体转动的时候，部分的圆盘导体会切割磁感线，由法拉第定律[2]可知，导体圆盘产生感应电动势在圆盘导体中会产生感应电流，从而产生与转动方向相反的安培力，使圆盘导体缓慢减速至停止。这个安培力产生的力矩称为感应力矩。根据角动量定理可知

(4)

其中，M2是感应力矩。

其中通过查阅文献可得，导体圆盘受到的感应力矩大小为[3]：

(5)

其中σ为非铁磁性陀螺仪圆盘的电导率，δ为厚度，a为半径，R为圆柱磁铁的半径，Bz为圆柱磁铁z方向上的磁场大小，d为圆盘与磁铁的中心轴线距离，如图1所示。

图1 陀螺仪铝制圆盘和磁铁位置关系侧视图

结合式(3)和式(4)可以得到非铁磁性陀螺仪的转速满足

(6)

其中

(7)

由式(5)可得，陀螺仪角速度的衰减满足指数的衰减规律，其中衰减的快慢由k来决定。基于此，本研究将非铁磁性陀螺仪的圆盘转速变化简化为[3]：

ω(t)=ω0e-βt

(8)

其中衰减系数为

(9)

由式(4)至式(9)可知衰减系数β应与圆盘和磁铁轴心距离d满足一定的规律，近似地与d的二次方成正比。

1.2 实验装置

实验器材主要由自制的铝制圆盘陀螺仪、钕铁硼圆柱形永磁铁，手机、手机支架、特斯拉计等材料组成，如图2所示。相关材料的实验参数如表1所示。

(a)实验装置图

(b)实物图图2 实验装置模型图与实物图

表1 实验材料参数

1.3 软件

Tracker是一个免费的视频跟踪分析和建模工具软件[4]。利用该软件可以将手机拍摄铝制圆盘制停的视频进行分析，得到铝制圆盘在有磁场和无磁场的作用下角速度随时间的变化关系，如图3所示。

图3 Tracker分析数据图

2 实验步骤与内容

1)搭建实验装置，给予铝制圆盘一定的初速度，利用手机的慢镜头拍摄铝制圆盘在无磁场作用时的视频，可以获得铝制圆盘陀螺仪所受到的摩擦力矩M1。

2)在第一步装置中加入磁铁，使磁铁保持与铝制圆盘1cm垂直距离。取5种不同的铝制圆盘与磁铁的中心轴线距离d，拍摄5组视频。拍摄过程中，尽可能保持手机与铝制圆盘的平面相互平行。

3)将拍摄的视频导入Tracker软件，最终铝制圆盘上标志的红点，获得角速度-时间对应关系，用数据处理软件进行拟合，获得衰减系数，并进行误差分析。

3 实验结果

3.1 非铁磁性陀螺仪在无外磁场作用时的摩擦力矩的求解

图4 仅在摩擦力矩作用下的陀螺仪转速规律

3.2 磁铁的不同径向距离对非铁磁性陀螺仪的影响

在保证陀螺仪初始转速大致一样的情况下，使铝制圆盘与磁铁的中心轴线距离d分别为1.2cm、1.4cm、1.6cm、1.8cm和2.0cm，并对相关数据进行指数拟合，数据结果如图5所示。

(a) d为1.2 cm时铝制圆盘转速的变化情况

(b) d为1.4 cm时铝制圆盘转速的变化情况

(c) d为1.6 cm时铝制圆盘转速的变化情况

(d) d为1.8 cm时铝制圆盘转速的变化情况

(e)d为2.0 cm时铝制圆盘转速的变化情况图5 d变化时铝制圆盘转速的变化情况

通过图5可以得到表2的数据。

表2 β与d之间的关系

将这些数据进行拟合，与式(9)的理论值进行比较得到图6。

图6 导体圆盘转速的衰减系数β随轴心距离d的变化实验数据与理论值对比

根据图5可以得知实验值与理论值的趋势是大致相同的，但是在d比较小或者比较大的时候误差较大。在d较大的时候，可能是由于圆盘与轴并不是互相垂直的，存在略微倾斜，导致转动惯量偏大，衰减系数偏小；还有可能是由于在测量磁场的时候没有对准磁铁的中心，导致磁场偏小，从而导致衰减系数偏小。而当d较小的时候，可能是因为Tracker对圆盘标记点的捕捉不够准确，从而使在找圆盘从最大速度衰减时候存在误差，导致衰减系数偏大。

因此，由式(7)可知，当磁场Bz和d固定的时候，可以获得陀螺仪的衰减系数。反之，当d固定的时候，给予陀螺仪一个初速度，根据陀螺仪的角速度与时间的关系得到衰减系数，则可以知道外磁场的大小，相当于制作成了一个特斯拉计，其关系满足如下式(10)：

(10)

其中C表示为式子(11)

(11)

4 结 语

本文通过Tracker软件探究轴心距离d对铝制陀螺仪的影响，但是影响铝制陀螺仪的因素还有很多，如非铁磁性材料的性质、厚度等。教师可以在学习完楞次定律或者电磁阻尼的时候，让学生在课外进行非铁磁性陀螺仪其他影响因素的探究，加深对楞次定律之类的知识的理解。