基于素养导向下的高三数学复习实践与思考——以“数列”为例

顾燕声

(江苏省苏州中学，江苏苏州，215007)

1 问题提出

回顾这三年全国新课程卷(2020年山东卷、海南卷，2021年新高考全国Ⅰ卷、Ⅱ卷和2022年新高考全国Ⅰ卷、Ⅱ卷)，不难发现高考数学全国卷彻底落实了立德树人的根本任务，遵循德智体美劳全面发展要求，贯彻《深化新时代教育评价改革总体方案》，体现了高考改革的要求：一是设置实现情境，发挥育人作用；二是深化基础性考查，发挥选拔功能；三是加强教考衔接，发挥引导作用[1].同时，这三份试卷试题的阅读量都较大(以2020年山东卷为最，后两年有所下降)，题目也很有新意，计算量与思维量也很大，很多学生考完之后都表示试卷难度较大，来不及做完， 那么如何在仅有的两个小时答题时间内获得尽可能多的分数，这就要求学生在考场上讲究答题策略，尽可能多地做对基本题目.

高考试卷上的基本题目涉及的知识点有很多，比如集合、复数、三角函数、数列、直线和圆、概率统计等等. 让笔者最在意的是近三年全国卷中对数列这个知识点的考查，题目似乎都不难，但是学生做下来的情况并不理想，很多学生没有在这个知识点上得到应该有的高分. 我不禁疑惑：新课程卷上的数列究竟考了什么？学生为什么觉得数列难？如何帮助学生学好数列？

2 新高考全国卷数列分析

我们先来看看，新高考全国卷上的数列考了些什么.

年份题号分值题型知识点2020年山东卷145填空题等差数列、子数列问题1812解答题等比数列、数列求和2020海南卷145填空题等差数列、子数列问题1812解答题等比数列2021全国Ⅰ卷165填空题(双空)数列的递推关系、数列求和(错位相减法)1710解答题数列的递推关系、子数列问题、等差数列求和2021全国Ⅱ卷125多选题数列的递推关系、等差数列、等比数列1710解答题等差数列的通项公式及前n项和2022全国Ⅰ卷1710解答题等差数列、数列的递推关系、数列求和(裂项求和法)2022全国Ⅱ卷1710解答题等差数列、等比数列

新高考全国卷上主要考了这几类问题：

2.1 源于生活实践的问题

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(下简称《课标》)中提出，应引导学生通过具体实例，理解等差数列、等比数列的概念、性质和应用.[2]可见，《课标》明确强调了数学与生活的联系，突显了数列的应用性.2021年普通高等学校招生全国统一考试Ⅰ卷第16题，就是一道生活中的数列问题，它是在一个剪纸活动的背景下生成了数列，需要学生通过理解题目的意思，明白这个折纸活动的实际规律.考生需要自己推导出数列中项的变化规律，进而得到数列的通项公式. 考查了学生抽象概括和数学建模的能力. 这道题目是一道双空的填空题，在以前的江苏高考卷上是没有这种题型的，这种题型往往第一空简单，理解题目意思之后就可以解决，而第二空则需要深入的探究. 比如这道题目，在学生构建出新数列之后，还需要进行数列求和运算，考查的是“错位相减”求和法，这类求和问题是针对{anbn}结构(其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列)进行的，本身也是数列求和中的难点，对学生的计算能力有比较高的要求. 要做好做对这道题，既要有快速理解题意并建立数学模型的能力，又要有既快又对的数学计算能力，对学生解决数列能力的要求是极高的.

2.2 源于数学内部的问题

(2020·山东卷18)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8.

(1) 求{an}的通项公式；

(2) 记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.

《课标》中还指出，应特别强调数列作为一类特殊函数在解决实际问题中的作用，突出等差数列、等比数列的本质，引导学生通过类比的方法探索等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系.[2]数列是特殊的函数，它的自变量是项数n，因此通项或者前n项和都是关于正整数集(或它的有限真子集{1，2，3，…})的函数. 在一些问题中，我们若能将数列与熟悉的函数挂钩，就可以更好地理解问题，更快地解决问题. 例如2020年普通高等学校招生全国统一考试山东卷第18题，该题考查了等比数列的基本量运算，将已知条件转化为首项与公比的方程式，从而求出首项与公比，即a1与q，继而求得数列的通项公式为an=2n. 在做第(2)小题时，若将数列与指数函数y=2x相联系，就能直观地感觉出这个数列的增长速度，从而快速地求出区间(0，m](m∈N*)中的项，通过2的指数式分析出数列{bn}的规律，当2t≤m≤2t+1-1时，{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数bm=t.正是因为数列{an}是依附于指数函数y=2x这样的增长结构，才能帮我们确定区间上限值m的取值情况.

2.3 源于教材内容的问题

(1) 求{an}的通项公式；

《课标》中对数列递推关系与数列的前n项和的掌握也有具体明确的要求，它指出学生要能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学建模的现实意义与应用；能在具体的问题情境中，发现数列的等差(比)关系，并解决相应的问题.[2]例如，2022年普通高等学校招生全通统一考试Ⅰ卷第17题，考了好几个数列中的知识点，有数列前n项和的定义，利用递推关系求数列的通项公式以及裂项求和等. 虽然放在解答题的第一题，但是难度却不低.需要学生在熟练掌握等差(比)数列的通项公式和前n项和的基础上，熟练地解决数学问题，这类题目往往不是直接给出等差数列或者等比数列的条件，而是需要学生从数列的递推关系中熟练地运用等差或者等比数列的定义以及性质、求和等. 同时考查了学生的逻辑思维能力、抽象推理能力和数学运算能力.

不难发现，以上的三个新课程全国卷的高考题有一个共同点，即都考查了数列的求和，但不同的是三个题目三种求和. 既有等差、等比数列求和，还有裂项求和以及错位相减求和，以及通过枚举对数列进行求和.

3 课堂教学的变革

高考数学从江苏卷到全国卷在针对数列这个知识点的考查是有重大变化的，以前学生面对江苏卷的数列多以放弃的态度面对，有时能够完成第一小题已经很不错了.熟悉江苏卷的老师都知道，数列往往安排在试卷的倒数第二题或者最后一题，学生本身对数列存在恐惧和畏难心理，加上2个小时答题时间的限制，往往不能很好地思考和完成数列题目. 但是数列在全国卷中的位置已经被大大提前，常常出现在解答题的第一题或者第二题，与江苏卷相比难度确实有所下降，但是不论是对数列知识点的考查，还是对学生思考数列问题的能力、解答数列问题技巧的考查都没有非常简单. 学生有时在数列问题上的得分仍旧不理想，这大概是因为数列本身变化形式巧妙、考点繁多，部分学生也因此在心理上对数列产生畏难情绪，学习兴趣低，成绩就很难得到提升.

当数列成为高考试卷的得分重头时，我们老师就必须帮助学生学好数列，拿到高考试卷上数列知识点的分数. 我觉得可以从以下几方面着手：

3.1 把握课改方向，培养学生学习兴趣

新课改下，教师应立足于整体构建多元化的评价体系，并促使学生自身综合素养提升，奠定夯实的基础. 在高中数学的课堂教学中，教师需将新高考当做探究方向，依据《课标》和新教材，引导学生全面深入地学习教材中的各个知识点. 课本中对数列的研究多源于现实生产、生活的需要，教师在课堂中引导学生从具体事例出发，可以直观地帮助学生理解数列的概念，等差、等比数列，数列的前n项和等具体知识点. 在获得了这些知识以后，老师还可以带领学生研究稍微复杂一些的经典数列，例如在斐波那契数列中体会递推的精妙，在“分形”问题中感受图形美妙的同时体会特殊数列的趣味. 与之前苏教版课本不同，人教版课本中提出了“垛积术”的问题，这是中国古代许多著名的数学家推导高阶等差数列作出的研究贡献. 在这样的学习环境下，学生感受到了数列知识的丰富与美妙，并自主完了一场又一场数学建模，实现了《课标》中数列与实际生活的联系，提升了学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理能力.

笔者在此以“科赫雪花曲线”为例，与大家共同感受一下“分形”与数列的结合的魅力.

例1如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，如图1有一个正三角形，按如下规则可以作出一个新的图形：将每边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，得到一个六角星，如图2所示. 然后反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线. 若图1中正三角形的边长为1，则图n中的曲线的周长为(用n表示)；若图1中正三角形面积为1，则图n中的曲线的面积为(用n表示).

图1

图2

图3

图4

【思路分析】 设“雪花曲线”第n张图的边长为an，边数为bn(b1=3)，周长为cn，面积为Sn.

第n张图的边数是第n-1张图边数的4倍，即bn=4bn-1，

所以数列{bn}是首项为3，公比为4的等比数列，bn=3×4n-1.

(2) 第n张图的面积是在第n-1张图的基础上增加，增加了若干个正三角形，这些正三角形的边长为an，增加的正三角形个数是第n-1张图的边数，即bn-1，

累加求和得，

Sn=S1+(S2-S1)+(S3-S2)+…+(Sn-1-Sn-2)+(Sn-Sn-1)

【素养回顾】 本题旨在研究著名的“科赫雪花曲线”，这组图形每次的变化主要是边长与边数的变化，并且这个变化中蕴含着等比数列的关系.教师如能在课堂上多与学生一同探讨著名的数学问题，必定能激发起学生学习的兴趣，让学生感受到学有所用.在解决这个问题的过程中，提升了学生的等比数列通项与求和知识的掌握与运用，考查了学生抽象思维能力和推理演算能力.最后，教师还可以进一步引导学生归纳总结:随着分形的深入，曲线的周长越来越大，其面积也趋向一个定值，使学生感悟到极限思想，提升他们的归纳推理这一理性思维品质.

3.2 立足课本内容，夯实基本概念与基础知识

高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、定理的发展过程和本质.[3]在数列新授课的教学中，老师一定要多关注概念的解读与概念的结果.在数列知识点中涉及以下几个概念：数列的定义、数列的通项公式、数列的递推关系以及数列的前n项和. 教学时，我们不能图快，直接将概念和定义抛给学生，而是最好要让学生自己从具体的问题中进行总结归纳，自动生成，老师要做的是引导和补充完善，这样形成的概念是鲜活的，容易理解和记忆的. 概念形成之后，用好课本例题也很重要，这个可以帮助学生巩固所学知识点. 教师要用好课本中的引入和例题，充分理解课本呈现的逻辑线索，帮助学生把握核心概念产生的顺序，让概念从合理变为自然，学生的学习体验感才强，概念学习的兴趣才浓.[4]笔者在此处与大家分享一道着重考查数列概念的题目.

A.an=n

C.b1+b2+…+b100=5 050

D.c1+c2+c3+…+c1 000=1 893

由于bn=(-1)nn2，所以b2k-1+b2k=(2k)2-(2k-1)2=4k-1，所以b1+b2+…+b100=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b99+b100)=4(1+2+…+50)-50=5 050，故C正确；

因为cn=[lgn]，所以当1≤n≤9时，cn=0；当10≤n≤99时，cn=1；当100≤n≤999时，cn=2;当n=1 000时，c1 000=3，因此c1+c2+…+c1 000=9×0+90×1+900×2+3=1 893，故D正确.

【素养回顾】 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和以及数列的奇偶问题、高斯函数在数列上的应用等方面，知识充分体现了多选题一个题目多个考点的特色，选项难度层层递进，要做好这类问题必须循序渐进，一个选项一个选项地完成好才能拿到多选题的全分. 这就要求学生必须牢固掌握每一个所学知识点，不管题目从哪个方面考查，都能得心应手. 像这样递进式地练习，可以培养学生思维的深刻性和广阔性，从而能做到举一反三，“百变不惊”.

3.3 进行有效训练，善于利用变式训练的功能

在掌握好数列的概念之后，教师才可以带领学生进行解题训练，在解题训练的过程中，采用变式训练的形式可以帮助学生深入理解问题. 变式训练，可以是变换题目的一个或者多个条件、可以是变换题目的问题、可以将具体问题变成特殊问题、还可以引入字母参数等方式. 进行变式训练可以帮助学生全方位地分析知识点，在不断强化学生思维水平的同时开阔学生的解题思路，使得学生能够自觉主动地进行知识点迁移. 学生在考试遇到问题时，可以自然地从多角度思考和解决问题. 变题训练是对学生发散性思维的培养，可以使思维的深刻性、广阔性和严谨性得到提升.

比如针对例3，2022·全国Ⅰ卷第17题，我们可以用以下变式帮助学生进行巩固：

例3已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，a2n+1=4(Sn+n).

(1) 求数列{an}的通项公式；

由于a2-a1=1≠2，所以数列{an}从第二项开始是公差为2的等差数列，当n≥2时，an=4+(n-2)×2=2n，

【素养回顾】本题与2022年全国Ⅰ卷的第17题有极大的相似性，都考察了数列的递推求通项和数列的裂项求和内容，不同的是本题中数列{an}的第一项不符合n≥2时的通项公式，这需要我们在解题时格外小心，因为这会影响到第(2)小题中数列{bn}的求和，要注意到首相是需要单独考虑的. 本题在考查学生逻辑推理与数学计算能力的同时，考查了分类讨论思想与理性思维方式.

随着越来越多的省份参与到新高考全国卷中来，我们的课堂教学必须更有针对性，充分指导好学生，用正确的方法面对新高考，加深对知识点的认识，提升解决问题的能力，增强突破困难的决心.