深度思考 揭示本质 提升能力
——2022年全国Ⅰ卷第21题的研究之旅
2022-10-17许家钊
许家钊
(苏州大学附属中学，江苏苏州，215000)
2022年高考已落下帷幕，对于全国Ⅰ卷，学生普遍感觉难度较大.笔者仔细研究了试题之后，发现数学试题紧扣高中数学的主干内容与重点知识，突出了对关键能力的考查，体现了立德树人根本任务.本文以第21题第1小题为例，通过一题五问，试图揭示解析几何中斜率之和与斜率之积的本质.
1 试题再现 感受高考
简要分析本题属于探索创新情景.考生感到困难，可能有三个原因：一是考试剩余时间不够导致心理慌张，二是本题设问较平时有所提前，三是模型不熟悉、算理不清楚、运算能力弱.本题实际上是解析几何中的常规问题——定值定点问题，只要两条直线AP，AQ的斜率之和为0，那么直线PQ的斜率就是定值，运算上体现了解析几何常规的“三步曲”——联立方程写韦达、题设条件代数化、韦达代入寻结果.
第一步 联立方程写韦达
(1)
第二步 题设条件代数化
去分母整理得2kx1x2+(m+1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0，
(2)
第二步 韦达代入寻结果
将(1)式代入(2)式化简得2k2+km+k+m-1=0，
分解因式得(k+1)(2k-1+m)=0，
(3)
因为PQ不经过A点，故2k-1+m≠0，所以k=-1，即l的斜率为-1.
2 深度思考 揭示本质
探究1是因为特殊的A点才导致l的斜率是定值的吗？对于双曲线上任一定点A(x0，y0)呢？
(4)
去分母整理得2kx1x2+(m+y0-kx0)(x1+x2)-2x0(m-y0)=0，
(5)
将(4)式代入(5)式化简得2kmy0+2k+a2k2x0y0+x0m-x0y0=0，整理得(2kmy0+x0m)+(2x0y0k2+2k-x0y0)=0
即m(2ky0+x0)+(2ky0+x0)(kx0-y0)=0，分解因式得(2ky0+x0)(m+kx0-y0)=0
(6)
反思将x0=2，y0=-1代入上述结果，得k=-1，与高考试题的答案一致.
(7)
去分母整理得2kx1x2+(m+y0-kx0)(x1+x2)-2x0(m-y0)=0，
(8)
将(7)代入(8)化简得a2kmy0+a2b2k+a2k2x0y0+b2x0m-b2x0y0=0，
整理得(a2kmy0+b2x0m)+(a2x0y0k2+a2b2k-b2x0y0)=0，
即m(a2ky0+b2x0)+(a2ky0+b2x0)(kx0-y0)=0，
即(a2ky0+b2x0)(m+kx0-y0)=0，
(9)
方法优化对探究2中的坐标系进行平移，将坐标原点平移至A(x0，y0)处，
(10)
(11)
(12)
反思不妨将上述方法称为平移齐次化法，它的要点在于将坐标系原点平移至题中所给出的定点，写出对应的圆锥曲线方程和直线方程之后，进行齐次化联立，构造关于斜率k的方程，从而斜率之和及斜率之积便直接转化为两根之和与两根之积，避免了复杂的运算.
反思说明当斜率之和为非零常数时，PQ的斜率将不再是定值，而是恒过一定点.
(13)
基于以上4个探究，我们得出如下定理：
用同样的方法我们可以得到：
定理三对于有心二次曲线Ax2+By2=1(AB≠0)上一定点P及两动点A、B；
1) 若kPA+kPB=λ，
λ=0时，直线AB的方向向量为(y0B，x0A)
2) 若kPA·kPB=t，
3 高考回看 温故知新
4 加强反思 提升能力
从近三年的高考数学来看，解析几何的解答题考查内容主要覆盖直线、椭圆、双曲线及抛物线，考查考生数学思维、数学应用、数学探索等，为进一步做好2023届高三数学解析几何一轮复习工作，笔者给出以下建议：
(1) 回归教材，注重基础，建构知识网络
对比发现，高考试题大都由课本习题改编而来，源于课本，而又高于课本.因此，高三数学一轮复习要回归课本，重视课本题目的外延与内涵，使学生了解知识的发生、发展和应用过程.
(2) 多角度思考，注重一题多解，优化方法
一方面，解析几何问题的本质是几何问题，利用题干图形的几何性质解答，往往能避开繁琐的代数运算，起到出奇制胜、事半功倍的效果.因此，在平时教学中，要训练考生准确作图和识图能力.
另一方面，代数法是解决解析几何问题的通性通法，解析几何试题一般入口较宽，很容易找到解决问题的思路，但是不同解法间运算量的差异很大.因此，在复习过程中，要多角度审视试题，注重不同方法的分析与比较，以便学生在今后的做题中迅速发现最优化的方法.
(3) 加大训练力度，着重培养学生逻辑推理和运算求解能力
根据高考评价体系的整体框架，高考数学学科提出了五大关键能力：逻辑思维、运算求解、空间想象、数学建模和创新能力.解析几何问题是中学数学的综合应用问题，对于逻辑思维能力和运算求解能力要求较高.好的思路是通过一定的推理、运算等数学语言表达出来的.
